初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试导学案及答案

九(下)第一章  直角三角形的边角关系（第十三周周末教案 课时25）

第一节  锐角三角函数

知识点一、正切的定义

1. 正切：如图(1),在RtΔABC中，如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即    .

(1)(2)

  (1)tanA中的符号“∠”一般可以省去，但对于用三个大写字母或用阿拉伯数字表示角时，角的符号“∠”不能省略.

  (2)tanA的平方用tan2A表示，tanA的2倍用2tanA表示.

2.坡度：如图(2)所示，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做    坡度(或坡比)    ，通常用字母i表示。斜坡的坡度

  和坡角的正切值有如下关系：i=        ，即坡度是    坡角    的正切值。

  归纳总结：(1)坡度一般写成1：m的形式(比例的前项为1，后项可以是小数)；

            (2)若坡角为α，坡度为i=，坡度越大，则α越大，坡面越陡.

【例1】如图所示，已知一商场自动扶梯的长l为10米，高h为6米，该自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于        。

(例1)(例2)(3)⑷(例4)

【例2】如图所示，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种数，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为(     )A. 5m         B. 6m         C. 7m         D. 8m

知识点二、正弦和余弦的定义

1. 正弦、余弦：如图(3)所示，在RtΔABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边之比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin A，即         ；∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，记作        .

注意：

  (1)锐角的三角函数，可以简记为：正切对比邻，正弦对比斜，余弦邻比斜。

  (2)sinA、cosA、tanA的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，它是一个    比值    ，没有单位，其大小仅与    角    的  

  大小有关. ∠A一旦确定，三个比值也    随之确定    .

  ⑶当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而   增大   ；余弦值随着角度的增大而    减小    ；正切值随着角

  度的增大而    增大    .

  (4)互余的两个角的正弦值与余弦值相等；当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0。

2. 梯子的倾斜程度与三角函数的关系：如图⑷所示，如果AB表示倾斜靠墙的梯子，则有tan ∠BAC的值越大，梯子越    陡    ；sin ∠BAC的值越大，梯子越    陡    ；cos ∠BAC的值越小，梯子越    陡    .

【例3】已知在RtΔABC中，∠C=90º，BC=3，AC=4，则sinA的值为(    )A.        B.        C.        D.

【例4】如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为5，∠B=40°，则直角边BC的长是(     )

       A. 5sin40°          B. 5cos40°          C. 5tan40°         D.

【例5】比较下列三角函数值的大小：cos40°     cos50°；sin40°    cos40°；sin70°    tan70°；(选填“＞”、“=”、“＜”)。

知识点三、三角函数的意义

    锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。直角三角形中，共6个元素：3条边和3个角(其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠c的对边为c)， 它们之间存在如下关系：

    (1)三边之间关系：    a2+b2=C2    ；：

    (2)锐角之间关系：    ∠A+∠B=90°    ；

    (3)边角之间关系：sinA= ，cosA=，tanA=；

    除直角外只要知道其中    2    个元素(至少有1个是边)，就可以利用以上关系求另外3个元素。

第二节   30º，45º，60º角的三角函数值

知识点四、特殊角度的三角函数值(30º，45º，60º角的三角函数值)

    根据正弦、余弦和正切的定义，结合图形，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值.

【例6】计算：(1)8sin260°+tan45°﹣4cos30°；    (2)；     (3)﹣32+(﹣2)0﹣4×sin260°+.

第四节   解直角三角形

知识点、解直角三角形的概念、解法

1. 直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角。由直角三角形中    已知的元素    ，求出    所有未知元素    的过程叫做解直角三角形.

