2024届高考数学一轮复习第5章第1节平面向量的概念与线性运算学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第5章第1节平面向量的概念与线性运算学案，共24页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。


第一节　平面向量的概念与线性运算
考试要求：1．了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．
2．理解平面向量的几何表示和基本要素．
3．掌握平面向量加、减运算，数乘运算及运算规则，理解其几何意义．

一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量
向量由方向和长度确定，与位置没有关系
零向量
长度为0的向量
其方向是任意的，记作0
单位
向量
长度等于1个单位长度的向量
非零向量a的单位向量为±aa
平行
向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行(或共线)
相等
向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反
向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0


解决向量概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否满足条件，要特别注意零向量的特殊性．
2．平面向量的线性运算
向量运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

平行四边形法则
减法
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法

三角形法则

数乘
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘
(1)|λa|＝|λ||a|．
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ|b|
A　解析：方法一：因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2.所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.所以a·b＝0.所以a⊥b.
方法二：利用向量加法的平行四边形法则．在□ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝(　　)
A．12AB+12AD B．34AB+12AD
C．34AB+14AD D．12AB+34AD
B　解析：因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝12(AB+AC)＝12(AB+AD+DC)＝12AB+AD+12AB＝34AB+12AD.

1．本例(2)条件不变，用AB，AD表示DM.
解：DM＝DC+CM＝12(AB+CB)＝12(AB+AB-AC)＝AB-12AC＝AB-12(AD+DC)＝AB-12AD+12AB＝34AB-12AD.
2．本例(2)中，若CM＝2MB，其他条件不变，用AB，AC表示AM.
解：AM＝AB+BM＝AB+13BC＝AB+13(AC-AB)＝23AB+13AC.


1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．三种运算的关注点
(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”．
(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向被减向量．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．
考向2　利用向量的线性运算求参数问题
在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点．若AO＝λAB＋μBC，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B．12
C．13 D．23
D　解析：由于AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，所以BD＝1.由题意易得AD＝AB+BD＝AB+13BC，则2AO＝AB+13BC，即AO＝12AB+16BC.所以λ＝12，μ＝16，故λ＋μ＝12+16＝23.

根据平面向量的线性运算求参数问题可以研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值或范围．

1．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
B　解析：如图，

CD＝CA+AD＝CA+12DB＝CA+12(CB-CD)＝CA+12CB-12CD，
所以12CB＝32CD-CA，即CB＝3CD－2CA＝3n－2m.
2．(2022·聊城模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是(　　)
A．0，12 B．0，13
C．-12，0 D．-13，0
D　解析：设CO＝yBC，因为BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈0，13，所以AO＝AC+CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC-AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.因为AO＝xAB＋(1－x)AC，所以x＝－y，所以x∈-13，0.

考点3　共线向量定理及应用——应用性

设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
(1)证明：因为AB＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，
所以AB与BC共线，且有公共点B.
所以A，B，C三点共线．
(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线．
所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
所以(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
因为a与b不共线，
所以8-λk=0，k-2λ=0⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，
所以k＝2λ＝±4.
即实数k的值为4或－4.

1．证明向量共线的方法
应用向量共线定理．对于向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使得a＝λb，则a与b共线．
2．证明A，B，C三点共线的方法
若存在实数λ，使得AB＝λAC，则A，B，C三点共线．
3．解决含参数的共线问题的方法
经常用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数值．

1．设a，b是不共线的两个向量，已知BA＝a＋2b，BC＝4a－4b，CD＝－a＋2b，则(　　)
A．A，B，D三点共线
B．B，C，D三点共线
C．A，B，C三点共线
D．A，C，D三点共线
D　解析：因为CA＝BA-BC＝－3a＋6b，所以CA＝3CD，所以CA与CD共线．又因为它们有公共点C，所以A，C，D三点共线．
2．(2022·日照月考)已知O为△ABC内一点，且AO＝12(OB+OC)，AD＝tAC.若B，O，D三点共线，则t的值为(　　)
A．14 B．13
C．12 D．23
B　解析：如图，以OB，OC为邻边作平行四边形，其对角线相交于点E.因为AO＝12(OB+OC)，所以点O为线段AE的中点．

因为AD＝tAC，B，O，D三点共线，所以AO＝λAB＋(1－λ)AD＝λAB＋(1－λ)tAC.
又AO＝12AE＝12×12(AB+AC)＝14AB+14AC，所以λ=14， 1-λt=14，解得t＝13.
3．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与AB，AC所在直线交于不同的两点M，N.若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
B　解析：连接AO，如图．因为O为BC的中点，所以AO＝12(AB+AC)＝m2AM+n2AN.

