2021-2022学年陕西省宝鸡市千阳中学高三（下）第九次模考数学试卷（文科）（4月份）（Word解析版）

2021-2022学年陕西省宝鸡市千阳中学高三（下）第九次模考数学试卷（文科）（4月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为，(    )
   ：，
   ：，
   ：的共轭复数为，
   ：的虚部为．

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒 内夹谷粒，则这批米内夹谷约为(    )

A.  石 B.  石 C.  石 D.   石

4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

6. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 设，则(    )

A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数
C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数

10. 函数的最大值与最小值之和为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 设，，若，，，则下列关系式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 设是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，，若，则______．
14. 已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为______ ．
15. 函数的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，设，则，则______．
16. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量单位：与时间单位：间的关系为，其中，是正的常数，如果后还剩下的污染物，后还剩下的污染物，那么后还剩下______的污染物．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
    
    Ⅰ从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；

Ⅱ已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；

Ⅲ已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
    Ⅰ求的值；
    Ⅱ若，，求的面积．
19. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．
     
    证明：直线平面；
    若的面积为，求四棱锥的体积．
20. 设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
    求的方程；
    求过点，且与的准线相切的圆的方程．
21. 已知函数．

求曲线在点处的切线方程；

求函数在区间上的最大值和最小值．

22. 在平面直角坐标系中，的参数方程为为参数，过点且倾斜角为的直线与交于，两点．
    求的取值范围；
    求中点的轨迹的参数方程．
23. 设函数．

当时，求不等式的解集；

若恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
，
．
故选：．
先求出，由此能求出．
本题主要考查了交集、补集的求法，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
：的共轭复数为，
：的虚部为，
故选：．
由，知，，：的共轭复数为，：的虚部为，由此能求出结果．
本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，这批米内夹谷约为石，
故选：．
根据粒内夹谷粒，可得比例，即可得出结论．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
 

4.【答案】 

【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，
可得，所以．
故选：．
利用双曲线的渐近线方程，列出方程求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；
：，，则或两线异面，故不正确．
：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．
：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．
故选：．
根据题意，依次分析选项：，根据线面垂直的判定定理判断．：根据线面平行的判定定理判断．：由线线的位置关系判断．：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．
本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意，
两边平方，可得，化简得，可得，
所以．
故选：．
利用平方的方法求得，由此求得的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题．
根据题意，可得，进而求得离心率．

【解答】

解：以线段为直径的圆与直线相切，
原点到直线的距离等于，
即，
化为，
椭圆的离心率．
故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】
解：函数，
，
解得，
即，
的定义域为．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
利用函数的奇偶性的定义判定为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．
【解答】
解：由于的定义域为，且满足，
可得为奇函数．
再根据，可得为增函数，
故选B．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数的最值，复合三角函数的单调性，考查计算能力．
通过的范围，求出的范围，然后求出函数的最值．
【解答】
解：因为函数，
所以，
所以，
所以函数的最大值与最小值之和为．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．
由题意可得，，，可得大小关系．

【解答】

解：设，，即有，
则，
，
，
，
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
由已知当时总有成立，可判断函数为减函数，由已知是定义在上的奇函数，可证明为上的偶函数，根据函数在上的单调性和奇偶性，模拟的图象，而不等式等价于，数形结合解不等式组即可．
【解答】
解：设，则的导数为：
，
当时总有成立，
即当时，恒小于，
当时，函数为减函数，
又，
函数为定义域上的偶函数
又，
函数的图象性质类似如图：

数形结合可得，不等式
或，
或．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：向量，，，
，
则，
故答案为：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：数据，，，的平均数为均值，
则样本数据，，，的均值为：；
故答案为：．
利用平均数计算公式求解
本题考查数据的平均数的求法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数，的最大值为，
．
其图像相邻两条对称轴之间的距离为，
，
故，
，
，
，即，可得，
，可得．
故答案为：．
由函数的最值求出，由周期求出，可得函数的解析式，由题意可求范围，可求得，进而即可求解的值．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出还考查了正弦函数的性质，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设初始污染物有，
则，两式相除得．
所以后，
即还剩下的污染物．
故答案为：．
根据已知条件求得，进而求得剩下的污染物的百分比．
本题考查了指数的运算，采用了整体思想，属于基础题
 

17.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图知：分数小于的频率为：，
故从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率为；
Ⅱ已知样本中分数小于的学生有人，
故样本中分数小于的频率为，
则分数在区间内的频率为：，
估计总体中分数在区间内的人数为人，
Ⅲ样本中分数不小于的频率为，
由于样本中分数不小于的男女生人数相等．
故分数不小于的男生的频率为，
由样本中有一半男生的分数不小于，
故男生的频率为，
即女生的频率为，
即总体中男生和女生人数的比例约为：． 

【解析】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，属于基础题．
Ⅰ根据频率组距高，可得分数小于的概率为：；
Ⅱ先计算样本中分数小于的频率，进而计算分数在区间内的频率，可估计总体中分数在区间内的人数；
Ⅲ已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等．进而得到答案．
 

18.【答案】解：Ⅰ由．
可得：，
．
由．
Ⅱ由，
即，，，
，．
又由，及正弦定理，可得，
．
设的面积为，则． 

【解析】本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，属于中档题．
Ⅰ由两角和与差的正切函数公式及已知可得，由二倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．
Ⅱ由，，可得，又由正弦定理可得，由，可得，利用三角形面积公式即可得解．
 

19.【答案】证明：四棱锥中，，
，
平面，平面，
直线平面．
解：由，．
设，则，，
设是的中点，连接，，
设的中点为，连接，

则，
由侧面为等边三角形，则，且，
平面底面，平面底面，且平面，
故底面，
又底面，故，
则，
又由题意可知，，故，
面积为，可得，
即，
解得，则，
则
． 

【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
由，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
 

20.【答案】解：抛物线：的焦点为，
由题意可知直线的方程为：，设，，
则，整理得：，
则，，
由，
得：，，
则，
直线的方程；

由可得的中点坐标为，
则直线的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，
则，
解得：或
因此，所求圆的方程为或． 

【解析】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想，属于中档题．
设直线的方程为，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得的值，即可求得直线的方程；
设圆心坐标为，结合题意构建方程，求得圆的方程．
 

21.【答案】解：，
，
可得曲线在点处的切线斜率为，
，切点为，
曲线在点处的切线方程为；
，
，
令，
，
当，可得，
即有在上单调递减，
可得，即，
则在上单调递减，
即有函数在区间上的最大值为；
最小值为． 

【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键，属于中等题．
求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程；
求出的导数，再令，求出的导数，可得在区间的单调性和最大值，即可得到的单调性，进而得到的最值．
 

22.【答案】解：的参数方程为为参数，
的普通方程为，圆心为，半径，
当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，成立；
当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，
倾斜角为的直线与交于，两点，
圆心到直线的距离，
，或，
或，
综上的取值范围是．
由知直线的斜率不为，设直线的方程为，
设，，，
联立，得，
，
解得，
则
，
，，
中点的轨迹的参数方程为为参数，． 

【解析】本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，是中档题．
的普通方程为，圆心为，半径，当时，直线的方程为，成立；当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，从而圆心到直线的距离，进而求出或，由此能求出的取值范围．
设直线的方程为，联立，得，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出中点的轨迹的参数方程．
 

23.【答案】解：当时，
．
当时，，解得，
当时，恒成立，即，
当时，，解得，
综上所述不等式的解集为，
，
，
，

，
，
解得或，
故的取值范围． 

【解析】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题．
去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可；
由题意可得，根据据绝对值的几何意义即可求出．