2021-2022学年甘肃省兰州五十一中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省兰州五十一中高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知向量，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数是虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，，则直线，的位置关系是(    )

A. 平行或异面 B. 平行或相交
C. 相交或异面 D. 平行、相交或异面

4. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，若，则角的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧棱长相等且为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，点满足，点为的中点，过点的直线分别交线段，于点，，若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列命题中，正确的是(    )

A. 若，则或
B. 若，且，则或
C. 若与平行，则
D. 若不平行的两个非零向量，，满足，则

10. 下列化简正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 关于函数，下列结论正确的有(    )

A. 函数有最小值
B. 存在，有时，成立
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象关于成中心对称

12. 棱长为的正方体的展开图如图所示．已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有(    )

A. 与是异面直线
B. 与所成角为
C. 平面平面
D. 若，则点的运动轨迹长度为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，的夹角为，，，若，则 ______ ．
14. 在复平面内，复数对应的点位于直线上，则______．
15. 已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为______．
16. 在三棱锥中，，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 设向量、满足，且与的夹角为．
    求及的值；
    求的值．
18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
    求角的大小；
    若，且的面积为，求的值．
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，且底面是直角梯形，满足，，，点在线段上，且．
    求证：；
    求证：平面．

20. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有个不同题目，选择题个，判断题个，甲、乙两人各抽一题．
    求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少；
    求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少．
21. 如图，在三棱柱中，，，为的中点，点在平面内的射影在线段上．
    
    求证：平面；
    若是正三角形，求三棱柱的体积．
22. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
    ；的面积为；．
    在中，内角，，的对边分别是，，，若_____．
    求角；
    若，，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
由坐标下平面向量的模的定义直接代入化简即可．

【解答】

解：，
，
故选D．

2.【答案】 

【解析】解：复数，
则．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在正方体中，，分别为棱和的中点，
假设为平面，
当为，为时，满足，，此时；
当为，为时，满足，，此时与相交；
当为，为时，满足，，此时与异面，
综上，直线，的位置关系是平行，相交或异面．

故选：．
列举正方体，借助正方体中线与线，线与面的位置关系进行分析，即可．
本题考查空间中线与面的位置关系，理解线与线，线与面的位置关系是解题的关键，考查空间立体感，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，
发现正面朝上出现了次，
那么出现正面朝上的频率为：，
概率为．
故选：．
利用频率的计算公式能求出频率；利用概率的定义能求出概率．
本题考查频率和概率的求法，考查频率计算公式、概率的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式求得的值．
【解答】
解：，
则，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，且，
，
，
，
即，
又，
，
又，，
，即，
，，
故选：．
由，可得，边化角得，结合，即可求出的大小．
本题主要考查了向量平行和正弦定理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧棱长相等且为，为的中点，
如图，取的中点，连接，，
因为底面是边长为的正方形，是的中点，所以，且，
所以异面直线与所成的角为，
四棱锥的侧棱相等且为，在中，由勾股定理得，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．
取的中点，连接，，通过平移的方法，找出异面直线与所成角或其补角，然后解三角形求得答案．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，

，
，
，，
，，
，
、、三点共线，
，
即，
故选：．
由平面向量线性运算化简，，结合，可得，，从而可得，再利用共线得到，从而解得．
本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A，，则或或，即选项A错误；
对于选项B，，则或，即选项B正确；
对于选项C，与平行，则，即选项C错误；
对于选项D，不平行的两个非零向量，，满足，则，即选项D正确，
故选：．
由平面向量数量积的性质及其运算，结合向量的模逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，重点考查了向量的模，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，故A对，
，故B错，
，故C对，
，故D对，
故选：．
直接根据两角和与差的三角函数，二倍角公式进行求解即可得到结论．
本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式，考查计算能力．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
选项A，最小值为，即A正确；
选项B，最小正周期，不妨计算，，有，即B正确；
选项C，令，，则，，
当时，在上单调递增，即C正确；
选项D，因为，所以不可能关于成中心对称，即D错误．
故选：．
化简可得，再根据正弦函数的图象与性质，逐一判断选项，即可．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握正弦函数的图象与定制，辅助角公式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由展开图还原正方体，如图，

