2022年新高考数学二轮提升数列专题第14讲《数列性质：周期性》（2份打包，解析版+原卷版）

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第14讲 数列性质:周期性 参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2021秋•巴彦淖尔校级期中）数列满足，，则　　A．0 B． C．2 D．【解答】解：数列满足，，，解得，，解得，，解得，，解得，，解得，，解得，，解得．故选：．2．（2021•腾冲县校级一模）已知数列满足：，设数列的前项和为，则　　A．1007 B．1008 C．1009.5 D．1010【解答】解：，，，，，数列是以3为周期的数列，，，，故选：．3．（2021秋•柯城区校级期中）设数列　　A． B． C． D．2【解答】解：数列满足，，，，，数列是以3为周期的周期数列，且，，．故选：．4．（2021秋•延吉市校级期中）已知数列中，，，则　　A． B． C． D．2【解答】解：数列中，，，则：，，，，所以：数列的周期为3．故：．则：，故选：．5．（2021秋•吉林月考）若数列满足：且，则　　A． B． C．2 D．【解答】解：数列满足：且，可得，，，所以数列的周期为：3，．故选：．6．（2021•广西模拟）数列满足：，．将数列的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列，则　　A．1 B．2 C．3 D．0【解答】解：，，数列，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，，又数列是将数列的每一项除以4所得的余数构成的数列，数列，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，1，，数列是周期为6的周期数列，，故选：．7．（2021•浙江模拟）十三世纪意大利数学家列昂那多斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，若为常数），则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：因为，，，所以数列的前2021项和为．故选：．8．（2021秋•怀化期末）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，．即（1）（2），，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为　　A．4 B． C．2 D．3【解答】解：由题意可得，数列中的项为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，1，，故数列是周期为6的数列，数列中的项为：1，1，1，1，，，1，0，1，1，，，1，0，，故数列是从第三项起周期为6的数列，所以．故选：．9．（2014秋•安宁区校级月考）把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，，依次循环的规律分为（1），，，9，，，，，21，，，，则第50个括号内各数之和为　　A．98 B．197 C．390 D．392【解答】解：由题意可得，将三个括号作为一组，则由，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列的第项，第50个括号的第一个数为数列的第项，即，第二个数是，所以第50个括号内各数之和为，故选：．10．（2021春•包头期末）把等差数列1，3，5，7，9，依次分组，按第一个括号一个数，第二个括号二个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，循环分为（1），，，9，，，，，21，，，，则第11个括号内的各数之和为　　A．99 B．37 C．135 D．80【解答】解：根据数据的结构，（1），，，9，，，，21，，，，，33，，，，故第11个括号内的数为39和41，故和为．故选：．11．（2021•宝鸡二模）已知数列满足，，，，则的值等于　　A．3 B．1 C． D．【解答】解：数列满足，，，，，，，，，，，，数列是周期为6的周期数列，，．故选：．12．（2021春•瑞安市校级期中）已知数列中，，，则这个数列的前2021项和等于　　A．0 B．1 C．3 D．2021【解答】解：，，，，解得，同理可得，；；；；；数列以6为周期，且，又，，故选：．13．（2021秋•上海期中）设，，则在，，，中有　　个正数．A．25 B．50 C．75 D．100【解答】解：由于的周期，由正弦函数性质可知，，，，，，，，，，，且，但是单调递减，，，都为负数，但是，，，，，，，中都为正，而，，，都为正，同理，，，都为正，，，，，，都为正，故选：．14．（2021秋•江西月考）已知函数（其中的图象经过点，令，则　　A．2021 B． C．6057 D．【解答】解：由函数的图象经过点，则（3），所以，结合，可得，，所以，，，所以，所以，故选：．二．填空题（共3小题）15．（2021秋•衡水月考）已知数列满足，，，则　1　．【解答】解：，，，则，，，，，，，则数列为以6为周期的周期数列，则，故答案为：1．16．（2021秋•西城区校级期末）已知：数列满足，，．①，则该数列前10项和为　9　；②若前100项中恰好含有30项为0，则的值为　　．【解答】解：①若，则该数列前10项为：1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，其和为9；②若前100项中恰好含有30项为0，则前10项中不能有0，当时，可得该数列为1，1，0；1，1，0；，从而为0的项超过30项当时，可得该数列为1，2，1，1，0；1，1，0；1，1，0；，从而为0的项超过30项同理可验证当，4，5，均不符合当时，可得数列为1，6，5，1，4，3，1，2，1，1，0；1，1，0；，从而可得数列从第9项开始为周期为3的数列，且从第11项开始为0，含0的项有30项当时，可得该数列为1，7，6，1，5，4，1，3，2；1，1，0；1，1，0；1，1，从而可得数列从第10项开始为周期为3的数列，且从第12项开始为0，含0的项有30项当，则该数列的0项少于30故答案为：9；6或717．（2021•黄冈模拟）已知数列满足，，．则该数列前10项和为　9　．【解答】解：，，．，，，，，，，，数列前10项和．故答案为：9．三．解答题（共1小题）18．（2021•山东）已知公比大于1的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和．【解答】解：（1），，，解得或（舍去），，，（2）记为在区间，中的项的个数，，，故，，，，，，，，，，，，，，，，，可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，，由，可知，．数列的前100项和．