【奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-工程问题-人教版

【奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-工程问题-人教版

一、选择题

1．A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，A结果做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，算劳务费，则这48元中A应分（       ）元。

A．18 B．19.2 C．20 D．32

2．一个筑路队要筑一条长2100米的公路，前5天平均每天修240米。余下的任务要求3天完成，平均每天要修多少米？算式是（       ）。

A．2100﹣240×5＋3 B．（2100﹣240÷5）÷3 C．（2100﹣240×5）÷3

3．有一批工人完成某项工程，如果增加8个人，则10天就能完成；如果增加3个人，就要20天才能完成。现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天？（       ）

A．25 B．20 C．30 D．35

4．一幢办公楼原有5台空调，现在又安装了1台，如果这6台空调全部打开就会烧断保险丝，因此最多只能同时使用5台空调．这样，在24小时内平均每台空调可使用（   ）小时．

A．24                                                                    

B．20                                  

C．18                                                                    

D．16

二、填空题

5．学校操场准备重新修建。甲工程队独做，12天能完成全部任务的，乙工程队独做，18天能完成全部任务。如果甲乙工程队合作(        )天完成。

6．有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成。现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天。那么丙休息了(      )天。

7．某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放(      )小时。

8．一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需______天。

9．4名工人加工455个零件。开始的4天中有一名工人因事请假1天，结果共加工195个零件。如果以后无人清假，那么还要(      )天可以完成任务。

10．有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔和，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开孔，关闭孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭孔，打开孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过(      )分钟才能将水箱注满。

11．有一个长方体水箱水平放置，侧面有一条与地面平行的裂缝，当水箱中的水漫过裂缝时，裂缝会以每分钟0.4立方分米的速度往外渗水。现在用一个每分钟注水1立方分米的水龙头往内注水，注到一半时哈好用了40分钟，再过50分钟注满。如果用两个每分钟注水1立方分米的水龙头往内注水，注满这个水箱需要(      )分钟。

12．一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入吨水时，水箱才满。已知乙管每分钟注水量是甲管的倍，则该水箱注满时可容纳(      )吨水。

三、解答题

13．4月20日，甲、乙两个工程队同时从两侧挖山洞，甲队每天挖23米，乙队每天挖25米，山洞长480米。5月1日前能完成这项工程吗？

14．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成。问甲休息了几天？

15．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天。乙请假多少天？

16．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成？

17．修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？

18．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成。那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？

19．一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？

20．一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？

21．有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满。因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满。

（1）如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？

（2）如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果四舍五入到个位）

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

先求出平均每个人的工作天数，四个人的工作总天数÷4＝平均每人的工作天数，然后分别求出A、B、C三人超过平均天数的部分，用D拿出的钱数÷超过的天数×A超过的天数＝A应该分的钱数，据此列式解答。

