2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三第十二次模考数学（理）试题含解析

这是一份2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三第十二次模考数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三第十二次模考数学（理）试题 一、单选题1．设，则（    ）A．i B． C．1 D．【答案】A【分析】利用复数的乘法可求运算结果.【详解】,故选：A2．设集合.若，则（    ）A．  B． C．1 D．3【答案】B【分析】根据包含关系结合交集的结果可求的值.【详解】因为，故，故或，若，则，，此时，符合；若，则，，此时，不符合；故选：B3．某中学高一､高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（    ）年级人数高一550高二500高三450合计1500 A．18 B．22 C．40 D．60【答案】A【分析】根据分层抽样的概念及方法，列出方程，即可求解.【详解】设该样本中高三年级的人数为人，根据分层抽样的概念及方法，可得，解得人.故选：A.4．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】计算圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为，得到答案.【详解】圆锥的侧面积为：；圆锥的底面积为：；故选：C5．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．【详解】设 ①， ，②，与向量(1，0)夹角为钝角，，③，由①②③解得，，故选：D．6．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由题得到，结合，即可求得.【详解】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,若是正三角形,则，即，即，即有，则，解得.故选：C.7．在中，若，分别是方程的两个根，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出方程的根，不妨设，，由同角三角函数基本关系及两角和的正弦公式求解即可.【详解】由解得或，由三角形内角易知：，，则，所以，所以，故选：B8．2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大､奋进新征程”为主题的联欢晩会，原定的个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，那么不同的插法的种数为（    ）A．42 B．30 C．20 D．12【答案】A【分析】分两个教师节目相邻和不相邻两种情况讨论，分别计算可得.【详解】若两个教师节目相邻，则有种插法；若两个教师节目不相邻，则有种插法；综上可得一共有种插法.故选：A9．函数的图象如图所示，则（    ）A．B．在上单调递增C．的一个对称中心为D．是奇函数【答案】B【分析】根据函数的部分图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质即可求解.【详解】由题意及图可知，,所以，因为的图象经过点，所以，解得，因为，所以，当时，所以的解析式为，故A错误；因为，所以，所以在单调递增，所以在上单调递增，故B正确；，所以的一个对称中心不为，故C错误；，显然该函数的是奇函数，故D错误.故选：B. 二、多选题10．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，，，所以BD正确，C错误；若，则，A错误.故选：BD 三、单选题11．已知函数，点、分别是函数图象上的最高点和最低点，则的值为（    ）A． B．3 C． D．7【答案】B【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出、两点坐标，最后根据数量积的坐标表示计算可得.【详解】因为，因为，所以，所以令，解得，所以，即，令，解得，所以，即，所以，，所以.故选：B 四、多选题12．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，结合条件中，，从而在各直角三角形中得到的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可.【详解】因为在矩形中，，又，，面，所以面，又面，所以，因为在矩形中，，所以，即，因为，，，面，所以面，又在矩形中，，所以面，又面，所以，同时，易知在矩形中，，对于A，在中，，在中，，在中，，所以，故A正确；对于B，在中，，在中，，又，且在中，为的斜边，则，所以，故B错误；对于C，在中，，在中，，又，所以，故C正确；对于D，在中，，又，，，所以，所以，即，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，从而得到的正余弦表示，由此得解. 五、填空题13．函数的图象在处的切线方程为________．【答案】【分析】先对求导，再求出所求切线的斜率与切点，从而由点斜式方程即可得出答案.【详解】由可得，所以所求切线的斜率为，又当时，，即切点为，所以函数的图象在处的切线方程为：.故答案为：.14．已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为__________.【答案】【分析】如图连接，即可得到，利用锐角三角函数求出，即可求出即外接球的直径，再根据球的表面积公式计算可得.【详解】如图连接，因为，所以，所以，则，又，所以，所以，所以，所以，即外接球的半径，所以外接球的表面积.故答案为：15．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．【答案】/【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，的最小值即为的最小值减去半径．因为，，设，，由于恒成立，所以函数在上递减，在上递增，即，所以，即的最小值为．故答案为：．16．已知函数在区间单调，其中为正整数，，且.则图像的一条对称轴__________.【答案】【分析】由正弦函数的单调性与周期性，可得，所以，在同一个周期内，由，取其中点值，即可得图象的一条对称轴；【详解】因为函数在区间单调，，，，在同一个周期内，，图像的一条对称轴为.