【最新版】高中数学高三培优小题练第9练　指数与指数函数

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第9练　指数与指数函数考点一　指数幂的运算1．下列各式中一定成立的是(　　)A.7＝n7B.＝C.＝D.＝答案　D解析　7＝n7m－7，A错误；＝＝，B错误；＝，C错误；＝＝＝，D正确．2．计算：(1)－－2＋－(－1)0＝________.答案　－45解析　原式＝－72＋－1＝0.3－1－49＋－1＝－50＋＝－45.(2)2××＝____________.答案　10解析　2××＝×× ＝×＝×＝＝10.3．已知x＋x－1＝3，则＋的值为____________．答案　2解析　由题意得，＝x＋2＋x－1＝5，∴＝，∴＝＝(3－1)＝2. 考点二　 指数函数的图象及应用4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)答案　C解析　由函数f(x)的图象可知，－1<b<0，a>1，则g(x)＝ax＋b为增函数，g(0)＝1＋b>0，g(x)过定点(0,1＋b)．5．函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则(　　)A．0<a<1，b<－1B．0<a<1，b<0C．a>1，b<－1D．a>1，b<0答案　A解析　若a>1，则函数y＝ax＋b的图象必经过第一象限，而函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，所以0<a<1，此时函数y＝ax必过第一、二象限，且经过定点(0,1)，若b≥0，图象往上平移，则必过第一、二象限，若b<0，图象往下平移，要使图象经过第二、三、四象限，所以b<－1.6．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是____________．答案　解析　当a>1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，图1由图1可知1<2a<2，即<a<1，与a>1矛盾；当0<a<1时，通过同样的平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象， 考点三　指数函数的性质及应用7．若a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5，则下列结论正确的是(　　)A．b>c>a   B．c>a>bC．a>b>c   D．c>b>a答案　D解析　由指数函数和幂函数的性质，可得1>0.60.5>0.50.5>0.50.6>0，即1>b>a>0，又由c＝20.5>1，所以c>b>a.8．(2022·玉溪质检)若x满足不等式3x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　　)A.   B.C.   D．[2，＋∞)答案　B解析　≤x－2＝3－2(x－2)，因为y＝3x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1 ，所以2－3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是.9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则ab＝______.答案　4解析　当a>1时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)过点(－1，－1)和点(0,0)，所以无解；当0<a<1时，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)过点(－1,0)和点(0，－1)，所以解得所以ab＝4.10．若函数f(x)＝2(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于____________．答案　1解析　根据f(1＋x)＝f(1－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，可知a＝1，从而可以确定函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，从而有[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值等于1.11．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aen t，假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为(　　)A．10  B．9  C．8  D．5答案　D解析　由题设可得方程组由ae5n＝⇒e5n＝，代入ae(m＋5)n＝⇒emn＝，联立两个等式可得由此解得m＝5.12．已知a<b<，则(　　)A．aa>ab>bb   B．aa>bb>abC．bb>aa>ab   D．ab>bb>aa答案　A解析　因为函数y＝x在R上单调递减，a<b<，所以a>b>1，由于函数y＝ax和函数y＝xb在第一象限单调递增，所以aa>ab，ab>bb，故aa>ab>bb.13．已知函数f(x)＝，下面说法正确的是________．(填序号)①f(x)的图象关于原点对称；②f(x)的图象关于y轴对称；③f(x)的值域为(－1,1)；④∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0.答案　①③解析　对于①，f(x)＝，定义域为R，由于f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故①正确；对于②，f(1)＝＝，f＝＝－≠f(1)，故f(x)的图象不关于y轴对称，故②错误；对于③，f(x)＝＝1－，令1＋2x＝t，t∈，则y＝1－，易知1－∈(－1,1)，故f(x)的值域为(－1,1)，故③正确；对于④，f(x)＝＝1－，令1＋2x＝t，t∈，则y＝1－，函数t＝1＋2x在R上单调递增，且y＝1－在t∈上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1－在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0不成立，故④错误．14．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·2x＋4x在(－∞，0]上是以3为上界的函数，则实数a的取值范围是____________．答案　[－5,1]解析　设2x＝t，∵x≤0，∴0<t≤1，∴f(x)＝g(t)＝1＋at＋t2，由题意知，|f(x)|≤3在(－∞，0]上恒成立．即|g(t)|≤3在(0,1]上恒成立．∴－3≤g(t)≤3，即－4≤at＋t2≤2，∴≤a≤－t.令m(x)＝，则m(x)在(0,1]上为增函数，∴m(x)max＝－5，令n(x)＝－t，则n(x)在(0,1]上为减函数，∴n(x)min＝2－1＝1，∴－5≤a≤1.故实数a的取值范围是[－5,1]．