【详解】

6＋5＋4＋1＝16（天）

16÷4＝4（天）

6－4＝2（天）

5－4＝1（天）

2＋1＝3（天）

A应得：48÷3×2＝32（元）

故答案为：D

【点睛】

本题考查了平均数，平均数＝总数量÷总份数。

2．C

【解析】

【分析】

根据题意，用每天修的米数乘5，求出前5天修的总米数，用这条路的总长度减去前5天修的米数，再除以3，即可求出平均每天要修多少米。

【详解】

依据分析可得计算方法应是：

（2100﹣5×240）÷3

＝（2100﹣1200）÷3

＝900÷3

＝300（米），

平均每天修300米，

故答案为：C

【点睛】

求出前5天修的米数，是解答此题的关键。

3．A

【解析】

把每人每天能完成的工作量看作1份，那么原有的人数的工作量加上8人10天的工作量与

加上3人20天的工作量相等，可由此求出原来的人数；进而求出总工作量，再用总工作量

除以增加2人后的人数就是需要的天数。

【详解】

设每人每天完成的工作量为1份。

8×10＝80（份）

3×20＝60（份）

20－10＝10（天）

原有人数10的工作量为：80－60＝20（份）

原有人数每天完成：20÷10＝2（份），即原有2人

工作总量为：20＋80＝100（份）

增加2人，每天能完成的工作量：2＋2＝4（份）

100÷4＝25（天）

故答案为：A

【点晴】

先设每人每天的工作量为1份，根据总工作量不变以及两次增加的工作量，求出原有人数是关键。

4．B

【解析】

【详解】

工程问题

解：24×5÷6

=120÷6

=20（小时）

答：在24小时内品均每台空调可使用20小时．

故选B．

首先根据题意，可得所有空调开的总时间是24×5=120（小时）；然后根据6台空调要轮换开，用所有空调开的总时间除以空调的数量，求出每台开的时间是多少即可．

5．

【解析】

【分析】

用12÷，求出甲工程队独做全部完成任务需要多少天；再把在这项工作总量看作单位“1”，1÷甲工程队完成的天数，求出甲队的工作效率；1÷乙工程队完成的天数，求出乙队的工作效率；再用工作总量除以甲队工作效率与乙队工作效率的和，即可解答。

【详解】

12÷＝12×2＝24（天）

甲队工作效率：1÷24＝

乙队工作效率：1÷18＝

1÷（＋）

＝1÷（＋）

＝1÷

＝1×

＝（天）

【点睛】

本题考查工作总量、工作效率、工作时间三者的关系；关键求出甲队独做需要的天数。

6．11

【解析】

【分析】

可以将甲、乙工作的时间和丙工作的时间都设为未知数，根据总的工程量是单位“1”列方程，找出符合要求的整数解。

【详解】

解：设甲、乙工作了天，丙工作了天；

则有：

化简得

由于和720都是15的倍数，所以也是15的倍数，而，所以，，所以丙休息了天。

【点睛】

本题考查的是工程问题，求解不定方程时，可以根据余数分析法进行求解。

7．4

【解析】

【分析】

要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小。

【详解】

（小时）

即甲、乙最少要同时开放4小时。

【点睛】

本题考查的是工程问题，工作时间＝工作总量÷工作效率。

8．60

【解析】

【分析】

甲队单独完成需40天可以完成，乙30天，甲做20天，也可以完成；对比发现，甲20天完成的工程量相当于是乙30天完成的工程量，根据甲和乙的关系，用乙来表示甲即可。

【详解】

甲做40天＝乙做30天＋甲做20天；

甲做20天＝乙做30天；

那么乙做30天＋甲做20天＝乙做30天＋乙做30天＝乙做60天；

所以乙队单独完成此工程，则需60天。

【点睛】

本题考查的是工程问题，可以用等量代换的方法，也可以求出具体的工作效率计算。

9．5

【解析】

【分析】

设每人每天加工1份，那么4名工人4天加工16份，但一名工人因事请假1天，所以只加工了15份，可以求出每人每天加工多少个；然后用剩下的数量除以4个人每天加工的数量，得到时间。

