宜丰中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份宜丰中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数,则的虚部是( )
A.B.C.-2D.2
2．的值为( )
A.B.C.D.
3．如图,在正方体中,E为CD的中点,F为BC的中点,则直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
4．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高约为,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为,则犇犇估算索菲亚教堂的高度CD约为（结果保留整数）( )
A.B.C.D.
5．已知两点,,则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A.B.
C.D.
6．直线分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．设的三个内角A,B,C,向量,,若,则=( )
A.B.C.D.
8．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为,定点Q为x轴上一点,且,若点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
10．设a、b是两条不同的直线,、是两个不同的平面,下列说法错误的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,,则D.若,,则
11．已知点,圆,过点M的圆C的切线方程可能为( )
A.B.C.D.
12．若曲线与直线有两个交点,则实数k的取值可以是( )
A.0.3C.0.8D.0.6
三、填空题
13．在中,三个内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若,,则_________.
14．已知,直线,且 ,则的最小值为_____________.
15．定义运算.若,,,则__________.
四、双空题
16．已知二面角为60°,动点P,Q分别在平面,内,P到的距离为,Q到的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为________,此时直线PQ与平面所成的角为________．
五、解答题
17．已知z是复数,与均为实数(i为虚数单位),且复数在复平面上对应点在第一象限.
(1)求z的值;
(2)求实数a的取值范围.
18．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求角C的大小;
（2）若,,求的面积.
19．已知直线.
（1）若直线的倾斜角是l倾斜角的两倍,且l与的交点在直线上,求直线的方程;
（2）若直线与直线l平行,且与l的距离为3,求直线的方程．
20．已知函数,.
（1）若,求函数的值域;
（2）已知为锐角且,求的值.
21．如图,已知正三棱柱的底面边长是2,D是侧棱的中点,直线AD与侧面所成的角为.
（1）求此正三棱柱的侧棱长;
（2）求二面角的正切值.
22．已知圆C过点,且与y轴相切于坐标原点,过直线上的一动点P引圆C的两条切线,,切点分别为A,B．
（1）求圆C的标准方程;
（2）若点M为线段AB的中点,点O为坐标原点,求的最大值．
参考答案
1．答案：D
解析：,则,因此,的虚部是2.
故选：D.
2．答案：A
解析：.
故选：A.
3．答案：C
解析：如图所示：
分别取AB,AD的中点G,H,连接,,GH
易知,则或其补角为直线与所成的角,
设正方体棱长,则,
所以,
故选：C.
4．答案：D
解析：由题意知：,,所以,
在中,,
在中,由正弦定理得,
所以,
在中,,
故选：D.
5．答案：B
解析：依题意,,则线段AB的垂直平分线的斜率为,又A,B两点的中点为,
所以线段AB的垂直平分线的方程为,即.
故选：B.
6．答案：A
解析：直线分别与x轴,y轴交于A,B两点
,,则
点P在圆上
圆心为,则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选：A.
7．答案：C
解析：因为向量,,
若
,
解得为选：C.
8．答案：C
解析：设,,所以,
又,所以．
因为且,所以,
整理可得,
又动点M的轨迹是,
所以,解得,
所以,又,
所以,因为,
所以的最小值为．
故选：C．
9．答案：ABD
解析：因为,
所以,则,
因为,所以,,
所以,故A正确;
所以,
所以,故D正确;
联立,可得,,故B正确;
所以,故C错误.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A：若,,则或或或a与相交不垂直,故A错误;
对于B：若,,根据面面平行的性质可得,故B正确;
对于C：若,,,则或或a与b相交或a与b异面,故C错误;
对于D：若,,根据面面垂直的判定定理可得,故D正确;
故选：AC.
11．答案：AC
解析：由题意得圆心,半径．
点M在圆C外部,所以过点M的圆的切线有两条.
当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为．即．
又圆到直线的距离,
直线是圆C的切线;
当过点M的圆C的切线的斜率存在时,设切线方程为,
即;则圆心C到切线的距离,解得
切线方程为,即,
过点M的圆C的切线方程为或．选项AC正确.
故选:AC．
12．答案：BD
解析：设直线为l,圆心为M,曲线可化为,,
所以曲线是以为圆心,2为半径的半圆,
直线l与半圆相切,C为切点时,圆心到直线l的距离,
即,解得,
直线恒过点,
当直线l过点B时,直线l的斜率为,
所以曲线与直线有两个交点,实数k的取值范围为,
故选：BD.
13．答案：
解析：由正弦定理可得：,又,,;
由余弦定理得：,
,.
故答案为：.
14．答案：8
解析：因为,所以,即.
因为,,所以,
当且仅当,即,时等号成立,所以的最小值为8.
故答案为：8.
15．答案：
解析：由题意可得,
因为,则,
所以,,
因为,则,
所以,
,
因此,.
故答案为：.
16．答案：①.②.
解析：（1）如图,分别作,,连结PC,,,连结BD,
则,因为,
所以,
当点P与点B重合时,取最小值,又此时成立,
所以P,Q两点之间距离的最小值是;
（2）此时点P与点B重合,此时,所以PQ与平面所成角为.
故答案为：;.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设,
又,且为实数, ,解得.
,
为实数, ,解得.
(2)复数,
,解得.
即实数a的取值范围是.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由正弦定理得,, ,
, .
（2）因为,
,,
代入已知得,,即,
又,
,
.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为直线l的斜率为,所以倾斜角为.
又因为直线的倾斜角是l倾斜角的两倍,故的倾斜角是.
因为直线l与直线的交点为,所以直线的方程是,
即.
（2）因为直线与直线l平行,故可设直线的方程为.
因为与l的距离为3,则有,解得或,
所以直线的方程或.
20．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）因为
,
由,得,
所以,即,
故函数的值域为．
（2）由,得
又因为为锐角,
所以,,
所以,
所以,
所以
．
21．答案：（1）
（2）3
解析：（1）设正三棱柱的侧棱长为x,取BC中点E,连接AE,
是正三角形, ,又底面侧面,且两平面交线为BC,
侧面,连接ED,则为直线AD与侧面所成的角,
,在中,,解得,
此正三棱柱的侧棱长为.
（2）过E作于F,连接AF, 侧面,
平面, ,,且AE,平面AEF,
平面AEF,
,为二面角的平面角.
在中,,又,
, ,又,
在中,.
22．答案：（1）
（2）．
解析：（1）圆C与y轴相切,可设圆心C的坐标为;
又圆C过点,, ,
解得,圆心C为,半径为1,
圆C的标准方程为;
（2）如图,
设A,B两点的坐标分别为,,再设点P为,
直线AC方程为,
又过点A,且与直线垂直,∴为,
又知过点P,得到,
整理可知点A满足：,
同理点B满足：,
直线AB的方程为,
直线AB恒过定点,设定点为Q点,
由题意可知当点M与点Q不重合时,,点M在以CQ为直径的圆上（不包括点C）,
当点M与点Q重合时也在该圆上,
点M的轨迹为（去掉）,设圆心为,
,
当时,;当时, ,
又即点与点所在直线的斜率,范围是．
进而, ,
综上：,的最大值为．