2022年新高考数学二轮提升数列专题第13讲《数列性质：单调性》（2份打包，解析版+原卷版）

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第13讲 数列性质:单调性 参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．（2021•南通模拟）已知为递减数列，且对于任意正整数，恒成立，恒成立，则的取值范围是　　．【解答】解：恒成立又由恒成立即又由故答案为：2．（2021秋•秀屿区校级月考）已知数列满足：，是与无关的常数且，若数列是单调递减数列，则的取值范围为　　．【解答】解：是与无关的常数且，，数列是等差数列，首项为，公差为，，．数列是单调递减数列，对于都成立．对于都成立．令，则是关于的单调递增数列，．．的取值范围为．故答案为．3．（2021•衡水模拟）若数列满足，则称数列为“差递减”数列，若数列是“差递减”数列，且其通项与其前项和满足，则实数的取值范围是　　．【解答】解：，时，，解得．时，，化为．同理可得：，，．，，，，，解得：．则实数的取值范围是．故答案为：．4．（2021•东湖区校级模拟）若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为　　．【解答】解：当时，，于是有：，所以，显然也适合，因此数列的通项公式为：．当为奇数时，，此时数列的奇数项数列是单调递增函数；当为偶数时，，此时数列的偶数项数列是单调递增函数，要想使不等式成立的有且只有三项，只需有：．故答案为：．5．（2021•辽宁模拟）已知数列满足：，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是　　．【解答】解：因为，即，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，即，所以，则，，因为数列是单调递增数列，所以对恒成立，即对恒成立，所以，又，即，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．6．（2021秋•渝中区校级月考）设数列满足．（1）若，则　　；（2）若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是　　．【解答】解：（1）若，则，故数列为常数列，故．（2）解法一：若数列是正项单调递增数列，则（舍去）或，当时，则，故若，则数列是单调递增数列，综上所述，的取值范围是．解法二：若数列是正项单调递增数列，则对于任意，，且，又此时，故或（舍去），综上所述，的取值范围是．二．解答题（共7小题）7．（2021秋•洛阳期中）已知数列的前项和为，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）若对任意整数恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）证明：，可得，即有，则数列是1为首项，4为公差的等差数列；（2）由（1）可得，即有，由可得，即，令，则，即有数列为递增数列，当时，取得最小值，且为，可得，解得或．即实数的取值范围为，．8．（2021•内江四模）已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）若，求函数的单调区间；（3）若正项数列满足，，证明：数列是递减数列．【解答】解：（1）由题意得，，则　，解得，；（2）由（1）可得，由题意得，，①当时，令，解得或，所以在和上单调递增；令，解得，所以在上单调递减；②当时，，则在上单调递增；③当时，令，解得或，所以在和上单调递增；令，解得，所以在上单调递减；综上：当时，的单调递增区间和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间和，单调递减区间是．（3）证明：正项数列满足，，，数列是递减数列，等价为，即为，即为即，令，是上的增函数，，即，故，是递减数列．9．（2021春•安徽期末）已知数列中，，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列的前项和为①当时，求；②若单调递增，求的取值范围．【解答】解：（1）证明：设，则，，，（1分），（3分）数列是公比为2的等比数列，故数列是等比数列，（4分），，（6分）（2）由（1）得，，，（7分），（8分），，（10分）①当时，；（11分）②单调递增，对且恒成立，（12分）即，设，则，在且单调递减，（14分），，即，故的取值范围为．（16分）10．（2021春•南昌期末）已知首项为正的数列中，相邻两项不为相反数，且前项和（1）求证：数列为等差数列；（2）设数列的前项和为，对一切正整数都有成立，求的最大值．【解答】（本小题12分）解：（1）证明：，，，或．又相邻两项不为相反数，，数列为公差为2的等差数列．（2）由或，数列的首项为正，，由（1）得，数列在，上是递增数列．又当时，要使得对于一切正整数都有成立，只要，所以的最大值为．11．（2021•天津一模）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：，，，即．在中，令，得，代入得．，，两式相减，得：，数列的偶数项，，，，，依次构成一个等差数列，且公差为，当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，由上式及知：，数列的通项公式是．，等价于，令，则由知，．，即的值随的增大而减小，时，的最大值为，若存在实数，符合题意，则必有：，即，它等价于，解得，或，因此，存在实数，符合题意，其取值范围为．12．已知数列的前项和为，且对一切正整数都有．（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：对一切都成立．【解答】解：（1）．①．②②①得：；（2）；；又（3）对一切都成立．13．（2017秋•海安市校级月考）首项为正数的数列满足．（1）证明：若为奇数，则对，都是奇数；（2）若对，都有，求的取值范围．【解答】（1）证明：利用数学归纳法证明：已知是奇数，时成立．假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数．即时也成立．根据数学归纳法，对任何，都是奇数．（2）解：由，得，于是或．，因为，，所以所有的均大于0，因此与同号．因此，对一切都有的充要条件是或．