【行程问题奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-流水行程问题-人教版

【行程问题奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-流水行程问题-人教版

一、填空题

1．早上8时，骑士号和勇士号两船分别从A、B两港出发，相向而行，骑士号抵达下游B港、勇士号抵达上游A港后都立即掉头返回，上午10时两船首次回到各自的出发点。已知两船同向行驶的时间是10分钟，水流速度为0.5米/秒，那么骑士号在静水中的航行速度是(      )米/秒。

2．从甲地到乙地的水路有375千米，江水的流速是每小时5千米，一艘客轮在静水中每小时行驶20千米。它在甲、乙两地往返一次需要(        )小时。

3．一只轮船在水速为4千米的河道中航行，从A地顺流到B地用了4小时，从B地返回时用了6小时，这只轮船往返的平均速度是(      )千米/时。

4．(2009年迎春杯复赛高年级组)A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是(     )米/秒．

二、解答题

5．一艘轮船，从甲地到乙地是顺水航行，需要2小时到达。返航时，从乙地到甲地需3小时，已知水流速度是10千米每小时，求轮船在静水中的速度是多少？

6．甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍。两船分别从 A 、B 两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇。如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？

7．一只小船运木料 ，逆流而上，在途中掉下一块木头在水中，2分钟后，小船掉头追木头，（不算掉头时间）再经过多少分钟，船可以追上木头？

8．孔目江上，码头A在B上游600千米处，甲、乙两船在A、B之间往返运送货物。若甲、乙两船的静水速度分别为每小时20和30千米，水速为每小时10千米，则两船同时从A出发，经过多少小时后甲第二次与乙迎面相遇？

9．母亲河上， 码头A在B上游540千米处，甲、乙两船分别从A、B同时出发， 在两码头之间往返运送货物。若甲、乙两船的静水速度分别为每小时50和40千米，水速为每小时10千米，则出发后甲、乙第二次迎面相遇地点离A多少千米？

10．甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍。在赣江上，甲船顺流而下从A到B需要3小时，那么乙船逆流而上从B到A需要几小时？

11．某人在河里游泳，逆流而上。他在A处丢失一只水壶，但向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处1000米的地方追到。假定此人在静水中的游泳速度为每分钟30米，那么水流的速度为每分钟多少米？

12．一条小河上，A在B上游150千米处。甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而行， 3小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上。则甲船的静水速度是每小时多少千米？

13．一条船从甲港到乙港往返一次需要2小时，由于返回时是顺水，比去时每小时多行了8千米，因此第2小时比第1小时多行驶了6千米，那么甲、乙两港相距多少千米？

14．一条小河上， A、B 两地相距50千米。甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，逆流而上。若甲、乙两船静水速度分别为每小时30和40千米，那出发后几小时乙追上甲？

15．一条小河上，A、B两地相距 180千米，甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，相向而行。若甲、乙两船的静水速度分别为每小时40和50千米，则出发后几小时相遇？

16．水流速度是每小时15千米，现在有船顺水而行，8小时行了320千米，若逆水行320千米需要几小时？

17．有一船行驶于120千米长的河中，逆行需要10小时，顺行需要6小时，求船在静水中的速度和水流速度？

18．沿河上、下有两个乡镇，相距85千米，有一只船往返于两乡镇之间，船的速度是每小时18.5千米，水流的速度是每小时1.5千米，求这只船往返一次所需要的时间？

19．科考船“雪龙号”正在航测水速。若该船静水速度为每小时15海里，逆流航行2小时前行了28海里，那航测期间水流速度为每小时多少海里？

20．甲乙两港相距112千米，一只船从甲港顺水而下7小时到达乙港，已知船速是水速的15倍，这只船从乙港返回甲港用多少小时？

21．两码头相距432千米，轮船顺水行这段路程需要16小时，逆水每小时比顺水少行9千米，问行驶这段路程顺水比逆水少用几小时？水流速度是多少？

参考答案：

1．6

【解析】

【分析】

两个小时，两艘船都回到起点，那么两船在静水中的航行速度是相同的，两船同向行驶的时间是10分钟，也就是骑士号到达B港，再往回行驶10分钟，勇士号才到达A港；顺水走完一个全程比逆水走完一个全程少用10分钟，顺水走完一个全程和逆水走完一个全程总共2小时，也就是120分钟，据此求出顺水，走完一个全程和逆水走完一个全程各自所需要的时间，然后求出速度比，再计算顺水速度和逆水速度，最后求静水中的航行速度。

【详解】

10－8＝2（小时）

10分＝小时

顺水速度∶逆水速度＝

（米/秒）

（米/秒）

【点睛】

本题考查的是流水行船问题，找出同向行驶在哪一时间段是求解问题的关键。

2．40

【解析】

【分析】

利用：船的顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度，船的逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度，进一步运用路程、速度和时间三者之间的关系解答即可。

