华东师大版九年级数学上册第二十一章《二次根式》教案

第21章  二次根式

21.1  二次根式

【知识与技能】

1.理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目.

2.理解（a≥0）是非负数和()2=a.

3.理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.

【过程与方法】

1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出()2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.

3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.

【情感态度】

通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.

【教学重点】

1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式.

2. （a≥0）是一个非负数；()2=a（a≥0）及其运用.

3.

【教学难点】

利用“（a≥0）”解决具体问题.

关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出

一、情境导入，初步认识

回顾：

当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.

当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.

当a是负数时，没有意义.

【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.

二、思考探究，获取新知

概括：（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：

（1）≥0；（2）()2=a（a≥0）.

形如（a≥0）的式子叫做二次根式.

注意：在中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.

思考：等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的的值，看看有什么规律.

概括：当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a.

三、运用新知，深化理解

1.x取什么实数时，下列各式有意义？

2.计算下列各式的值：

【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：（1）()2=a（a≥0）；（2）当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a.

2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取.

2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.

本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.

21.2  二次根式的乘除法

1.二次根式的乘法

【知识与技能】

理解=（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化简.

【过程与方法】

由具体数据发现规律，导出=（a≥0,b≥0）并运用它进行计算.

【情感态度】

通过探究=（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.

【教学重点】

=（a≥0,b≥0），及它的运用.

【教学难点】

发现规律，导出=（a≥0,b≥0）.

一、情境导入，初步认识

1.填空：

参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.

2.利用计算器计算填空.

【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出=（a≥0,b≥0）.

二、思考探究，获取新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.

教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.

一般地，对二次根式的乘法规定为

=（a≥0，b≥0）.：

【教学说明】引导学生应用公式

=（a≥0,b≥0）.

三、运用新知，深化理解

1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（   ）

A.3cm      B.3cm     C.9cm     D.27cm

【答案】1.B    2.C    3.A    4.D

【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.

四、师生互动，课堂小结

1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

2.教师总结归纳二次根式的乘法规定=（a≥0,b≥0）.

【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.

这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出=（a≥0,b≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.

2.积的算术平方根

【知识与技能】

1.理解=（a≥0,b≥0）；

2.运用=（a≥0,b≥0）.

【过程与方法】

利用逆向思维，得出=（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.

【情感态度】

让学生推导=（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.

【教学重点】

=（a≥0,b≥0）及其运用.

【教学难点】

=（a≥0,b≥0）的理解与应用.

一、情境导入，初步认识

一般地，对二次根式的乘法规定为=（a≥0,b≥0）.反过来，=（a≥0,b≥0）.

【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出=（a≥0,b≥0）.

二、思考探究，获取新知

例1化简：

【教学说明】引导学生利用=（a≥0,b≥0）直接化简即可.

例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:

【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0.

三、运用新知，深化理解

1.化简：（1）;（2）;（3）；（4）.

2.自由落体的公式为s=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为120m，则下落的时间是      s.

【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳.

四、师生互动，课堂小结

1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即

=（a≥0,b≥0）.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.

3.二次根式的除法

【知识与技能】

1.理解（a≥0,b＞0）和（a≥0,b＞0），并运用它们进行计算.

2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.

3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

【过程与方法】

1.先由具体数据，发现规律，导出 (a≥0,b＞0），并用它进行计算.

2.再利用逆向思维，得出（a≥0,b＞0），并运用它进行解题和化简.

3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

【情感态度】

通过探究（a≥0,b＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导（a≥0,b＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.

【教学重点】

1.理解（a≥0,b＞0），（a≥0,b＞0）及利用它们进行计算和化简.

2.最简二次根式的运用.

【教学难点】

发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.

一、情境导入，初步认识

（学生活动）请同学们完成下列各题.

1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式.

2.填空：

3.利用计算器计算填空：

【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评.

二、思考探究，获取新知

刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

（a≥0,b＞0）

反过来, （a≥0,b＞0）

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

例1  计算：

【教学说明】

直接利用（a≥0,b＞0）

例2化简：

观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：

（1）被开方数中不含分母；

（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2.

【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.

三、运用新知，深化理解

1.化简：

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.

四、师生互动，课堂小结

请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.

21.3二次根式的加减法

【知识与技能】

1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.

2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.

【过程与方法】

通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.

【情感态度】

形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.

【教学重点】

二次根式加减法的运算.

【教学难点】

探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.

一、情境导入，初步认识

1.合并同类项：

（1）2x+3x；    （2）2x2-3x2+5x2.

解：（1）5x；（2）4x2.

这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.

2.化简：

3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.

4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如2与3；2、3与5.

二、思考探究，获取新知

例1计算：

例2计算：

【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.

例3计算：

【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.

三、运用新知，深化理解.

1.下列计算是否正确？为什么？

【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.

四、师生互动，课堂小结

请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3”中选取.

2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.

本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.

本章复习

【知识与技能】

掌握本章重要知识，能熟练运用二次根式的有关运算法则进行运算.

【过程与方法】

通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的类比思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.

【情感态度】

在运用本章知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生兴趣.

【教学重点】

回顾本章知识点，构建知识体系.

【教学难点】

利用二次根式的有关运算法则、性质解决实际问题.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系，边回顾边建立结构图.

二、释疑解感，加深理解

1.二次根式的意义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，注意二次根式有意义的条件是被开方数a≥0，a表示a的算术平方根，它具有双重非负性，即≥0（a≥0）.

2.二次根式的性质：主要要理解公式的应用.①=a（a≥0）,

3.二次根式的化简与运算：（1）掌握的应用.

（2）掌握二次根式的乘法运算：（a≥0,b≥0）.

（3）掌握积的算术平方根的运算（a≥0，b≥0）.

（4）掌握二次根式的除法运算：（a≥0,b＞0）,反过来（a≥0,b＞0）.

（5）掌握二次根式的加减法运算：先化成最简二次根式再进行合并，在二次根式的运算过程中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用，最后结果一定要化成最简二次根式.

三、典例精析，复习新知

例1  若在实数范围内有意义，则x的取值范围是      .

【分析】有意义的条件为x+1≥0，同时注意分母x-2≠0这一条件，所以x的取值范围为x≥-1且x≠2.

例2若+(b+2)2=0，则a+b的值为      .

四、复习训练，巩固提高

五、师生互动，课堂小结

本堂课你能完整地回顾本章所学的有关二次根式的知识吗？能熟练进行二次根式的有关运算吗？你还有哪些困惑与疑问？

【教学说明】教师引导学生回顾本章知识，尽可能让学生自主交流与反思，对于学生的困惑与疑问，教师应予以补充和点评.

1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.

2.完成《创优作业》中“本章热点专题训练”.

本节课通过学习归纳本章内容，以二次根式的概念及其有意义的条件、二次根式的性质及应用、二次根式的化简与运算等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然于胸，此外通过例题加以分析，加强对重点知识的训练，使学生在全面掌握知识点的前提下抓住重点.