华师大版九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试单元测试习题
展开华师大版初中数学九年级上册第22章《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第22章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
- 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
- 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
- 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例若为实数是关于的方程，则它的根的情况为( )
A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
- 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是( )
A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根
- 方程的解是( )
A. B.
C. ， D. ，
- 解下列方程，最适合用公式法求解的是( )
A. B.
C. D.
- 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
- 王叔叔从市场上买了一块长，宽的矩形铁皮，准备制作一个长方体工具箱如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为( )
A.
B.
C.
D.
- 国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区年底有贫困人口万人，通过社会各界的努力，年底贫困人口减少至万人设年底至年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得( )
A. B. C. D.
- 方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 方程的根为______．
- 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
- 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
- 等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是_________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． - 已知关于的一元二次方程．
求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． - 解方程：
；
． - 用配方法解一元二次方程：小明同学的解题过程如下：
解：
．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程． - 已知关于一元二次方程．
求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
当时，方程的两实数根是等腰三角形的两边，试求等腰三角形的周长． - 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若此方程的一个实数根为，求的值；
直接写出所有不大于的正整数的值，使原方程的两个根均为有理数． - 已知关于的一元二次方程．
求证：对于任意实数，该方程总有两个不相等实数根；
如果此方程有一个根为，求的值． - 已知关于的方程．
小明同学说：“无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．
若方程的一个根是，求另一个根及的值． - 随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了万辆，第三季度销售了万辆．
求前三季度销售量的平均增长率．
某厂家目前只有条生产线，经调查发现，条生产线最大产能是辆季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少辆季度．
现该厂家要保证每季度生产电动汽车万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下生产线越多，投入成本越大，应该再增加几条生产线？
是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
．
故选：．
先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】
【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：且．
故选D．
根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元一次不等式组，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：为实数是关于的方程，
，
整理得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
利用新定义得到，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出的值是解题关键．
直接把已知数据代入进而得出原方程的值，再根据判别式求出答案．
【解答】
解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，
小刚解的方程是，
，
解得：，
故原方程中，
原方程中，，
原方程不存在实数根．
6.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
此题考查了解一元二次方程因式分解法，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是关键，提取得到，即可求解．
【解答】
解：，
，
，，
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程的方法，对各项逐一判断即可．
【解答】
解：选用因式分解法或直接开平方法进行求解更合适，排除；
B.选用直接开平方法进行求解更合适，排除；
C.变形后选用直接开平方法进行求解更合适，排除；
D.左边是一个二次三项式，不能进行因式分解，用公式法求解比较好，D正确．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，计算得出，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
【解答】
解：在方程中，，
一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
若设小道的宽为米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：，即．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
等量关系为：年贫困人口下降率年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：原方程可变形为：
，．
故选：．
可化为，本题可根据方程的解，--将方程进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为，这两式中至少有一式值为”来解题．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
13.【答案】，
【解析】
【分析】
此题考查了直接开平方法解一元二次方程．
根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】
解：，
，
，．
故答案为，．
14.【答案】
【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
即，
．
故答案为：．
利用根的判别式进行计算，令即可得到关于的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
15.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
16.【答案】或或
【解析】
【分析】
此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论思想的应用．解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
由等腰三角形的边长是方程的解，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分类讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
【解答】
解：，
，
解得：或，
等腰三角形的边长是方程的解，
当是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去；
当是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为．
当边长为的等边三角形，得出这个三角形的周长为．
当边长为的等边三角形，得出这个三角形的周长为．
这个三角形的周长为或或．
故答案为或或．
17.【答案】解：根据题意得，
解得；
的最大整数为，
方程变形为，解得，，
一元二次方程与方程有一个相同的根，
当时，，解得；
当时，，解得，
而，
的值为．
【解析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
利用中的结论得到的最大整数为，解方程解得，，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足．
18.【答案】证明：原方程可变形为，
，
方程总有两个不等的实数根；
解：方程的一个根是，
，
，解得：，
原方程为：，
解得：，．
即的值为，方程的另一个根是．
【解析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解有关知识．
将方程变形为一般式，再根据根的判别式，即可证出结论；
将代入原方程求出的值，将其代入原方程解方程即可得出方程的另一个根，此题得解．
19.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，．
【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程．
20.【答案】解：小明的解题过程不正确，
正确的解题过程如下：
，
，
，
，
，
，
或，
，．
【解析】根据解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
21.【答案】证明：，
无论何值，原方程总有实数根；
解：当时，方程化为，
，
或，
，，
当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不符合三角形三边的关系，舍去；
当等腰三角形腰长为，底边为，它的周长为．
【解析】先计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
先利用因式分解法解方程得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定等腰三角形腰长为，底边为，然后计算三角形的周长．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
22.【答案】解：根据题意得且，
解得且；
把代入得，
解得；
当为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，
当时，；
当时，舍去；
当时，舍去；
当时，舍去；
当时，，
综上所述，当为或时，原方程的两个根均为有理数．
【解析】根据根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可；
把代入得，然后解关于的方程即可；
利用求根公式得到当为完全平方数时，原方程的两个根均为有理数，然后对、、、、依次进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
23.【答案】证明：对关于的一元二次方程，
，
，
对于任意实数，一元二次方程总有两个不相等实数根；
解：如果此方程有一个根为，则，
，
解得或，
答：的值为或．
【解析】求出，即可证明方程总有两个不相等实数根；
把代入可得关于的一元二次方程，即可解得答案．
本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式与根个数的关系以及解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大．
24.【答案】解：有道理，理由如下：
，
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
将代入方程，得，
解得，
原方程化为，
解得，
另一个根为．
【解析】根据，即可得证；
将代入方程，求出的值，再将代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
25.【答案】解：设前三季度销售量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：前三季度销售量的平均增长率为．
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要节省投入成本，
．
答：应该再增加条生产线．
不能，理由如下：
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆．
【解析】设前三季度销售量的平均增长率为，利用第三季度的销售量第一季度的销售量前三季度销售量的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，根据每季度生产电动汽车万辆，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要节省投入成本，即可得出应该再增加条生产线；
不能，设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，根据每季度生产电动汽车万辆，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
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