【详解】

每人每天加工零件：

195÷（4×4－1）

＝195÷15

＝13（个）

剩下的零件还需的时间：

（455－195）÷（13×4）

＝260÷52

＝5（天）

所以还要5天可以完成任务。

【点睛】

本题考查的是整数中的工程问题，求出每个人每天加工的数量是解题的关键。

10．26

【解析】

【分析】

本题需要注意侧高线的不同位置上的两个排水孔起作用的阶段不同，只有当水上升到其高度后排水孔才开始排水，在此之前则是不排水的。

【详解】

解：设单开进水管注满水箱的所需进水时间为分钟，同时开一个进水管与一个出水孔注满水箱的所需的进水时间为分钟；

解得：，

以水箱的看作“1”，则进水速度为，出水速度为；

所以灌满水箱最上层的需要：

（分钟）

那么总共需要（分钟）

【点睛】

本题考查的是工程问题中的注水问题，合理设未知数是列方程组求解问题的关键。

11．35或41

【解析】

【分析】

注水到一半，刚好是40分钟，后一半用时50分钟，而裂缝可能在一半或一半以下的位置，也可能在一半以上的位置，需要分情况进行分析。

【详解】

如裂缝在一半或一半以下，则后50分钟实际注水

（1－0.4）×50

＝0.6×50

＝30（立方分米），

所以水箱总容积为30×2＝60（立方分米）。

前40分钟内，裂缝向外渗水1×40－30＝10（立方分米），渗掉这10立方分米水，需时10÷0.4＝25（分钟），那么没渗水的时间为40－25＝15（分钟）。所以裂缝在水箱从下往上的15÷60＝处。

用两个水龙头注水需要时间

（分钟）

（2）如裂缝在一半以上，则前40分钟实际注水

1×40＝40（立方分米），

所以水箱总容积为40×2＝80（立方分米）。

后50分钟内，裂缝向外渗水1×50－40＝10（立方分米），渗掉这10立方分米水，需时10÷0.4＝25（分钟），那么没渗水的时间为40＋50－25＝65（分钟）。所以裂缝在水箱从下往上的处。

两个水龙头注水需要时间

（分钟）

答：两个水龙头往内注水，注满这个水箱需要35分钟或41分钟。

【点睛】

本题考查的是工程问题中的注水问题，难点在于裂隙的位置不清楚，需要进行分类讨论。

12．120

【解析】

【分析】

根据甲、乙管每分钟注水量的关系，可以求出在乙注入40吨水的时间里甲可以注入多少水，然后设甲注入30吨水时，丙注入的水量为未知数，根据总水量不变列方程求解。

【详解】

乙注入40吨水的时间相当于甲注入吨水的时间，甲注入30吨水；

设丙可注水量为，那么，乙注40吨水丙可注水量为；

所以

解得

（吨）

所以该水箱注满时可容纳120吨水。

【点睛】

本题考查的是工程问题，并与比例问题相结合，当时间一定时，工作效率与工作总量成正比例关系。

13．能

【解析】

【分析】

用总长度除以甲、乙两个工程队每天挖的米数之和，就是两队合作完成这项工作需要的天数。然后再根据完成这项工作需要的天数、开工日期，推算出5月1日前能否完成这项工程。

【详解】

（天

4月20日＋10天－1天

＝4月30日－1天

＝4月29日

4月20日这天开始，工作10天到4月29日，还不到5月1日。

答：5月1日前能完成这项工程。

【点睛】

准确求出两队合作完成这项工作需要的天数是解答此题的关键。

14．天

【解析】

【分析】

在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了27天，可以求出乙完成了多少，剩下的即为甲完成的，用甲完成的工程量除以甲的工作效率，得到甲工作的时间，进而求得甲休息的时间。

【详解】

乙完成了全部工程的

还有是甲做的

所以甲干了（天）

休息了（天）

答：甲休息了5天。

【点睛】

本题考查的是工程问题，也可以假设甲没有休息，求出甲乙合作27天完成的工程量，求出多完成的部分，除以甲的工作效率，得到甲休息的时间。

15．天

【解析】

【分析】

甲一直在做，一共干了16天，可以求出甲完成的工程量，剩下的即为乙完成的工程量，可以求出乙做了多少天，进而求得乙请假的时间。

【详解】

甲一共干了天，完成了全部工程的；

还有是乙做的；

所以乙干了（天）；

（天）

答：乙请假天数为10天。

【点睛】

本题考查的是工程问题，也可以假设乙没有休息，求出16天完成的工程量，用假设法求解。

16．24天

【解析】

【分析】

根据三种情况，可以求出甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 ，对于工作效率有（甲，乙）＋（丙，丁）－（乙，丙）＝（甲，丁），求出甲、丁两人的工作效率后，即可求出工作时间。

