高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词背景图ppt课件

进阶训练2(范围：1.4～1.5)

一、基础达标

1.命题“∃x>0，2x2＝5x－1”的否定是(　　)

A.∀x>0，2x2≠5x－1

B.∀x≤0，2x2＝5x－1

C.∃x>0，2x2≠5x－1

D.∃x≤0，2x2＝5x－1

答案　A

解析　存在量词命题的否定是全称量词命题.

2.下列存在量词命题是假命题的是(　　)

A.存在x∈Q，使4－x2＝0

B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C.有的素数是偶数

D.有的有理数没有倒数

答案　B

解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立.

3.“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案　A

解析　“x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”.故选A.

4.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A.0<a<4   B.a>4 

C.a<0   D.a≥4

答案　B

解析　∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.

5.(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)

A.綈p：∃x∈R，x2＋1＝0

B.綈p：∀x∈R，x2＋1＝0

C.p是真命题，綈p是假命题

D.p是假命题，綈p是真命题

答案　AC

解析　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”，

所以p是真命题，綈p是假命题.

6.命题∀x∈R，x2－x＋3>0的否定是________，命题∃x∈R，x2＋1<0的否定是________.

答案　∃x∈R，x2－x＋3≤0　∀x∈R，x2＋1≥0

7.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________.

答案　a<0

解析　由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.

8.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是________.

答案　{a|a≤1}

解析　∵命题綈p是假命题，

∴p是真命题，

即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，

∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.

9.设p：x>a，q：x>3.

(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；

(3)若a是方程x2－6x＋9＝0的根，判断p是q的什么条件.

解　设A＝{x|x>a}，B＝{x|x>3}，

(1)∵p是q的必要不充分条件，

∴q⇒p，pq，

∴BA，∴a<3.

故a的取值范围为{a|a<3}.

(2)∵p是q的充分不必要条件，

∴p⇒q，q p，

∴AB，∴a>3.

故a的取值范围为{a|a>3}.

(3)a是方程x2－6x＋9＝0的根，

即a2－6a＋9＝0，解得a＝3，

∴p⇔q，

∴p是q的充要条件.

10.已知方程(a＋5)x2＋2(a＋1)x＋a－5＝0.

(1)若∃a∈R，使方程有一个实根，求a的取值范围；

(2)若∀a∈M，方程至少有一个实根，求集合M.

解　(1)当a＋5＝0，即a＝－5时，方程化为－8x－10＝0，解得x＝－，符合题意；

当a＋5≠0，即a≠－5时，方程只有一个实根，

则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－25)＝8(a＋13)＝0，

解得a＝－13.

综上所述，a的值为－5或－13.

(2)由(1)知，a＝－5时符合题意；

当a≠－5时，方程至少有一个实根，则Δ＝8(a＋13)≥0，解得a≥－13.

综上所述，集合M＝{a|a≥－13}.

二、能力提升

11.(多选)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列命题正确的是(　　)

A.r是q的充要条件

B.p是q的充分不必要条件

C.r是q的必要不充分条件

D.r是s的充分不必要条件

答案　AB

解析　由已知有p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，

由此可得r⇒q且q⇒r，A正确，C不正确；

p⇒q，q≠p，B正确；r⇒s且s⇒r，D不正确.

12.已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，命题p：“∃m∈R，使得A∩B≠”，则命题p的否定为________；若p为假命题，则实数a的取值范围为________.

答案　∀m∈R，A∩B＝　{a|a<3}

解析　p为存在量词命题，其否定为∀m∈R，A∩B＝.

若p为假命题，则其否定命题“∀m∈R，A∩B＝”为真命题.

当a<0时，集合A＝{x|0≤x≤a}＝，符合A∩B＝；

当a≥0时，因为m2＋3>0，所以∀m∈R，A∩B＝得a<m2＋3对于∀m∈R恒成立，

所以a<(m2＋3)min＝3，则0≤a＜3.

综上，p为假命题时，实数a的取值范围为{a|a<3}.

13.证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边长.

证明　(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角形)：

因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，

所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，

即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，

所以a＝b，a＝c，b＝c，

即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形.

(2)必要性(由△ABC为等边三角形⇒a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：

因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，

所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，

故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.

综上可知，结论得证.

三、创新拓展

14.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C.∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

D.∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

答案　D

解析　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，

因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n”.