2022年新高考数学二轮提升数列专题第16讲《数列不等式的范围与最值问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第16讲 数列不等式的范围与最值问题 参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2021秋•武昌区期末）已知数列的前项和，设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意，当时，．当时，，，．则．设数列的前项和，则．对任意的，不等式恒成立，对任意的，不等式恒成立，即对任意的，不等式恒成立．构造数列：令，．，．数列是单调递增数列．数列的最小值为．．故选：．2．（2021•潮南区模拟）已知等差数列中，，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为　　A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：设公差为，由，，得，解得，，，故，令，则，是递减数列，最大，为，根据题意，，，，的最小值为4．故选：．3．（2021•宣城二模）等比数列的首项为正数，，，若对满足的任意，都成立，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：由题意有可得，，．又，，公比，，故满足的的最小值等于9．，在，上是增函数，故取最小值9时，有最小值为，由题意可得，即实数的取值范围是，，故选：．二．填空题（共4小题）4．（2021秋•淮安期中）已知数列，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围　　．【解答】解：，，，，，，数列前3项单调递增，从第3项起单调递减，当时，数列有最大值，故．故答案为：．5．（2021秋•广东月考）已知数列的前项和，设数列满足：为非零常数，，存在整数，使得对任意，都有，则　　．【解答】解：，，解得．时，，化为：，变形为：，数列是等差数列，首项为1，公差为1．，．为非零常数，，，，存在整数，使得对任意，都有，，化为：，时，．时，．．为非0整数．则．故答案为：．6．（2021•沈河区校级四模）数列满足：，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为　10　．【解答】解：数列满足：，，数列是以4为公差、以1为首项的等差数列，易得：，令，而，为减数列，所以：，而为正整数，所以，7．（2021•江西模拟）已知函数，点为坐标原点，点，向量，是向量与的夹角，则使得恒成立的实数的取值范围为　　．【解答】解：根据题意得，是直线的倾斜角，；；要使恒成立，则实 数的取值范围是．故答案为：．三．解答题（共16小题）8．已知的前项和为（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和；（3）若对于任意的  ，不等式恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）当时，，即，当时，，故，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则求的通项公式为；（2）由（1）知，，所以，则的前项和为；（3）由（1）知，所以，从而不等式等价于，又，则上式整理可得，则△，解得．9．（2021•温州模拟）已知等差数列满足，，数列的前项和，．（1）求数列、的通项公式；（2）记数列的前项和为，若存在正数，使对一切恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）数列是等差数列，，，由，得，．又，，则；，则，当时，，当时，，验证时成立，；（2）由（1）得，，，，两式作差可得：，．对一切恒成立，对一切恒成立，即对一切恒成立，令，则，当且仅当时等号成立．．故实数的取值范围是．10．（2021春•浙江期中）已知数列满足，，且．（1）求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；（2）求数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）证明：，，又，数列是首项为，公比为的等比数列，，即，，，．等式两边同时相加得，则，又也适合上式，；（2）解：①，②，由①②得，又，，令，由，当时，；当时，，，．11．（2021秋•沙河口区校级期中）已知数列满足，等比数列满足，．（1）求数列、数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，当时恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）数列满足，时，；时，．时也满足，．设等比数列的公比为，，．，，解得，．（2）．数列的前项和，，，．（3）在（2）的条件下，当时恒成立，等价于：恒成立．时，，当且仅当时取等号．，的取值范围是．12．（2021春•青秀区校级期末）已知数列的前项和，数列为等差数列，且满足，．（1）分别求数列、的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）数列的前项和，时，．时，．时满足上式，．设等差数列的公差为，，．，，解得，．．（2）．．，，可得：．不等式，即不等式，化为：．，当且仅当时取等号．存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，．即的取值范围为．13．