因为M，O，N三点共线，所以m2+n2＝1，所以m＋n＝2.


在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝(　　)
A．14a＋12b B．23a＋13b
C．12a＋14b D．13a＋23b
[四字程序]
读
想
算
思
用基底表示AF
1．三角形法则，平行四边形法则．
2．以谁为基底
选择不同的三角形，利用三角形法则
转化与化归
O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，E是OD的中点，AE的延长线与CD交于F
1．AF＝AG+GF，如何表示AG，GF？
2．＝AC+CF，如何表示CF？
3．＝AD+DF，如何表示AD，DF？
4．利用方程组思想与向量相等解决
1．在△AGF中表示．
2．在△ACF中表示．
3．在△ADF中表示．
4．直接设AF＝xAC＋yBD，利用向量相等求系数
1．向量的线性运算法则．
2．向量相等的条件．
3．平行线的性质


思路参考：利用AG，GF表示AF.
B　解析：由题意可知△DEF∽△BEA，
所以DEBE＝DFBA＝13.又由AB＝CD可得DFDC＝13，
所以DFFC＝12.
如图，作FG∥BD交AC于点G，

所以FGDO＝CGCO＝CFCD＝23，
所以GF＝23OD＝13BD＝13b.
因为AG＝AO+OG＝AO+13OC＝12AC+16AC＝23AC＝23a，
所以AF＝AG+GF＝23a＋13b.

思路参考：利用AC，CF表示AF.
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.

由DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC，得FG＝GC，
于是CF＝23CD＝23×12(b－a)＝13b－13a，
所以AF＝AC+CF＝23a＋13b.

思路参考：利用AD，DF表示AF.
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.

由DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC，得FG＝GC，
于是DF＝13DC＝13-12b+12a，
那么AF＝AD+DF＝12a+12b+13-12b+12a＝23a＋13b.

思路参考：利用AC，BD表示AF.
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.

由DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC，得FG＝GC，
故AF＝AD+DF＝AD+13DC＝AD+13AB.
设AF＝xAC＋yBD.
因为AC＝AD+AB，BD＝AD-AB，
所以AF＝(x＋y)AD＋(x－y)AB，
于是x+y=1，x-y=13，解得x=23，y=13，
所以AF＝23AC+13BD＝23a＋13b.

1．本题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助三角形法则或平行四边形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来；或选用不同基底分别表示，再利用向量相等解决．
2．本题考查向量的线性运算问题，体现了基础性．同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．
3．基于课程标准，解答本题一般需要良好的读图识图能力、运算求解能力、推理能力．本题的解答体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

如图，在直角梯形ABCD中，DC＝14AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，则2r＋3s＝(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
C　解析：解法一：由题图可得AE＝AB+BE＝AB+23BC＝AB+23(BA+AD+DC)＝13AB+23AD+DC＝13AB+23AD+14AB＝12AB+23AD.因为AE＝rAB＋sAD，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.
解法二：因为BE＝2EC，所以AE-AB＝2(AC-AE)，整理，得AE＝13AB+23AC＝13AB+23(AD+DC)＝12AB+23AD，以下同法一．
解法三：如图，延长AD，BC交于点P，

则由DC＝14AB 得DC∥AB，且AB＝4DC.又BE＝2EC，所以E为PB的中点，且AP＝43AD.于是，AE＝12(AB+AP)＝12AB+43AD＝12AB+23AD.以下同法一．
解法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，

依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.由AE＝rAB＋sAD，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，所以4m=4mr+3ms，2h=3hs，
解得r=12，s=23，
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
课时质量评价(二十六)
A组　全考点巩固练
1．设a，b是非零向量，则“a＝2b”是“aa＝bb”成立的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：由a＝2b可知，a，b 方向相同，aa，bb 表示 a，b 方向上的单位向量，所以aa＝bb成立；反之不成立．故选B.
2．(2023·泰安模拟)已知向量a和b不共线，向量AB＝a＋mb，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，若A，B，D三点共线，则m＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－2
A　解析：由题意得BD＝BC+CD＝2a＋6b＝λAB＝λ(a＋mb)，解得m＝3.
3．(多选题)设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使aa+bb＝0成立的是(　　)
A．a＝－2b B．a＝2b
C．a＝b D．a＝－b
AD　解析：∵aa+bb＝0，∴aa＝－bb，
∴a与b的方向相反．故选AD.
4．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)

