2022年新高考数学二轮提升数列专题第11讲《数列求和倒序相加法》（2份打包，解析版+原卷版）

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第11讲 数列求和:倒序相加法参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2021秋•福建月考）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则　　A． B．2021 C．4034 D．8068【解答】解：用倒序相加法：令①则也有②由，，即有，可得：，于是由①②两式相加得，所以．故选：．2．（2021•奉贤区二模）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则　　A．2021 B．4036 C．2019 D．4038【解答】解：正数数列是公比不等于1的等比数列，且，可得，即，即有，，可得，即有，设，又，相加可得，解得．故选：．3．（2021•成都二模）已知函数，正项等比数列满足，则等于　　A．99 B．101 C． D．【解答】解：由可知，因为正项等比数列满足，根据等比数列的性质得到：，所以，且根据得故选：．4．（2021春•江西月考）已知函数，若，，．则的最大值为　　A． B． C． D．【解答】解：由函数的解析式可得：，令，则，，得，则，，令，则，是圆心为，半径为 的圆上的点，直线 与圆有公共点，则圆心到直线 的距离，由，得，得，即，故，，故 的最大值为，故选：．5．（2021春•武汉期中）已知函数，则　　A．2021 B．2019 C．4036 D．4038【解答】解：根据题意，函数，则，则，．故选：．6．（2021秋•广陵区校级期中）已知是上的奇函数，，，则数列的通项公式为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可知：，即：，函数关于点 对称，令，则，得到，，，以上两式相加可得，即，故选：．二．填空题（共1小题）7．（2021秋•桃城区校级月考）已知函数，数列为等比数列，，且，则　　．【解答】解：，，数列是等比数列，，设①，②，①②得，，故选：．三．解答题（共6小题）8．（2021秋•北碚区校级月考）已知函数对任意都有．（1）求的值；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）设，，求数列的前项和．【解答】解：（1）在中，令得（2）根据，（1），，（3）9．（2021秋•沙坪坝区校级月考）函数对任意都有成立．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）数列满足条件；，试证：数列是等差数列．【解答】解：（Ⅰ）对任意都有成立，令，则有，即（Ⅱ）两式相加可得，．所以数列 是等差数列．10．（2016春•汇川区校级月考）已知函数对任意都有．（1）求和的值；（2）数列满足，，求证：是等差数列．（3）在（2）的情况下，令，，若，对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）对任意都有．当时，．则，令，则，即，（2）证明：对任意都有．则令，则，，（1），则两式相加得（1）（1），则，则，为常数，是等差数列．（3），则易知，则所以单调递增．所以（2），故所以，于是，恒成立于是．11．（2021•江门模拟）已知，当、且时，总有．（1）求的值；（2）设数列满足，求的通项公式；（3）对，恒成立，求的取值范围（其中且．【解答】解：（1）依题意，取，得，即，所以．当时，、，，有，所以．（2），两式相加，并由已知得，所以．（3）由，得，，，等号当且仅当时成立，所以的取值范围是．12．函数，、，当时，．（1）求的值；（2）数列，已知（1），求．【解答】解：（1）由，得，．，．或．，而时，．．（2）（1），（1）．（1）（1）．．13．（2021秋•雁峰区校级月考）已知函数．（Ⅰ）求证：存在定点，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上，并求出点的坐标；（Ⅱ）定义，其中且，求；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，求证：对于任意都有．【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为．设点的坐标为，则若点，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上必有，对于恒成立，，．，．所以存在定点，，使得函数的图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，①②①②，得，，故．（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知于是等价于．（10分）令，则，当，时，，即函数在，上单调递增，又．于是，当时，恒有，即恒成立．（12分）故当时，有成立，取，则有成立．（14分）