（2021•宝山区一模）已知数列的前项和为，，为正整数）．（1）求数列的通项公式；（2）记，若对任意正整数，恒成立，求的取值范围？（3）已知集合，，若以为首项，为公比的等比数列前项和记为，问是否存在实数使得对于任意的，均有．若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意知，当时，两式相减变形得：又时，，于是（1分）故是以为首项，公比的等比数列（4分）（2）由得（5分）当是偶数时，是的增函数，于是，故（7分）当是奇数时，是的减函数，因为，故．（9分）综上所述，的取值范围是（10分）（3）①当时，，，若，则．得此不等式组的解集为空集．即当时，不存在满足条件的实数．（13分）②当时，．而是关于的增函数．且．（15分）因此对任意的，要使，只需解得．（18分）14．（2021秋•葫芦岛期末）已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：是等比数列，并求的通项公式；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1），，，即；（2），，，，（常数），又，也成立，是以1为首项，3为公比的等比数列，．（3），对恒成立，即对恒成立，令，，当时，，当时，，，故，即的取值范围为．15．（2021春•东湖区校级月考）已知数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列 的前项和；（3）若集合中含有4个元素，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，当时，，又也满足上式，故；（3分）（2）由（1）可得，①②①②，得，所以．（7分）（3）由（2）可得，所以，即．令．则（1），，，，，因为．所以，当时，，即．因为集合含有4个元素，所以，即的解的个数为4，因为（2）（3）（4）（1）（5），（5）（1），16．（2021•天津校级二模）已知数列，，前项和满足，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，且，当时，，也适合，当时，，且也适合，．（Ⅱ），设，当为偶数时，，，当为奇数时，，且也适合．综上得（Ⅲ），使数列是单调递减数列，则，对都成立，则，，当或2时，，．17．（2021春•天津校级月考）设数列为数列的前项和，且，，2，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和，若存在整数，使得对任意且都有成立，求的最大值（Ⅲ）设，证明：【解答】（Ⅰ）解：，，两式相减得：，，两边同时除以，可得：，又，，，，；（Ⅱ）解：，，，令，则，即，数列为递增数列，当时，的最小值为，由题意知，，的最大整数值为18；（Ⅲ）证明：，，设，则，即．18．已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，，数列满足，为数列的前项和．（1）求数列的通项公式和数列的前项和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1），，，，，，；（2）恒成立，恒成立，①当为奇数时，有恒成立，解得：；②当为偶数时，有恒成立，解得：；综合①②知：，的取值范围为．19．（2021春•齐齐哈尔期中）已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）数列满足，．，数列为等差数列，公差为1，首项为．，可得：．（2），．，．①当为偶数时，．令．则．，（2）．②当为奇数时，．由①可知：单调递减，又当时，．．综上可得：．20．（2018春•定州市校级期中）已知数列满足，前项和满足（1）求的通项公式；（2）求的通项公式；（3）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围【解答】解：（1），，，满足上式，（2）时，当时，符合上式，（3），是递减数列，，即，只需设数列的通项公式，，时，，即当时，所以的最大项为，．21．（2021秋•下城区校级期中）已知数列满足，且对一切，有，其中为数列的前项和．（1）求证：对一切，有；（2）求数列的通项公式；（3）求证：．【解答】（1）证明：，，两式作差可得：，，即，又，得，则，；（2）解：当时，由及，得，，，当时，，，可得；当时，，得到，又，解得，，满足，则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，其通项公式为；（3）证明：要证不等式成立，即证，设，，，，即，则成立．22．（2021•广东二模）已知数列满足．（1）若数列是等差数列，求的值；（2）当时，求数列的前项和；（3）若对任意，都有成立，求的取值范围．【解答】解：（1）若数列是等差数列，则，．由，得，即，，解得，．（2）由，得．两式相减，得．所以数列是首项为，公差为4的等差数列．数列是首项为，公差为4的等差数列．由，，得．所以．①当为奇数时，，．．②当为偶数时，．所以．（3）由（2）知，．①当为奇数时，，．由，得．令．当或时，，所以．解得或．②当为偶数时，，．由，得．令．当时，，所以．解得或．综上所述，的取值范围是，，．23．（2021•天津校级二模）设数列满足，且，数列满足，已知，，其中（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，又，，解得，数列的公比，当时，，，①，②②①得，，．（Ⅱ），，恒成立，，，当为奇数时，，，当为偶数时，，．的最大值为，最小值为，，解得．即所求实数的取值范围是，