2. 具体解法如下表：

注意： (1)对任意锐角α，有sin2 α+cos2 α=1；0<sin α<1；0<cos α<1；。

       (2)锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数。

       (3)在作垂线构造直角三角形时，一般不要破坏特殊角(30°，45°，60°)的完整性，即尽量不要过这些特殊角的顶点作垂线。

       (4)当题目中出现15°、75°、105°、120°时，可利用特殊角的组合进行转化，如45°－30°＝15°，30°+45°＝75°等。

【例7】在△ABC中，∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．根据已知条件，解直角三角形．(1)c=8，∠A=60°(2)b=,c=4．

【例8】如图，在△ABC中，AB=1，AC=，sinB=，求BC的长。

(例8)

【习题精练】

1. 在RtΔABC中，∠C=90º，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值(     )

   A. 扩大到原来的2倍         B. 缩小到原来的         C. 扩大到原来的4倍         D. 不变

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=, 则cosB的值为（    ）A.         B.         C.         D.

3. 河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是(     )A. 9m     B. 6m    C. m     D. m

（3题）(6题)(7题)(8题)(10题)

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么tanB=(     )A.   B.    C.    D.

5. 若等腰三角形底边长为10cm,周长为36cm,则底角的余弦值等于(    )A.   B.   C.   D.

6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=4，CD=3，则tanB的值是(　 　)

   A.           B.           C.           D.

7. 如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为(     )

   A.        B.        C.        D. 1

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM=，则tan∠B的值为        .

9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AB=10，则△ABC的面积为        .

10. 如图所示，在等腰ΔABC中，AB=AC，若AB=2BC，则∠B的正弦值和正切值分别为         .

11. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=75°，AC=8. 求AB和BC的长.

(11题)(12题)(14题)(15题)

【提高训练】

12. 如图所示，ΔABC表示某中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮售价为a元/米2，则购买这种草皮至少花费       .

13. 在RtΔABC中，AB=5，BC=4，则sin A的值为        .

14. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则tanB等于           。

15. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为          。

16.如图，第一象限内一点A，已知OA=s，OA与x轴正半轴所成的夹角为α，且tanα=2，那么点A的坐标是       .

(16题)(17题)

17. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是        .

18. 求下列各式的值.(1)；        (2)

19. 如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．(1)求证：AC=BD；(2)若sin∠C=，BC=12，求AD的长．

(19题)

20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，AB=，BC=12，tanB=．(1)求△ABC的面积；(2)求tan∠EDC的值．

(20题）

【培优训练】

21. 在四边形ABCD，∠A=∠C=90°，∠ABC=30°，AD=3，BC=15，求tan∠ABD的值。

(21题)

22. 如图在△ABC中,点D是AB的中点,DC⊥AC,且tan∠BCD=．求tan∠A的值．

（22题）

九(下)第一章  直角三角形的边角关系（第十三周周末教案 课时26）

第五节 三角函数的应用

知识点一、仰角和俯角(如图1)：

    仰角：当从低处观测高处的目标时，     视线与水平线    所成的锐角称为仰角；

    俯角：当从高处观测低处的目标时，     视线与水平线    所成的锐角称为俯角。

图1图2

知识点二、方向角(如图2)：方向角是以观察者为中心(方向角的顶点)，以    正北或正南      为始边，旋转到观察目标所成的锐角.如图，目标方向线OA、OB、OC的方向角分别为北偏东15º、南偏东20º、北偏西60º。其中南偏东45º习惯上又叫东南方向，同样北偏西45º又叫西北方向，如OE的方向角为南偏东45º，OG的方向角为南偏西45º.

(例1)(例2)

【例2】一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东60°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东45°方向上之后，轮船继续向东航行          海里，距离小岛C最近

【例3】如图所示，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30º和60º，如果这时气球的高度CD为90米，且点A、D、B在同一水平线上，求建筑物A、B间的距离。

(例3)

第六节 利用三角函数测高

知识点三、 测量底部可以到达的物体的高度(重点)

    所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体之间的距离

知识点四、测量底部不可以到达的物体的高度(难点)

    所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.

    提示：测量底部不可以到达的物体的高度，求解时常要解两个直角三角形.

