【最新版】高中数学高三培优小题练第10练　对数与对数函数

第10练　对数与对数函数

考点一　对数式的运算

1．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)

A．1.5  B．1.2  C．0.8  D．0.6

答案　C

解析　4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.

2．若2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)

A．50   B．10

C．5   D．±5

答案　C

解析　由2a＝5b＝m，

可得a＝log2m，b＝log5m，

由＋＝2可得 logm2＋2logm5＝2，

即logm50＝2，

解得m＝5.

3．计算(lg 2)2＋lg 5·lg 20＋log23·log34＝________.

答案　3

解析　(lg 2)2＋lg 5·lg 20＋log23·log34＝(lg 2)2＋lg 5·(lg 4＋lg 5)＋2log23·log32＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＋2＝(lg 2＋lg 5)2＋2＝1＋2＝3.

考点二　对数函数的图象及应用

4．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图所示，则m，n的取值范围分别是(　　)

A．m>0,0<n<1

B．m<0,0<n<1

C．m>0，n>1

D．m<0，n>1

答案　C

解析　由题图知函数为增函数，故n>1.又当x＝1时，f(1)＝m>0，故m>0.

5．若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)

答案　D

解析　由f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，

得0<a<1，令g(x)＝loga(|x|－1)，

所以函数g(x)＝loga(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

因为g(－x)＝g(x)＝loga(|x|－1)，

所以函数g(x)为关于y轴对称的偶函数．

所以函数g(x)＝loga(|x|－1)的图象，在x>1时是由函数y＝logax的图象向右平移一个单位长度得到的，可知选D.

6．当0<x≤时，<logax，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　若<logax在x∈上成立，则0<a<1，且在区间上y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示．

由题意知<loga，

∴解得<a<1，即实数a的取值范围是.

考点三　对数函数的性质及应用

7．设a＝log20.2，b＝log0.53,5c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c>a>b   B．c>b>a

C．b>a>c   D．a>b>c

答案　B

解析　∵a＝log20.2＝log2＝－log25,2<log25<3，

∴－3<a<－2，

∵b＝log0.53＝＝－log23,1<log23<2，

∴－2<b<－1，

∵5c＝，

∴c＝log5＝－log54,0<log54<1，

∴－1<c<0.

∴c>b>a.

8．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)

A．1<a<2

B．0<a<2，a≠1

C．0<a<1

D．a≥2

答案　A

解析　令u(x)＝x2－ax＋1，

函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，

∴a>1，且u(x)min>0，

∴Δ＝a2－4<0，

∴1<a<2，

∴a的取值范围是1<a<2.

9．若loga<2，则a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.∪(1，＋∞)

答案　D

解析　因为loga<2，

所以loga<logaa2，

当0<a<1时，y＝logax为减函数，

所以a2<，可得0<a<；

当a>1时，y＝logax为增函数，

所以a2>，可得a>1，

综上所述，a的取值范围为∪.

10．f(x)＝log24x·，x∈的最大值为________________．

答案　

解析　f(x)＝log24x·＝·

＝－，

令t＝log2x，t∈，

则函数f(x)可化为y＝－(t2＋t－2)，t∈，

当t＝－时，ymax＝ .

11．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克．下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 6≈0.778 2)

A．10－5.519   B．10－5.521

C．10－5.525   D．10－5.523

答案　D

解析　因为＝3×10－6，所以lg ＝lg 3＋lg 10－6≈0.477 1－6＝－5.522 9≈－5.523.

故≈10－5.523.

12．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则下列结论正确的个数是(　　)

①<；②ab<0；③a＋b<0；④ab<a＋b.

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　∵a＝log0.20.3＝>0，b＝log20.3＝<0，

∴>0>，

a＋b＝－＝＝，

ab＝－·＝，

∵lg>lg ，<0，

∴ab<a＋b<0.故②③④正确．

13．(2022·深圳质检)已知f(x)＝(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．

答案　[－4,4]

解析　由题可知，f(x)＝(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上单调递减，

设u＝x2－ax＋3a>0，

因为函数y＝u在定义域内单调递减，

则函数u＝x2－ax＋3a>0在区间(2，＋∞)上单调递增，

由于二次函数u＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，

由已知，应有≤2，且满足当x≥2时，u＝x2－ax＋3a≥0，

即解得－4≤a≤4，

所以实数a的取值范围是[－4,4]．

14．已知函数f(x)＝|ln x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值是2，则的值为____．

答案　e2

解析　由题意以及函数f(x)＝的性质可得－ln m＝ln n，

所以＝n，且0<m<1<n，

因为函数f(x)＝在上单调递减，在上单调递增，

所以＝2或ln n＝2，

当＝2时，m＝，

又因为＝n，所以n＝e，

此时f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，满足题意；

当ln n＝2时，n＝e2，m＝，

此时f(x)在区间[m2，n]上的最大值为＝4，不满足题意，

综上，n＝e，m＝，＝e2.