A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
C　解析：结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
5．设D为△ABC所在平面内一点，AD＝－12AB+32AC.若BC＝λCD (λ∈R)，则λ＝(　　)
A．－2 B．－3
C．2 D．3
C　解析：因为BC＝λCD (λ∈R)，所以AC-AB＝λAD－λAC，即AD＝－1λAB+λ+1λAC.又因为AD＝－12AB+32AC，所以1λ=12，λ+1λ=32，解得λ＝2.
6．若AP＝12PB，AB＝(λ＋1)BP，则λ＝_________．
－52　解析：因为AP＝12PB，所以AP+PB＝AB＝32PB＝－32BP.所以λ＋1＝－32，λ＝－52.
7．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足BE＝EC，CD＝2CF，则|AE+AF|＝_________．
3　解析：根据题意，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，
则∠BAC＝60°，必有AC＝2，
又由BE＝EC，CD＝2CF，
则E是BC的中点，F是CD的中点，
则AE＝AB+BE，AF＝AD+DF，
则AE+AF＝AB+BE+AD+DF＝32(AB+AD)＝32AC，而AC＝2，则|AE+AF|＝3.

8．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，求1n+1m的值．
解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝13(a＋b)，PQ＝OQ-OP＝nb－ma，PG＝OG-OP＝13(a＋b)－ma＝13-ma＋13b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ13-ma＋13λb，则-m=λ13-m，n=13λ， 消去λ，得1n+1m＝3.
9．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．
解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有t-3+3k=0，t-2k=0， 解得t＝65.
故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．
B组　新高考培优练
10．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝(　　)

A．a－12b B．12a－b
C．a＋12b D．12a＋b
D　解析：连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝12AB＝12a，所以AD＝AC+CD＝b＋12a.
11．(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上．若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，3]
C．0，12 D．12，2
C　解析：如图所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F.在Rt△BCF中，∠B＝30°，BC＝2，所以CF＝1，BF＝3.因为AB＝23，所以AF＝3.由四边形AFCD是平行四边形，可得CD＝AF＝3＝12AB.因为AE＝AD+DE＝AD＋μAB，所以DE＝μAB.因为DE∥DC，DC＝12AB，所以0≤μ≤12.

12．(多选题)设a，b是不共线的两个平面向量，已知PQ＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，QR＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)
A．π6 B．5π16
C．7π6 D．11π6
CD　解析：因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即QR≠0.因为P，Q，R三点共线，所以PQ与QR共线，所以存在实数λ，使PQ＝λQR，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以1=2λ， sinα=-λ，解得sin α＝－12.又α∈(0，2π)，故α可为7π6或11π6.
13．(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若AM＝12AB+12AC，则点M是边BC的中点
B．若AM＝2AB-AC，则点M在边BC的延长线上
C．若AM＝－BM-CM，则点M是△ABC的重心
D．若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，则△MBC的面积是△ABC面积的12
ACD　解析：若AM＝12AB+12AC，则点M是边BC的中点，故A正确．若AM＝2AB-AC，即有AM-AB＝AB-AC，即BM＝CB，则点M在边CB的延长线上，故B错误．若AM＝－BM-CM，即AM+BM+CM＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确．如图，

AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，可得2AM＝2xAB＋2yAC，设AN＝2AM，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的12，故D正确．故选ACD.
14．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量OA＝(1－cos α)OB＋sin αOC(α是锐角)总成立，则α＝_______．
45°　解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得BA＝λBC，所以OA-OB＝λ(OC-OB)，即OA＝(1－λ)OB＋λOC，所以1-λ=1-cosα，λ=sinα， 所以sin α＝cos α，因为α是锐角，所以α＝45°.
15．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP＝mAB＋nAF(m，n为实数)，求m＋n的最大值．

解：如图所示，①设点O为正六边形的中心，则AO＝AB+AF.

当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连接OP，则AP＝AO+OP.
因为OP与FB共线，所以存在实数t，使得OP＝tFB，
所以此时m＋n＝1＋t＋1－t＝2，取得最小值．
所以AP＝AO+OP＝AB+AF＋t(AB-AF)＝(1＋t)AB＋(1－t)AF.
②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与圆Q的交点P时，AP＝52AO＝52(AB+AF)＝52AB+52AF，
此时m＋n＝5，取得最大值．