高考数学一轮复习第5章第1节平面向量的概念与线性运算学案

这是一份高考数学一轮复习第5章第1节平面向量的概念与线性运算学案，共15页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第一节　平面向量的概念与线性运算
考试要求：1．了解向量的背景．
2．理解向量的概念．
3．掌握向量的运算．

一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量
向量由方向和长度确定，与位置没有关系
零向量
长度为0的向量
其方向是任意的，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行(或共线)
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0


解决向量概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否满足条件，要特别注意零向量的特殊性．
2．平面向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

平行四边形法则
减法
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法

三角形法则

数乘
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘
(1)|λa|＝|λ||a|．
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ|b|
A　解析：方法一：因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2．所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b．所以a·b＝0．所以a⊥b．
方法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设＝a，＝b，由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b．
(2)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
B　解析：因为＝－2，所以＝2．又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋．

1．本例(2)条件不变，用，表示．
解：＝＋＝(＋)＝(＋－)＝－＝－(＋)＝－＝－．
2．本例(2)中，若＝2，其他条件不变，用，表示．
解：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．

1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．三种运算的关注点
(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”．
(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向被减向量．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．
考向2　利用向量的线性运算求参数问题
在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B．
C． D．
D　解析：由于AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，所以BD＝1．由题意易得＝＋＝＋，则2＝＋，即＝＋．所以λ＝，μ＝，故λ＋μ＝＋＝．

根据平面向量的线性运算求参数问题可以研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值或范围．

1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则等于(　　)

A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
A　解析：由＝＋＋＝－＋，得＝＋＝＋＝＋＝＋．故选A．
2．(2022·聊城模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：设＝y，因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈，所以＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y)．因为＝x＋(1－x)，所以x＝－y，所以x∈．

考点3　共线向量定理及应用——应用性

设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
(1)证明：因为＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，
所以与共线，且有公共点B．
所以A，B，C三点共线．
(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线．
所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
所以(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0．
因为a与b不共线，
所以⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，
所以k＝2λ＝±4．
即实数k的值为4或－4．

1．证明向量共线的方法
应用向量共线定理．对于向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使得a＝λb，则a与b共线．
2．证明A，B，C三点共线的方法
若存在实数λ，使得＝λ，则A，B，C三点共线．
3．解决含参数的共线问题的方法
经常用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数值．

1．设a，b是不共线的两个向量，已知＝a＋2b，＝4a－4b，＝－a＋2b，则(　　)
A．A，B，D三点共线
B．B，C，D三点共线
C．A，B，C三点共线
D．A，C，D三点共线
D　解析：因为＝－＝－3a＋6b，所以＝3，所以与共线．又因为它们有公共点C，所以A，C，D三点共线．
2．(2022·日照月考)已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t．若B，O，D三点共线，则t的值为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：如图，以OB，OC为邻边作平行四边形，其对角线相交于点E．因为＝(＋)，所以点O为线段AE的中点．

因为＝t，B，O，D三点共线，所以＝λ＋(1－λ)＝λ＋(1－λ)t．
又＝＝×(＋)＝＋，所以解得t＝．
3．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与AB，AC所在直线交于不同的两点M，N．若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
B　解析：连接AO，如图．因为O为BC的中点，所以＝(＋)＝＋．

因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2．


在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
[四字程序]
读
想
算
思
用基底表示
1．三角形法则，平行四边形法则．
2．以谁为基底
选择不同的三角形，利用三角形法则
转化与化归
O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，E是OD的中点，AE的延长线与CD交于F
1．＝＋，如何表示，？
2．＝＋，如何表示？
3．＝＋，如何表示，？
4．利用方程组思想与向量相等解决
1．在△AGF中表示．
2．在△ACF中表示．
3．在△ADF中表示．
4．直接设＝x＋y，利用向量相等求系数
1．向量的线性运算法则．
2．向量相等的条件．
3．平行线的性质


思路参考：利用，表示．
B　解析：由题意可知△DEF∽△BEA，
所以＝＝．又由AB＝CD可得＝，
所以＝．
作FG∥BD交AC于点G，

所以＝＝＝，
所以＝＝＝b．
因为＝＋＝＋＝＋＝＝a，
所以＝＋＝a＋b．

思路参考：利用，表示．
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G．

由DE＝EO，得DF＝FG．
又由AO＝OC，得FG＝GC，
于是＝＝×(b－a)＝b－a，
所以＝＋＝a＋b．

思路参考：利用，表示．
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G．

由DE＝EO，得DF＝FG．
又由AO＝OC，得FG＝GC，
于是＝＝，
那么＝＋＝＋＝a＋b．

思路参考：利用，表示．
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G．

由DE＝EO，得DF＝FG．
又由AO＝OC，得FG＝GC，
故＝＋＝＋＝＋．
设＝x＋y．
因为＝＋，＝－，
所以＝(x＋y)＋(x－y)，
于是解得
所以＝＋＝a＋b．

1．本题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助三角形法则或平行四边形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来；或选用不同基底分别表示，再利用向量相等解决．
2．本题考查向量的线性运算问题，体现了基础性．同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．
3．基于课程标准，解答本题一般需要良好的读图识图能力、运算求解能力、推理能力．本题的解答体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
C　解析：解法一：由题图可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋．因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3．
解法二：因为＝2，所以－＝2(－)，整理，得＝＋＝＋(＋)＝＋，以下同法一．
解法三：如图，延长AD，BC交于点P，

则由＝ 得DC∥AB，且AB＝4DC．又＝2，所以E为PB的中点，且＝．于是，＝(＋)＝＝＋．以下同法一．
解法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，

依题意可设点B(4m,0)，D(3m,3h)，E(4m,2h)，其中m＞0，h＞0．由＝r＋s，得(4m,2h)＝r(4m,0)＋s(3m,3h)，所以解得 所以2r＋3s＝1＋2＝3．