2021-2022学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设随机变量服从正态分布，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 定积分的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币均正面向上的次数为，则的数学方差是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数在上有两个零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 为了研究某班学生的脚长单位厘米和身高单位厘米的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了位英语学习者进行调查，经过计算的观测值为，根据这一数据分析，下列说法正确的是(    )
   附：

A. 有以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关
B. 有以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
C. 有以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关

9. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去人，不同的安排方式共有种(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若是函数的极值点，则的极小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 设函数是奇函数的导函数，且，当时，，则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知为可导函数，且，则______．
14. 安排名志愿者完成项工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，则不同的安排方式共有______种．
15. 当时，函数取得最大值，则______．
16. 已知复数，且，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知函数，求曲线在点处的切线方程．
18. 现有张卡片，分别写上数字，，，，，，从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，求的数学期望．
19. 若点是函数图象上的动点其中的自然对数的底数，求到直线的距离最小值．
20. 在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查一位市民只能参加一次通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：

由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表，
求的值；
利用该正态分布，求；
在的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
每次获赠的随机话费和对应的概率为：

现有市民甲参加此次问卷调查，记单位：元为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：若，则，，．

21. 已知的展开式中第项的系数与第项系数之比为：，
    求展开式中的常数项．
    求展开式中系数最大的项．
22. 已知函数．
    Ⅰ讨论函数的单调性；
    Ⅱ若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
则．
故选：．
由已知求得，代入，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：随机变量服从正态分布，
正态曲线关于对称，
，
，
．
故选：．
根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，利用，即可求出．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是利用正态曲线的对称性，是一个基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据定积分的基本性质计算即可．
本题主要考查了定积分的基本性质，关键是求出原函数．
 

4.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项公式为，
令，则，
展开式中的系数为，
故选：．
先求出二项展开式的通项公式，再令，求出即可．
本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：同时抛掷枚质地均匀的硬币，
恰好出现两枚正面向上的概率，
枚硬币均正面向上的次数，
的方差，
故选：．
枚硬币均正面向上的次数，由此能求出的方差．
本题考查概率的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由函数，得，，
若，必有，即在上是增函数，不可能有两个零点，
，由，得，
当时，；当时，，
即在上是增函数，在上是减函数，
，
要使有两个零点，其必要条件是，得．
当时，，
显然，，，，
设，，，
在上是减函数，，即，
由零点存在定理得：当时，有两个零点．
故选：．
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定的范围即可．
本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
则，取，得．
故选：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，再取求得值即可．
本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
根据的观测值对照题目中的表格，得出统计结论．

【解答】

解：根据题意，，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：，
且展开式的通项公式为，
令，解得；
，
．
故选：．
根据题意，化，利用展开式的通项公式，即可求出的值．
本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．
 

10.【答案】 

【解析】解：把名工作人员分为，，三组，则不同的安排方式共有：种，
把名工作人员分为，，三组，不同的安排方式共有：种，
把名工作人员分为，，三组，不同的安排方式共有种，
综上，不同的安排方式共有种，
故选：．
把名工作人员分别分为，，，三种情况讨论，然后分别计算即可求解．
本题考查了排列组合的混合问题，分类讨论是最基本的指导思想，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的极值，属中档题．
求出函数的导数，利用极值点，求出，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．

【解答】

解： 函数，
可得，
又是函数的极值点，
可得，
即，解得．
可得，
令，解得，．
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
可知满足条件，同时时，函数取得极小值，
即．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：设，则，
当时，，所以，即在上单调递减，
因为为奇函数，
所以，即为偶函数，
所以在上单调递增，
又，所以，
当时，不等式等价于，所以；
当时，不等式等价于，所以，
综上所述，不等式的解集为．
故选：．
构造函数，求导后，可判断其在上的单调性，由为奇函数，可推出为偶函数，从而知在上的单调性，再解不等式，即可．
本题考查导数的应用，熟练掌握构造法，函数的单调性与导数之间的联系，函数的奇偶性的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：为可导函数，且，
，
故答案为：．
根据导数的概念直接解之．
本题考查了导数的概念，极限的运算，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，名志愿者完成项工作，其中名志愿者必须完成项工作，其他人各完成一项，
分步进行分析：
将项工作分为组，有种方法，
将分好的三组安排给三名志愿者，有种情况，
则有种不同的安排方式；
故答案为：．
根据题意，分步进行分析：将项工作分为组，将分好的三组安排给三名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，可得，故，
又因为是的极值点最大值，
所以，
所以，故答案为：．
根据，即可求解，，进而可求解．
本题考查了导数的基本运算及极值点的计算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数的基本概念，复数求模，简单线性规划，考查计算能力，是中档题．
由题意求出，的关系，利用的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率，求出它的最大值．
【解答】
解：，即，是以为圆心以为半径的圆，
的几何意义点为圆上的与原点连线的斜率，
设过原点的直线的方程为，即，
当直线与圆相切时，有，解得，
即的取值范围是，
易得的最大值是：．
故答案为：．  

17.【答案】解：由，得，
，又，
曲线在点处的切线方程． 

【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

18.【答案】解：由题意可得，所有可能取值为，，，，
，，
，
，
故E． 

【解析】由题意可得，所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，属于基础题．
 

19.【答案】解：由，得，
再由，得，
把代入，得，
与直线平行的直线切于，
则到直线的距离最小值为． 

【解析】利用导数求出与直线平行的直线与的切点，再由点到直线的距离公式求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解由题意得：，
．
，．
由题意知，
获赠话费的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
的分布列为：

． 

【解析】利用频率分布表求出均值，得到对称轴，然后求解；
由题意知，获赠话费的可能取值为，，，，，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

21.【答案】解：的展开式中第项的系数与第项系数之比为：，
，解得，
，由得，
所以展开式的常数项为第三项，；
由得，
又，，
系数最大的项为第项； 

【解析】首先利用已知求出二项式指数，然后求出特征项以及系数最大项．
本题考查了二项式定理的运用；应用二项式定理求特征项必须明确展开式的通项．
 

22.【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，，
若，则，在上单调递减；
若，则由得；由得．
在上单调递减，在单调递增．
Ⅱ函数在处取得极值，
，即，解得，经验证符合题意，
，
由得，
，，
令，则，
由得；由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
． 

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及根据函数的单调性得到函数的最值，不等式恒成立的分离参数法，属于中档题．
Ⅰ对函数进行求导，通过对分类讨论，即可得到答案；
Ⅱ由函数在处取得极值求出的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数的取值范围即可．