阶段测评(六) 圆锥曲线的方程（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

阶段测评(六)　圆锥曲线的方程

[对应学生用书P128]

(时间：60分钟　满分：75分)

一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．点A是抛物线C1：y2＝2px(p>0)与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于(　　)

A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．4

C　[∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，

∴A适合y＝x，∴＝4，∴e＝.]

2．若定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是(　　)

A．         B．      C．        D．5

C　[已知定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则点P的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝2.所以|PA|的最小值是点A到右顶点的距离，即为a＋c＝＋2＝.]

3．F为椭圆＋y2＝1的右焦点，第一象限内的点M在椭圆上，若MF⊥x轴，直线MN与圆x2＋y2＝1相切于第四象限内的点N，则|NF|等于(　　)

A．     B．     C．     D．

A　[因为MF⊥x轴，F为椭圆＋y2＝1的右焦点，所以F(2，0)，M.

设lMN：y－＝k(x－2)，

则O到lMN的距离d＝＝1，解得k＝(负值舍去).

由得即N，

所以|NF|＝＝.]

4．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)

A．[3－2，＋∞)     B．[3＋2，＋∞)

C．     D．

B　[因为双曲线左焦点为F(－2，0)，

所以c＝2.所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，

即4＝a2＋1，解得a＝.设P(x，y)，则·＝x(x＋2)＋y2.

又点P在双曲线－y2＝1上，

所以·＝x2＋2x－1＝－－1.

因为点P在双曲线的右支上，所以x≥.

所以当x＝时，·最小，且为3＋2，

即·的取值范围是[3＋2，＋∞).]

二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)

5．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)

A．开口向上     B．焦点为

C．准线方程为x＝－1     D．对称轴为y轴

ABD　[抛物线可化为x2＝y，故开口向上，焦点为，准线方程为y＝－，关于y轴对称．]

6．已知θ是△ABC的一个内角，则方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示的可能是(　　)

A．直线     B．圆

C．椭圆     D．双曲线

ABCD　[当θ为锐角时，sin θ>0，cos θ>0，∴方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示焦点在x轴上的双曲线．当θ为直角时，sin θ＝1，cos θ＝0，

∴方程x2sin θ－y2cos θ＝1变为x2＝1，即x＝1或x＝－1，此时方程表示两条平行直线．当θ为钝角时，sin θ>0，cos θ<0，－cos θ>0，若θ＝，则sin θ＝－cos θ，∴方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示圆心在原点的圆；若θ∈(，)∪(，π)，则sin θ≠－cos θ>0，∴方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示椭圆．]

三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中的横线上．)

7．(多空题)双曲线C：－＝1的渐近线方程为________，C上一点P到点F1(－5，0)的距离为7，则点P到点F2(5，0)的距离为________．

y＝±x　 13　[双曲线C：－＝1的a＝3，b＝4，c＝5，可得渐近线方程为y＝±x.

若P在双曲线的右支上，可得|PF1|≥a＋c＝8，

C上一点P到点F1(－5，0)的距离为7，可得P在左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a＝6，即有|PF2|＝7＋6＝13.]

8．已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2 m时，测量水面宽为8 m，当水面上升 m后，水面的宽度是________ m．

4　[建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y＝－x2.设水面上升后相应交点为B，则点B的纵坐标为－，代入抛物线方程y＝－x2可求出点B的横坐标为2，所以水面宽为4 m．]

四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

9．(10分)设抛物线y2＝2px(p>0)，Rt△AOB内接于抛物线，O为坐标原点，AO⊥BO，AO所在的直线方程为y＝2x，|AB|＝5，求抛物线方程．

解　因为AO⊥BO，直线AO的斜率为2，

所以直线BO的斜率为－，即方程为y＝－x.

把直线y＝2x代入抛物线方程解得A坐标为，

把直线y＝－x代入抛物线方程解得B坐标为(8p，－4p).

因为|AB|＝5，

所以＋p2＋64p2＋16p2＝25×13，所以p2＝4.

又p>0，所以p＝2.故抛物线方程为y2＝4x.

10．(12分)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点与抛物线C2：y2＝2px(p＞0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4.

(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；

(2)过点A(－4，0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．

解　(1)设椭圆C1的半焦距为c.

依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，

将x＝c代入，得y2＝4ac，即y＝±2，所以4＝4，

则有ac＝2，＝，a2－b2＝c2⇒a＝2，b＝，c＝1，p＝4，

所以椭圆C1的方程为＋＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x.

(2)设过点A(－4，0)的直线l为y＝k(x＋4)，联立椭圆方程3x2＋4y2＝12，

消去y，得(3＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－12＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(x1，－y1)，

可得x1＋x2＝－，x1x2＝，

直线EN的方程为y＋y1＝(x－x1)，

即为y＋k(x1＋4)＝(x－x1)，

即y＝·x－，

代入韦达定理可得y＝·(x＋1)，

则直线EN过定点(－1，0).

11．(13分)(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.

(1)求C1的离心率；

(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．

解　(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.

不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，

故|AB|＝，|CD|＝4c.

由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.

解得＝－2(舍去)，＝.

所以C1的离心率为.

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，

故C1：＋＝1.所以C1的四个顶点坐标分别为(2c，0)，(－2c，0)，(0，c)，(0，－c)，C2的准线为x＝－c.

由已知得3c＋c＋c＋c＝12，即c＝2.

所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝8x.