2021学年第七章 复数7.1 复数的概念课后作业题

7.1复数的概念

【知识点梳理】

知识点一：复数的基本概念

1.虚数单位

数叫做虚数单位，它的平方等于，即。

知识点诠释：

①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；

②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2.复数的概念

形如（）的数叫复数，记作：（）；

其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。

知识点诠释：

复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.

3.复数的分类

对于复数（）

若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。

分类如下：

（）

用集合表示如下图：

4.复数集与其它数集之间的关系

（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）

5．共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

通常记复数的共轭复数为。

知识点二：复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：

如果，那么

特别地：.

知识点诠释：

（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.

根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．

（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

知识点三：复数的几何意义

1.复平面、实轴、虚轴：

如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.

知识点诠释：

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数集与复平面内点的对应关系

按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数复平面内的点

这是复数的一种几何意义。

3.复数集与复平面中的向量的对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。

设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。

复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即

复数平面向量

这是复数的另一种几何意义。

4.复数的模

设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.

即.

知识点诠释：

①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.

②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。

【典型例题】

类型一、复数的基本概念 

例1．（2022·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（    ）

A． B． C． D．

例2．（2021·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（    ）

A． B． C． D．

例3．（2021·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

例4．（2019·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位）

（1）复数z是实数，求实数m的值；

（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；

（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.

例5．（2021·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

例6．（2021·全国·高一课时练习）写出复数4，－π， 2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.

类型二、复数相等

例7．（2021·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？

例8．（2021·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：

（1）；

（2）．

例9．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则___________.

例10．（2021·山东·泰安一中模拟预测）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.

类型三、复数的几何意义

例11．（2022·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

例12．（2021·贵州贵阳·高三阶段练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

例13．（2021·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上

例14．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

例15．（2022·河北·高三阶段练习）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

例16．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．

（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；

（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．

类型四、复数的模

例17．（2022·河南洛阳·一模（理））已知复数，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

例18．（2021·湖北武汉·高三阶段练习）复数z的虚部为，模为2，复数z对应的点位于复平面第二象限，则复数对应的点位于复平面内（    ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

例19．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．

类型五、复数的轨迹与最值问题

例20．（2021·全国·高一课时练习）设全集U＝C， A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合．

例21．（2021·江苏·金陵中学高三阶段练习）若复数满足，则的最大值是______.

例22．（2021·重庆市实验中学高三阶段练习）设复数满足，则=__________.

【同步练习】

一、单选题

1．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（       ）

A．0 B．1 C． D．2

2．（2021·河南·模拟预测（文））已知、，，则（       ）

A． B． C． D．

3．（2021·上海市徐汇中学高二期末）下列命题中，正确的是（       ）

A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小

C．设，如果，那么 D．设，如果，那么

4．（2021·河南·高三开学考试（文））设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（   ）

A． B． C． D．

5．（2021·浙江·高三开学考试）复数的虚部是（       ）

A．i B． C．1 D．-1

6．（2021·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（     ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．（2021·新疆昌吉·模拟预测（文））若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（       ）

A．2 B．4 C． D．

8．（2022·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（       ）.

A． B．

C． D．

二、多选题

9．（2021·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（       ）

A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限

B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则

C．若复数是纯虚数，则

D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则

10．（2021·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（       ）

A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限

B．当时，为纯虚数

C．最大值为

D．的共轭复数为

11．（2021·全国·高一期中）下列说法正确的有（       ）

A．任意两个复数都不能比大小

B．若，则当且仅当时，

C．若，且，则

D．若复数z满足，则的最大值为3

12．（2021·江苏·南京市第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（       ）

A． B．

C．是该方程的根 D．是该方程的根

三、双空题

13．（2019·浙江台州·模拟预测）已知是复数，是虚数单位，且，，则________，复数在复平面内对应的点位于第________象限．

四、填空题

14．（2021·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．

15．（2021·福建福州·高三期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______.

16．（2022·上海·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________

五、解答题

17．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．

(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；

(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．

18．（2021·广东高州·高一期末）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．

（1）若，求，；

（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．

19．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）如图，已知复平面内平行四边形中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数z，且

（1）求D点对应的复数；

（2）求平行四边形的面积.

20．（2021·重庆·高二期末）已知复数满足，的实部与虚部的积为.

（1）求；

（2）设，                       ，求的值.

从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

21．（2021·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值．

22．（2021·上海市实验学校高一期末）已知复数（其中、），存在实数，使成立．

（1）求证：；

（2）求的取值范围．