初中数学华师大版九年级上册第21章 二次根式综合与测试单元测试课时作业
展开华师大版初中数学九年级上册第21章《二次根式》单元测试卷
考试范围：第21章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是( )
A. B. C. D.
- 要使式子有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 已知、为实数，且，则的值是 ( )
A. B. C. D.
- 计算的结果是( )
A. B. C. D.
- 已知：，，则与的关系是．( )
A. B. C. D.
- 若，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
- 已知：，，则与的关系是( )
A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 平方相等
- 如图，在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论：
正方形的面积等于的一半；
正方形的面积等于的一半；
：：．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
- 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，长方形内，两个小正方形的面积分别是，，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则线段长为( )
A. B. C. D.
- 若的整数部分为，小数部分为，则的值是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 在函数中，自变量的取值范围是______．
- 在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为 ．
- 已知实数、满足，则的值为______．
- 若，则______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，
化简．
- 已知是的小数部分，求的值．
- 已知三条边的长度分别是，记的周长为．
当时，的最长边的长度是______请直接写出答案；
请求出用含的代数式表示，结果要求化简；
我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，，，三角形的面积为．
若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． - 请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小明的做法是：根据得，，把作为整体代入，得：即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决问题：
已知，求代数式的值；
已知，求代数式的值． - 求值：
已知，求的值．
先化简，再求值：，其中． - 已知，，求下列代数式的值：
；．
- 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，称为，这两个数的算术平均数，称为，这两个数的几何平均数，称为，这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
若，，则______，______，______；
小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图中阴影部分的面积可以表示．
请分别在图，图中用阴影标出一个面积为，的图形；
借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是______把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接． - 阅读下列材料，并回答问题：
把形如与、为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数．
请你举出一对共轭实数：______和______；
和是共轭实数吗？若是请指出、的值；
若两个共轭实数的和是，差的绝对值是，请求出这两个共轭实数． - 在九章算术中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶年年提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦公元年左右，生平不详的著作测地术中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德公元前年公元前年得出的，故我国称这个公式为海伦秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为、、，则三角形的面积公式里的为半周长即周长的一半
请利用海伦秦九韶公式解决以下问题：
三边长分别为、、的三角形面积为______．
四边形中，，，，，，四边形的面积为______．
五边形中，，，，，，，求出五边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由数轴可知，，
，
．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：由题意，得
，
解得，
故选：．
根据被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出的值，代入求得的值，代入代数式求值即可．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的乘除运算，首先利用二次根式的性质进行化简，然后把除法运算改为乘法运算，再进行乘法运算即可．
【解答】
解：原式
．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：分母有理化，可得，，
，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，，
，故D选项错误；
故选：．
先分母有理化求出、，再分别代入求出、、、、，求出每个式子的值，即可得出选项．
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
，
．
故选：．
利用条件得到，两边平方得，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平方差公式，以及实数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是．
求出的乘积是多少，即可判断出与的关系．
【解答】
解：，
与互为倒数．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：，
正方形网格的面积为：，
，
故结论错误；
，
正方形网格的面积为：，
，
故结论正确；
由得：，则，
由得：，则，
，
正方形，的面积相等，
，
故结论正确．
故选：．
分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
结合进行求解即可．
