专题24 空间向量及其应用（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第24讲  空间向量及其应用

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一、知识梳理

1.空间向量的有关概念

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.

由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y.

(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

4.空间向量数量积的运算律

(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

(2)交换律：a·b＝b·a；

(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5.空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).

6.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.

(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.

7.空间位置关系的向量表示

1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.

2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.

二、考点和典型例题

1、空间向量的运算及共线、共面定理

【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，则实数m的值等于（       ）

A． B．－2

C．0 D．或－2

【答案】B

【详解】

当m＝0时，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，

与不平行，∴m≠0，∵，

∴，解得m＝－2.

故选：B

【典例1-2】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习），若三向量共面，则实数（       ）

A．3 B．2 C．15 D．5

【答案】D

【详解】

∵，∴与不共线，

又∵三向量共面，则存在实数m，n使

即，解得．

故选：D．

【典例1-3】（2020·全国·高三专题练习）设x，，向量，，且，，则（       ）

A． B． C．3 D．4

【答案】C

【详解】

因为向量，，且，，

所以，，

解得，

所以向量，，

所以，

所以，

故选：C

【典例1-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】

选项A，因为，所以共面；

选项B，因为，所以共面；

选项C，在构成的平面内，不在这个平面内，不符合.

选项D，因为共线，所以共面.

故选：ABD

【典例1-5】（2022·湖南·高三阶段练习）若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.

【答案】-1

【详解】

直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，

必有 ，即向量 与向量 共线，

，∴，解得；

故答案为：-1.

2、空间向量的数量积及其应用

【典例2-1】（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

分别取BC，AD的中点E，F，则，

所以，

故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，

又，

所以，，

所以的取值范围为．

故选：D．

【典例2-2】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，是上底面的边界上一点．若的最小值为，则该正四棱台的体积为（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示

，，由对称性，点在是相同的，

故只考虑在上时，设正四棱台的高为，则

，，设，，

，因为在上，所以，则

，

，

，

所以

由二次函数的性质知，当时，取得最小值为，

又因为的最小值为，所以，解得（负舍），

故正四棱台的体积为：

.

故选：A.

【典例2-3】（2022·山东泰安·模拟预测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则___________，___________.

【答案】     6     -42

【详解】

如图，延长MG，交的延长线于K，连接KN，显然平面，平面，

因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，

在堑堵中，，则，即，

又，则，而，于是得，所以，

因，，所以.

故答案为：6；-42

【典例2-4】（2022·上海徐汇·三模）已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.

【答案】3

【详解】

因为互相垂直，所以，

，

当且仅当时，取得最小值，最小值为9，

则的最小值为3.

故答案为：3

【典例2-5】（2022·浙江·模拟预测）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是_______.

【答案】

【详解】

如下图所示，由任意性，设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，

设，其中，则，

所以，，

所以，，

当且仅当线段与棱或重合时，等号成立，即的最大值为，

，当且仅当与点或重合，、重合于点或点时，等号成立，

但、、为不同的三点，则，

由上可知的最大值为，取线段的中点，

则，

当且仅当线段与棱重合且为棱的中点时，等号成立，则.

综上所述，.

故答案为：.

3、空间向量的应用

【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）下图为正三棱柱的一个展开图，若A，，，D，，六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

六点共圆的示意图如图所示．

设原正三棱柱的底面边长为2a，高为2b，圆的半径为r．

则有方程组，解得．

从而在原正三棱柱中，高为底面边长的倍．

设直线AE和直线BF所成角为，则．

由勾股定理，；

所以．

故选：A

【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（       ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】A

【详解】

解：在正方体中，

且平面，

又平面，所以，

因为分别为的中点，

所以，所以，

又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面，故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，

则，

，

则，，

设平面的法向量为，

则有，可取，

同理可得平面的法向量为，

平面的法向量为，

平面的法向量为，

则，

所以平面与平面不垂直，故B错误；

因为与不平行，

所以平面与平面不平行，故C错误；

因为与不平行，

所以平面与平面不平行，故D错误，

故选：A.

选项BCD解法二：

解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，

在内，作于点，在内，作，交于点，连结，

则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：，，

底面正方形中，为中点，则，

由勾股定理可得，

从而有：，

据此可得，即，

据此可得平面平面不成立，选项B错误；

对于选项C，取的中点，则，

由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；

对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，

由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；

故选：A.

【典例3-3】（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，

以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

所以，，，.

所以，.

故选：C.

【典例3-4】（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．

【答案】

【详解】

由题意，,,

所以，

，

，

所以

故答案为：.

【典例3-5】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台中，，，．

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成的角．

【解析】(1)

由题，取中点，连接，由，，则，又面，故面，

因为面，故，又，则，得证；

(2)

由题，，则，又，，

故，故.

分别以为轴建立如图空间直角坐标系，

易得，，，，，，设平面法向量，

则，令，则，

故，故直线与平面所成的角为.

即直线与平面所成的角为.