【详解】

甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是，，；

＋－＝

甲、丁合作的工作效率为；

（天）

答：甲、丁两人合作24天可以完成这件工程。

【点睛】

本题考查的是工程问题，工程问题始终是围绕着工作效率、工作时间、工作总量的关系展开的。

17．天

【解析】

【分析】

设这项工程为单位“1”，则甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为，据此可以求出甲和乙的工作效率之和，然后求出甲、乙合作36天后，剩下的工程量是多少，再除以甲、乙、丙、丁的工作效率之和即可。

【详解】

甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为；

那么甲＋乙的工作效率为：

甲＋乙＋丙＋丁的工作效率为；

因此剩下的工程还需要：

（天）

答：还需60天可完工。

【点睛】

本题考查的是工程问题，工程问题中，工作时间＝工作总量÷工作效率。

18．48天

【解析】

【分析】

根据题目给出的三种情况，可以分别求出甲、乙，乙、丙，丙、甲的工作效率，观察发现2（甲＋乙＋丙）＝（甲＋乙）＋（乙＋丙）＋（甲＋丙），可以求出甲、乙、丙的工作效率之和，进而求出丙的工作效率，以及丙所需的时间。

【详解】

＋＋＝

甲、乙、丙的工作效率之和为：

÷2＝

那么丙单独工作的工作效率为：

－＝

（天）

答：丙一个人来做，完成这项工作需48天。

【点睛】

本题考查的是工程问题，求出丙的工作效率是求解问题的关键。

19．天

【解析】

【分析】

丙单独做的工作效率是，乙、丙合作的工作效率是，甲、乙合作的工作效率是 ；先求出乙的工作效率，再计算甲的工作效率，然后求出甲、丙合作的工作效率之和，再计算时间。

【详解】

我们可以有：

甲乙，乙丙，丙

不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为，

（天）

答：甲、丙合作12天能完成。

【点睛】

本题考查的是工程问题，合作的工作效率等于每个人的工作效率之和。

20．天

【解析】

【分析】

甲队做了8天后，剩下的工程量甲需要做12天，乙需要做15天，可以求出甲和乙的工作效率的关系，然后计算乙单独完成这项工作需要的时间。

【详解】

20－8＝12（天）

甲12天工作量等于乙15天工作量；

乙的工作效率为甲的，乙独做的时间为（天）

答：乙队单独完成这项工作需25天。

【点睛】

本题考查的是工程问题，求出甲和乙的工作效率的关系是求解问题的关键。

21．（1）144分钟；（2）257分钟

【解析】

【分析】

（1）设每只进水管的工效为“1”，根据原计划的情况，可以求出A、B池的容量，再结合实际的情况，可以求出漏水的效率，然后计算10根进水管给漏水的A水池注水的效率，进而计算时间.

（2）增加4根同样的进水管，一共14根，可以先假设同时注满，根据A、B池的容量之比，求出各自所需要的进水管数量，但由于进水管数量是整数，所以只能取临近的整数进行分类讨论。

【详解】

（1）设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5＝20，B池容量为6×5＝30；

当用5根进水管给B池灌水时需30÷5＝6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20＝10，因此漏水的工效为；

（1）用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需要的时间是：

（ 小时）

2.4小时＝144分钟

答：需要144分钟注满。

（2）设A池需根，那么B池需14根，有， 所以有，化简解得。所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为：

①当A池用7根进水管时：

A：7根水管；

需时间小时＝225分钟；

B：7根水管，需时间小时257分钟；

此时要把两个水池注满最少需要257分钟；

②当A池用6根进水管时：

A：6根水管，

需时间小时277分钟；

B：8根水管，需时间30÷8＝小时＝225分钟；

此时要把两个水池注满最少需要277分钟。

所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池。

答：最少需要257分钟。

【点睛】

本题考查的是工程问题，当有多种情况时，需要进行分类讨论。