【最新版】高中数学高三培优小题练第15练　函数小题综合练

第15练　函数小题综合练

1．下列函数中既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝x2   B．y＝x＋

C．y＝－   D．y＝2x

答案　C

解析　对于A，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以y＝x2是偶函数，不符合题意，故选项A不正确；

对于B，f(－x)＝－＝－f(x)，所以y＝x＋是奇函数，因为f(2)＝f ，所以y＝x＋在(0，＋∞)上不单调递增，故选项B不正确；

对于C，f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以y＝－是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选项C正确；

对于D，y＝2x既不是奇函数也不是偶函数，故选项D不正确．

2．设a＝0.20.3，b＝log30.2，c＝30.2，则(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．c<a<b   D．b<a<c

答案　D

解析　∵0<a＝0.20.3<0.20＝1，

b＝log30.2<log31＝0，

c＝30.2>30＝1，

∴b<a<c.

3．设f(x)＝则f(log23)的值为(　　)

A．log23   B．log26

C．log23＋3   D．0

答案　B

解析　∵1<log23<2，

∴f(log23)＝f(log23－2)＝log23－2＋3＝log23＋1＝log23＋log22＝log26.

4．已知函数f(x)＝log2x＋3x＋b的零点在区间上，则b的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　因为函数f(x)＝log2x＋3x＋b在区间上单调递增，

函数f(x)＝log2x＋3x＋b的零点在区间(0,1]上，当x→0时，log2x＋3x→－∞，此时f(x)<0.

根据零点存在定理，

得f(1)＝log21＋3×1＋b≥0，解得b≥－3.

5．函数f(x)＝ln的图象大致是(　　)

答案　B

解析　当x＝2时，x－＝>0，函数有意义，可排除A；

当x＝－2时，x－＝－<0，函数无意义，可排除D；

又∵当x>1时，函数y＝x－单调递增，

结合对数函数的单调性可得函数f＝ln单调递增，可排除C.

6．某种产品的有效期y(单位：天)与储藏的温度x(单位：℃)满足关系式y＝ekx＋b(e＝2.718 28…，k，b为常数)，若该产品在0 ℃下的有效期为192天，在33 ℃下的有效期是24天，则该产品在22 ℃下的有效期为(　　)

A．45天   B．46天

C．47天   D．48天

答案　D

解析　y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．

当x＝0时，eb＝192，

当x＝33时，e33k＋b＝24，

∴e33k＝＝，

∴e11k＝，

∴当x＝22时，e22k＋b＝(e11k)2·eb＝2×192＝48.

7．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)

A．[1，＋∞)   B．[0，]

C．[0,1]   D．[1，]

答案　D

解析　因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，

所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，

又当x≥1时，＝x－1＋，

令g(x)＝x－1＋(x≥1)，

则g′(x)＝－＝，

由g′(x)≤0得1≤x≤，

即函数＝x－1＋在区间[1，]上单调递减，

故“缓增区间”I为[1，]．

8．(2022·南京师大附中模拟)已知3a＝6b＝10，则2，ab，a＋b的大小关系是(　　)

A．ab<a＋b<2

B．ab<2<a＋b

C．2<a＋b<ab

D．2<ab<a＋b

答案　D

解析　∵a＝log310>log39＝2，b＝log610>1，

∴ab>2，又＝＋＝lg 3＋lg 6＝lg 18>1，

∴a＋b>ab，

∴a＋b>ab>2.

9．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝|x－a|－a(a>0)，若对于任意的实数x有f(x－2)≤f(x)成立，则正数a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)   B.

C．(0,1]   D.

答案　D

解析　∵a>0，当x≥0时，f(x)＝|x－a|－a＝∵f(x)为奇函数，即可得到如图所示的图象．

∵对于任意的实数x有f(x－2)≤f(x)成立，采用数形结合的方法把函数f(x)的图象向右平移两个单位长度得到f(x－2)，并使f(x－2)的图象始终在f(x)的图象的下方或部分重合，即2a－

(－2a)≤2，即a≤，∵a>0，∴0<a≤.

10．已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x)＝f，f＝f，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的个数是(　　)

①函数f是偶函数；

②函数f的最小正周期为4；

③当0≤x≤4时，函数f的最小值为－；

④方程f＝log3有10个根．

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　f(x)是定义域为R的函数，

由f(x＋2)＝f(2－x)，则f(x)＝f(4－x)

又f(x)＝f(x－4)，所以f(4－x)＝f(x－4)，

即f＝f，

所以f＝f， 所以函数f是偶函数，故①正确；

由f＝f，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故②正确；

当0≤x≤2时，f＝x2－x，

函数的最小值为f ＝－＝－，

由f＝f，得x＝2为对称轴，

所以当0≤x≤4时，函数f的最小值为－，故③不正确；

作出x>0时y＝f与y＝log3x的图象，由图象可知x>0时，函数有5个交点，

又y＝f与y＝log3为偶函数，由对称性可知方程f＝log3有10个根．故④正确．

11．若2x＝9，y＝log2，则x＋2y＝______.

答案　6

解析　∵2x＝9，

∴x＝log29.

又∵y＝log2，

∴x＋2y＝log29＋log2＝log264＝6.

12．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(20)的值为________．

答案　－1

解析　当x>0时，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)＝－f(x)，

因此有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数的周期为6，

因此f(20)＝f(3×6＋2)＝f(2)＝f(1)－f(0)＝f(0)－f(－1)－f(0)＝－log22＝－1.

13．(2022·新乡模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则x1x2(x3＋x4)＝________.

答案　6

解析　函数f(x)的图象如图所示，

易知＝3，则x3＋x4＝6.

又－log2x1＝log2x2，所以log2(x1x2)＝0，即x1x2＝1，

所以x1x2(x3＋x4)＝6.

14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，且在[0，＋∞)上单调递减，若对任意的x∈R，f(x2－a)＋f(x)<2恒成立，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　令F(x)＝f(x)－1，则F(x)在[0，＋∞)上单调递减，又F(－x)＝f(－x)－1，

故F(x)＋F(－x)＝f(x)＋f(－x)－2＝0，

所以F(x)为定义在R上的奇函数，

故F(x)在R上为减函数．

由f(x2－a)＋f(x)<2恒成立，得F(x2－a)＋F(x)<0恒成立，即F<－F(x)＝F(－x)恒成立，可得x2－a>－x恒成立，

即a<x2＋x＝2－恒成立，所以实数a的取值范围为.