本题主要考查二次根式的应用，解答的关键是根据所给的图形表示出相应的图形的面积．
9.【答案】
【解析】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
大正方形的边长是，
留下部分即阴影部分的面积
故选：．
根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．
此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：两个小正方形的面积分别是，，
，，
阴影部分的长为：，宽为：，
图中阴影部分的面积为：，
故选：．
根据两个小正方形的面积分别是，，可以得到和的长，然后即可表示出阴影部分的长和宽，然后即可计算出图中阴影部分的面积．
本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是表示出阴影部分的长和宽．
11.【答案】
【解析】解：一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，
令，则，令，则，
则，，
则为等腰直角三角形，，
，
过点作，垂足为，
，
为等腰直角三角形，设，
，
由题意易得，
，
，
又，
，
解得：，
，
故选：．
根据一次函数表达式求出点和点坐标，得到为等腰直角三角形和的长，过点作，垂足为，证明为等腰直角三角形，设，结合旋转的度数，用两种方法表示出，得到关于的方程，解之即可．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次根式的加减和估算无理数的大小，关键是会表示的整数部分和小数部分，再二次根式的加减运算，即将被开方数相同的二次根式进行合并．
因为的整数部分为，小数部分为，所以，，代入计算即可．
【解答】
解：的整数部分为，小数部分为，
，，
．
故选C．
13.【答案】且
【解析】解：，，
且．
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质以及化简．
结合数轴，可知，则，，利用二次根式和绝对值的性质化简计算即可．
【解答】
解：，
，，
．
15.【答案】
【解析】解：实数、满足，
，，
，，
，
故答案为：．
先根据算术平方根和绝对值的非负性得出且，求出、的值，再代入求出答案即可．
本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，二次根式的化简求值等知识点，能求出、的值是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
，
则．
故答案为：．
根据和二次根式有意义的条件可得，然后化简二次根式求解即可．
本题考查了二次根式的加减法，关键是根据二次根式有意义的条件判断的正负．
17.【答案】解：如图所示：，，，，
则原式
．
【解析】直接利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分符号是解题关键．
18.【答案】解：由是的小数部分，得．
．
【解析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据二次根式的分母有理化，可得答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质，分母有理化．
19.【答案】
由根式有意义可得即．
可得，．
所以．
由可得，且．
由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证．
当时，三条边的长度分别是，
但此时，不满足三角形三边关系．
所以．
当时，三条边的长度分别是，，，满足三角形三边关系．
故此时取得最大值为，符合题意．
不妨设，，，得
．
【解析】解：当时，，，，
的最长边的长度是，
故答案为：；
见答案．
见答案．
依据三条边的长度分别是，即可得到当时，的最长边的长度；
依据根式有意义可得，进而化简得到的周长；
依据可得，且由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．
20.【答案】解：，
，
两边平方得：，
即，
，
；
，
，
，
两边平方，得，
即，
，
即，
．
【解析】根据求出，两边平方后求出，求出，再代入求出答案即可；
根据求出，两边平方求出，求出，再变形后代入，即可求出答案．
本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．
21.【答案】解：，
；
，
当时，原式．
【解析】把代入，再根据完全平方公式和二次根式的乘法法则进行计算，最后根据二次根式的加减法则进行计算即可；
先分解因式，再约分，根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值和分式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则和分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
22.【答案】解：，，
，
；
，，
，，
．
【解析】本题考查了二次根式的化简求值：先根据二次根式的性质和运算法则进行化简，然后把满足条件的字母的值代入求值．
根据已知条件先计算出，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；
根据已知条件先计算出，，再利用平方差公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
23.【答案】
【解析】解：当，时，，，，
故答案为：，，；
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
由可知，，当且仅当，即时，等号成立，
，都是正数，
，，都是正数，，
故答案为：．
将，分别代入，，求值即可得；
分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
根据中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
24.【答案】
【解析】解：由题意可得，
与是共轭实数，
故答案为：，；
和是共轭实数，，；
设这两个共轭实数为与，
两个共轭实数的和是，差的绝对值是，
，，
，，
，或舍去，，
这两个共轭实数是，．
根据题意，可以写出一组共轭实数，本题答案不唯一；
根据共轭实数的定义，可以判断和是共轭实数，并写出和即可；
根据两个共轭实数的和是，差的绝对值是，可以求得、、的值，从而可以写出这两个共轭实数．
本题考查二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
25.【答案】
【解析】解：三边长分别为、、的三角形面积为；
故答案为：；
四边形中，，，，
，
的面积，
的面积，
四边形的面积为：，
故答案为：；
五边形中，，，，，，，
，
的面积，
，
的面积为：，
，，，
的面积，
五边形的面积为．
根据题意应用二次根式的计算解答即可；
根据二次根式的计算解答即可；
根据二次根式的混合计算解答即可．
此题考查二次根式的应用，关键是根据三角形的面积公式解答．
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