专题16 平面向量及其应用（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第16讲   平面向量及其应用

学校____________          姓名____________          班级____________

一、知识梳理

1.平面向量基本定理

(1)平面向量的基底

平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.

(2)平面向量基本定理

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.

2.平面向量的坐标

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).

3.平面向量的坐标运算

(1)平面向量线性运算的坐标表示

假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).

(2)向量模的坐标计算公式

如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.

(3)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

4.向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.

5.平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.

(2)向量的垂直：当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直.

(3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b, 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量__为向量a在直线l上的投影向量或投影.

②投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.

③两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.

6.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝＝.

(3)夹角：cos θ＝＝.

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.

7.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

8.平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

二、考点和典型例题

1、平面向量基本定理

【典例1-1】（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设，，因为

所以有，

因此，

因为，，，

所以，

故选：B

【典例1-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知均为单位向量，且满足，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，同理

．

故选：B.

【典例1-3】（2022·江西·模拟预测（理））已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（       ）

A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]

【答案】C

【详解】

取EF的中点M，连接CM，则，

，

又，所以，

所以，

当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，

故选：C．

【典例1-4】（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【详解】

，而，

故，

而且不共线，故，

故选：C.

【典例1-5】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））设，是平面内两个不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（       ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】A

【详解】

因为A，B，C三点共线，所以向量、共线，

所以存在，使得，即，

即，

因为、不共线，所以，消去，得，

因为，，所以，当且仅当，时，等号成立.

故选：A

2、坐标运算及其数量积

【典例2-1】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（       ）

A．0 B．48 C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，得，

又与反向共线，故，此时，

故.

故选：C.

【典例2-2】（2022·全国·二模（理））已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：因为向量，，，

所以，

又，，

所以，解得，

所以向量的坐标为，

故选：D.

【典例2-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，

，，

，

则，，，

设，则，

则，，

，，

，，

，

，其中，

，

当时，，当时，，

当时，取得最大值，最大值为．

故选：A．

【典例2-4】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，两边平方可得：

，

因为向量，为单位向量，

所以，即.

因为，所以，即与的夹角为.

故选：C

【典例2-5】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（       ）

A． B．

C．方向上的投影是 D．

【答案】C

【详解】

由已知，，

所以，，

因为，所以不平行，A错，

因为，所以不垂直，B错，

因为方向上的投影为，C对，

因为，所以不垂直，D错，

故选：C.

3、综合应用

【典例3-1】（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形的边长为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：，

则.

故选：A.

【典例3-2】（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．2

【答案】A

【详解】

如图，设，

当时，取得最小值，

过作，即取得最小值为，

因为与的夹角为，

所以，

所以.

故选：A.

【典例3-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））若向量，满足，，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：因为，，，所以，

即，所以，设与的夹角为，

则，因为，所以；

故选：B

【典例3-4】（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【详解】

在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．

设，

则

由，可得

则，解之得，则

则

又，则，解之得，即的长为4

故选：C

【典例3-5】（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，

(1)若，求角的大小；

(2)在（1）的条件下，，求的最大值.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)

由题

所以，即

又因为，所以，.

(2)由余弦定理，代入数据得：，

整理得到

解得，当且仅当时，等号成立.

故的最大值为.

【典例3-6】（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．

(1)求四边形ABCD的面积；

(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)

解：在中，

在中，

∵A，B，C，D四点共圆，∴，

∴，∴，因为，所以，

所以，，

(2)解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，

所以，

．