对于，，且，四边形是平行四边形，，
与是共面直线，故A错误；
对于，，与所成角为或其补角，
，是等边三角形，
，即与所成角为，故B正确；
对于，平面，平面，，
，，、平面，平面，
又平面，平面平面，故C正确；
对于，由正方体性质知平面，取、、、、中点，，，，，
连接，，，，，，则作出平面，
点的轨迹是正六边形的边，
点的轨迹长度为：，故D正确．
故选：．
对于，推导出四边形是平行四边形，从而，由此判断；对于，由，得与所成角为或其补角，由此判断；对于，推导出，，从而平面，进而平面平面；对于，由正方体性质知平面，取、、、、中点，，，，，连接，，，，，，则点的轨迹是正六边形的边，由此能求出点的轨迹长度．
本题考查棱柱的结构特征、异面直线及其所成的角、异面直线的判定、平面与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，的夹角为，，，若，
则，
，
故答案为：．
两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
又复数对应的点位于直线上，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，
且三人录取结果相互之间没有影响，
所以他们三人中恰有两人被录取的概率为：
．
故答案为：．
利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题设，为等腰直角三角形，作，且，交于，

所以为边长为的正方形，则的外接球即为的外接球，
连接，又即，
而，，故AB面，又面，
所以，即，
在中，又，，故，
所以，而且，故BC面，又面，
所以，即，
综上，，，两两垂直，则的外接球即长宽高分别为，，的长方体的外接球，
所以的外接球半径，则外接球的表面积为．
故答案为：．
作，且，交于，根据已知条件可得的外接球即为的外接球，连接，应用勾股定理、线面垂直的判定可得面、面，再由线面垂直的性质有、，则，，两两垂直，进一步得到的外接球即长宽高分别为，，的长方体的外接球，即可求外接球的面积．
本题作，且，交于，连接，应用勾股定理、正方形性质及线面垂直的判定和性质证明，，两两垂直，转化为求长方体的外接球面积，属于中档题．
 

17.【答案】解：，且与的夹角为，
，
；

． 

【解析】根据向量数量积的定义，向量数量积的性质即可求解；
根据向量数量积的性质即可求解．
本题考查向量数量积的定义，向量数量积的性质，属基础题．
 

18.【答案】解：由正弦定理得，
，，；
的面积为，，，
在中，由余弦定理得，
． 

【解析】由正弦定理得，可求；
由面积公式可求，由余弦定理可求得．
本题考查正余弦定理，属基础题．
 

19.【答案】证明：由，可得，
又面平面，面平面，平面，
则面，
又面，则；
连接交于点，连接，
由梯形中，，得，
又，，
面，面，平面． 

【解析】由结合面面垂直的性质证得面，即可证得；
连接交于点，先由相似得，再结合得，即可证得平面．
本题考查了线线垂直和线面平行的证明，属于中档题．
 

20.【答案】解：个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有种情况，
把个选择题记为、、，个判断题记为、“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：
，，，，，，共种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：，，，，，，共种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：，，，，，，共种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：，，共种，
“甲抽到选择题，乙轴到判断题”的概率为，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为．
“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为． 

【解析】个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有种情况，把个选择题记为、、，个判断题记为、．
求出“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况，和“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况，根据概率公式计算即可；
求出“甲、乙都抽到判断题”的情况，根据互斥事件的概率公式计算即可．
本题考查等可能事件的概率，关键是不重不漏的列举满足条件的基本事件，属于基础题．
 

21.【答案】证明：设点在平面内的射影为，
则，平面且平面，
平面，，
在中，，，
则，
在中，，，
则，
故，故BD，
，平面．
解：，
由得平面，是三棱锥的高，
是正三角形，，，
，
，
三棱柱的体积：
． 

【解析】设点在平面内的射影为，推导出，，由此能证明平面．
三棱柱的体积，由此能求出结果．
本题考查线面垂直的证明，考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
 

22.【答案】解：选，，
得得，而为三角形内角，故，
选，，
由正弦定理化简得，即，
而为三角形内角，故，
选，由，即，
得，而为三角形内角，故，
由知，故，
故
，
而，故，
，． 

【解析】由三角恒等变换公式、正余弦定理化简求解角的值；
由正弦定理转换为三角函数求解的取值范围．
本题主要考查正弦定理及其应用，解三角形中的最值与范围问题等知识，属于中等题．