    (通常一个角用来    设未知数    ，另一个角用来      列方程     )

【例4】如图所示，升国旗时，沈杰同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆有多高？(，答案精确到0.1m)

(例4)

【例5】如图，河对岸有古塔AB．小敏在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米到达D．在D处测得A的仰角为45°，则塔高是多少米？

(例5)

【习题精练】

1. 从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是(    )A. 米  B. 米  C. 米  D. 12米

(1题)(2题)(3题)(4题)(5题)

2. 如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为(    )

    A. 30米          B. 60米          C. 米          D. 米

4. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是(    )A. 200米     B. 米     C. 米     D. 米

5. 在ΔABC，已知AB=1，AC=，∠ABC=45º，则BC的长为          。

7. 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度。如图所示，他们先在点C处测得教学楼AB的顶点A的仰角为30º，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45º。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度(计算过程和结果均不取近似值)。

(7题)

【提高训练】

8. 如图，在顶角为30°的等腰△ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D．根据图形计算tan∠BCD=      

(8题)(9题)

9. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为          。

10. 如图，在△ABC中∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，，求：(1)DC的长；(2)sinB的值．

(10题) 

11. 一船在A处测得北偏东45°方向有一灯塔B，船向正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时到达C处时，又观测到灯塔B在北偏东15°方向上，求此时航船与灯塔相距多少海里？

(11题)

12. 今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动。他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示，斜坡AB的长为1300米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30º。已知A点海拨121米，C点海拨821米。(1)求B点的海拨；(2)求斜坡AB的坡度。

13. 永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一。某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度，如图所示，他们在C处测得摩天轮最高点A的仰角为45º，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60º。求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB（≈1.732，结果保留整数）。

（13题）

【培优训练】

15. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。根据气象观测，在某沿海城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级，台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？（3）该市受到这次台风影响的最大风力为几级？

九(上)第一章  直角三角形的边角关系（第十三周 强化训练13）

【习题精练】

2. 某人沿坡角为α的斜坡前进了50米，则他上升的最大高度是（    ）

A. 米        B．50sinα米        C. 米        D. 50cosα

（2题）（3题）(4题)(5题)

3．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（　　）

A．斜坡AB的坡度是10°        B．斜坡AB的坡度是tan10°       C．AC=1.2tan10°米           D．AB=米

4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=，AB=，则tan∠BCD的值为(   )

A.    B.    C.    D.

5. 如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行          .

6. 在RtΔABC中,∠C=90º,BC=4,tan A=,则AB的长为         .

7. 在ΔABC中， ∠A，∠B都是锐角， 且， 则ΔABC是       。

8. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A=105°，AC=2，则BC的长为       .

（6题）（8题）(9题)

9. 如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1:1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为      .

10 计算：(1)+(﹣1)3﹣||；    (2)﹣+20120+|﹣2|；⑶  

【提高训练】

11. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=α，BD是斜边AC上的高，那么(    )

A. AC=BC•sinα        B. AC=AB•cosα        C. BC=AC•tanα        D. CD=BD•tanα

12. 如图所示，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=(     )

A. 3          B. 4          C. 5          D. 6

(12题) (13题)(14题)

13. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD=9，DC=5，cosB=，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为       .

14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=16，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是       。

15. 已知在RtΔABC中,∠ACB=90º,CD⊥AB,垂足为D,AD=8,BD=4,求tan A的值.

（15题）

16. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米. (1)求拉线CE的长(结果保留根号)；(2)已知E、F两点间距离为米，求两拉线的夹角∠ECF的度数

17. 如图，为响应市人民政府“形象重于生命”的号召，在甲建筑物从A点到E点挂一长为30米的宣传条幅，在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°，测得条幅底端E点的俯角为30°，求底部直接到达的甲、乙建筑物之间水平距离BC．

(17题)

【培优训练】

18. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是       。

（18题）

19. 如图，在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=，点D在BC边上，BD=6，CD=AB，求AD的长。

（19题）