故答案为： 六、解答题17．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用平面几何的知识推得，进而得到与，从而利用柱体与锥体的体积公式求得关于的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面与平面的法向量与，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为与是底面圆弧所对的圆周角，所以，因为，所以在等腰中，，所以，因为是圆柱的底面直径，所以，则，所以，则，即，所以在等腰，，平分，则，所以，则，故在中，，，则，在中，，因为是圆柱的母线，所以面，所以，，所以．（2）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，则，所以，，，因为，所以，则，设平面的法向量，则，即，令，则，故，设平面的法向量，则，即，令，则，故，设二面角的平面角为，易知，所以，因此二面角的余弦值为．18．记数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)对任意，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先求出，再根据得到，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以从第项起为以为公比的等比数列，所以，所以数列的通项公式；（2）由（1）知，则①，②，①-②得，化简得.19．一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．(1)若，求的数学期望；(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．【答案】(1)20(2)6666 【分析】（1）首先求出标鱼占总体的比例，再分析其符合超几何分布，根据超几何分布期望的计算公式即可得到答案.（2）首先计算出当时，，当时，，记，计算，从而得到的单调性，最后得到其最大值.【详解】（1）依题意X服从超几何分布，且，故．（2）当时，，当时，，记，则．由，当且仅当，则可知当时，；当时，，故时，最大，所以N的估计值为6666．20．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【答案】（1）1；（2）y＝x＋7．【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1．（2）由y＝，得y′＝．设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．从而|AB|＝|x1－x2|＝．由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，解得m＝7．所以直线AB的方程为y＝x＋7．21．已知.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当且时，证明：曲线在轴的上方.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）当时，求出，利用点斜式即可得出所求切线的方程；（2）利用导数求出函数的单调区间与极值，即可得到函数的最小值，由此可得，即可证明曲线在轴的上方.【详解】（1）解：函数的定义域为.当时，.所以.所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，.令，得或（舍去）.当变化时，变化情况如下：-0+极小值当，即时，在区间上单调递增，则，即曲线在轴的上方.22．如图，在极坐标系Ox中，，弧所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.(1)分别写出的极坐标方程；(2)曲线由构成，若点在上，且，求的极坐标.【答案】(1)，，；(2)或或或. 【分析】（1）求出弧所在圆的极坐标方程，再求出曲线的极坐标方程作答.（2）求出满足的点P的轨迹的极坐标方程，再解方程组作答.【详解】（1）因为弧所在圆的圆心为，半径为1，该圆过极点，圆的方程为，因此曲线的方程是；因为弧所在圆的圆心为，半径为1，该圆过极点，圆的方程为，因此曲线的方程是；因为弧所在圆的圆心为，半径为1，该圆过极点，圆的方程为，因此曲线的方程是.（2）设，于是，当时，，即，解得；当时，，即，解得或；当时，，则，解得，所以点的极坐标为或或或.23．已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）方法一：将代入函数解析式，求得，利用零点分段法将解析式化为，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）方法一：根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法当时，，即，所以不等式等价于或或，解得：．故不等式的解集为．［方法二］：【最优解】数形结合法如图，当时，不等式即为．由绝对值的几何意义可知，表示x轴上的点到对应的点的距离减去到1对应点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，．故不等式的解集为．（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论当时，成立等价于当时，成立．若，则当时，；若，由得，，解得：，所以，故．综上，的取值范围为．［方法二］：平方法当时，不等式成立，等价于时，成立，即成立，整理得．当时，不等式不成立；当时，，不等式解集为空集；当时，原不等式等价于，解得．由，解得．故a的取值范围为．［方法三］：【最优解】分离参数法当时，不等式成立，等价于时，成立，即，解得：，而，所以．故a的取值范围为．【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，是该题的最优解．（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通法；方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用是不等式解集的子集求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．