高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及其线性运算学案

这是一份高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及其线性运算学案，共9页。

知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 向量的有关概念
(1)向量：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 长度 (或称 模 )．
(2)零向量： 长度为0 的向量叫做零向量，其方向是 任意 的，零向量记作 0 .
(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或 相反 的 非零 向量；平行向量又叫 共线 向量．规定：0与任一向量 平行 .
(5)相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量．
(6)相反向量：长度 相等 且方向 相反 的向量．
知识点二 向量的线性运算
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．零向量与任何向量共线．
2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±eq \f(a,|a|).
3．若存在非零实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))或eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))或eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线．
4．首尾相连的一组向量的和为0.
5．若P为AB的中点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(3)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．( × )
(4)若向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( × )
题组二 走进教材
2．(必修4P91A组T4改编)化简eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝( B )
A.eq \(AD,\s\up6(→)) B．0
C．eq \(BC,\s\up6(→)) D．eq \(DA,\s\up6(→))
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝0.
3．(必修4P84T4改编)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，向量a－b等于( C )
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
[解析] 由图可知a＝－4e2，b＝－(e1＋e2)，∴a－b＝e1－3e2，故选C.
4．(必修4P91A组T3改编)如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( C )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
B．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))
D．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0
[解析] 由eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＝－eq \(BD,\s\up6(→))，故C错误．
题组三 走向高考
5．(2020·新高考Ⅱ，3,5分)若D为△ABC的边AB的中点，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( A )
A．2eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)) B．2eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))
C．2eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)) D．2eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))
[解析] ∵D为△ABC的边AB的中点，∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))，∴eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)).故选A.
6．(2015·新课标2)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ eq \f(1,2) .
[解析] ∵a、b不平行，∴a＋2b≠0，由题意可知存在唯一实数m，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)a＝(2m－1)b，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－m＝0,2m－1＝0))，解得λ＝eq \f(1,2).
考点突破·互动探究
考点一 向量的基本概念——自主练透
例1 (1)(多选题)给出下列命题，不正确的有( ACD )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
(2)若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中：
①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；
②若a与a0平行，则a＝|a|a0；
③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，
假命题的个数是( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] (1)A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
(2)①②③均为假命题．
名师点拨
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系是：eq \f(a,|a|)是a方向上的单位向量.
考点二 向量的线性运算——师生共研
例2 (1)(2021·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))等于( D )
A.eq \(OM,\s\up6(→)) B．2eq \(OM,\s\up6(→))
C．3eq \(OM,\s\up6(→)) D．4eq \(OM,\s\up6(→))
(2)(2018·全国Ⅰ理，6)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＝( A )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
[解析] (1)如图，在△OAC中，M为AC中点，所以eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))，在△OBD中，eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))，故选D.
(2)如图，由E为AD的中点，得eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，∴eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
又∵D为BC的中点，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)).∴eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).故选A.
名师点拨
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)考查向量加法或减法的几何意义．
(2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．
(4)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
〔变式训练1〕
(1)已知三角形ABC是等边三角形，D为AB的中点，点E满足2eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝0，则eq \(AE,\s\up6(→))＝( A )
A.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→)) B．eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))
C．eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→)) D．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))
(2)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( D )
A．a－eq \f(1,2)b B．eq \f(1,2)a－b
C．a＋eq \f(1,2)b D．eq \f(1,2)a＋b
[解析] (1)由2eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝0知eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))－\(CD,\s\up6(→))))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→)).
(2)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB，且eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,2)a.
考点三 共线向量定理及其应用——师生共研
例3 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[分析] (1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；
(2)利用共线向量定理求解．
[解析] (1)证明：∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得k＝±1.
[引申] 本例(2)中，若ka＋b与a＋kb反向，则k＝ －1 ；若ka＋b与a＋kb同向，则k＝ 1 .
[解析] 由本例可知ka＋b与a＋kb反向时λ<0，从而k＝－1；ka＋b与a＋kb同向时λ>0，从而k＝1.
名师点拨
平面向量共线的判定方法
(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
〔变式训练2〕
(1)(2021·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( B )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．－1或－eq \f(1,2)
(2)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于( D )
A．a B．b
C．c D．0
[解析] (1)由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝k，,2λk－k＝1，))
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,2).
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－eq \f(1,2).故选B.
(2)∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①
又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②
由①得：b＝λ1c－a.
∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＋1＝0，,λ2＝－1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝－1，,λ2＝－1.))
∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.故选D.
名师讲坛·素养提升
易错警示——都是零向量“惹的祸”
例4 (多选题)下列命题错误的是( ABC )
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B．在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
[解析] 易知ABC错误．对于D.∵向量a与b不共线，
∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．
若a＋b与a－b共线，
则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，
即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－1＝0，,1＋λ＝0，))此时λ无解，故假设不成立，
即a＋b与a－b不共线．故D正确．
名师点拨
在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．
〔变式训练3〕
(多选题)下列叙述错误的是( ABCD )
A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同
B．|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同
C．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0
D．若λa＝λb，则a＝b
[解析] 对于A，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；对于D，当λ＝0时，λa＝λb，此时不一定有a＝b.
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形 法则
平行四边形 法则
(1)交换律：
a＋b＝ b＋a ；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
减法
向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b
三角形 法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa
(1)模：|λa|＝|λ||a| ；
(2)方向：
当λ>0时，λa与a的方向 相同 ；
当λ<0时，λa与a的方向 相反 ；
当λ＝0时，λa＝0
设λ，μ是实数．
(1) λ(μa) ＝(λμ)a
(2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa
(3)λ(a＋b)＝ λa＋λb .