【详解】

375÷（20＋5）

＝375÷25

＝15（小时）

375÷（20－5）

＝375÷15

＝25（小时）

所以，它在甲、乙两地往返一次需要40小时。

【点睛】

本题主要考查了流水行船问题，正确理解“船的顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度、船的逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度”，是解答此题的关键。

3．19.2

【解析】

【详解】

略

4．10

【解析】

【分析】

【详解】

本题采用折线图来分析较为简便．

如图，箭头表示水流方向，表示甲船的路线，表示乙船的路线，两个交点、就是两次相遇的地点．

由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是和的长度相同，和的长度相同．

那么根据对称性可以知道，点距的距离与点距的距离相等，也就是说两次相遇地点与、两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了千米和千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为．

而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为米/秒，那么两船在静水中的速度为米/秒．

5．50千米/时

【解析】

【分析】

由题意可知，从甲地到乙地和从乙地到甲地的路程相等，把轮船在静水中的速度设为未知数，顺水速度＝静水中的速度＋水流速度，逆水速度＝静水中的速度－水流速度，等量关系式：顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间，据此列方程解答。

【详解】

解：设轮船在静水中的速度是x千米/时。

（x＋10）×2＝（x－10）×3

2x＋2×10＝3x－3×10

2x＋20＝3x－30

3x－2x＝20＋30

x＝50

答：轮船在静水中的速度是50千米/时。

【点睛】

准确设出未知数并找出等量关系式是解答题目的关键。

6．13小时

【解析】

【分析】

本题中的甲船的速度、乙船的速度、水的速度、A、B两个码头之间的距离都不知道，只知道甲、乙两船的速度和水速之间的关系，所以我们可以把水速设为1千米/小时，则甲船的速度是11×1＝11（千米/小时），乙船的速度是：7×1＝7（千米/小时），两船出发后6小时第一次相遇，所以A、B两个码头之间的距离是6×（11＋7）＝108（千米）甲、乙两船相遇后，甲船还需要再行驶（108—12×6）÷12＝3（小时）到达B码头，乙船已经离开B码头：（6＋3）×（7—1）＝54（千米），正好走了一半的路程，乙船还需要再行驶9小时才能到达A码头，甲船在这9小时的时间内逆流而上行驶了：9×（11—1）＝90（千米），离A码头还有108—90＝18（千米），甲船继续逆流而上，乙船顺利而下，两船变成了相遇问题，相遇时间＝18÷（11＋7）＝1（小时），所以第一次相遇与第二次相遇之间时间是：9＋3＋1＝13（小时）。

【详解】

（108—12×6）÷12＋6

＝（108—72）÷12＋6

＝36÷12＋6

＝3＋6

＝9（小时）

[108—9×（11—1）]÷（11＋7）

＝[108—9×10]÷18

＝[108—90]÷18

＝18÷18

＝1（小时）

9＋3＋1＝13（小时）

答：第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇。

【点睛】

我们可以把水速设为1千米/小时，甲、乙两船的速度在变化，所以逐步分析两船行驶的路程和速度。

7．2 分钟

【解析】

【分析】

有题意可知：木头的速度就是水流的速度，在A处掉下一块木头后，木头会顺着水流的速度向下漂，船继续逆流而上，船和木头的速度和就是船在静水中的速度，所以2分钟后，船和木头之间是距离是：2×船速，此后船返回去追木头，变成了追及问题，船的速度是船在静水中的速度＋水流速度，木头的速度还是水流速度，所以船和木头的速度差还是船在静水中的速度，即可求出船追上木头的时间。

【详解】

2分钟后船和木头之间的距离是：2×（船速—水速）＋2×水速＝2×船速

小船追木头的时间：2×船速÷（船速＋水速—水速）＝2（分钟）

答：再经过2分钟，船可以追上木头。

【点睛】

本题关键理清两点：木头的速度就是水流的速度，船和木头的速度差还是船在静水中的速度。

8．52小时

【解析】

【分析】

刚开始甲、乙两船都是从A出发顺利而下，当乙船到达B码头的时间是：600÷（30＋10）＝15（小时），此时甲船离B码头还有：600—15×（20＋10）＝150（千米），甲船继续顺流而下，乙船则逆流而上，甲船到达B码头的时间：150 ÷（20＋10）＝5（小时），此时乙船已逆流而上行驶了5×（30—10）＝100（千米），甲、乙两船都是逆流而上。乙船逆流而上还要再行驶：（600—100）÷（30—10）＝25（小时），在这25小时的时间内甲船逆流行驶了：25×（20—10）＝250（千米），离A码头还有600—250＝350（千米），甲船继续逆流而上。乙船顺流而下，两船变成了相遇问题，相遇时间＝350÷（30＋20）＝7（小时）。所以到甲、乙两船第二次相遇所需要的时间是：15＋5＋25＋7＝52（小时）。

【详解】

600÷（30＋10）

＝600÷40

＝15（小时）

[600—15×（20＋10）]÷（20＋10）

＝[600—15×30]÷30

＝[600—450]÷30

＝150÷30

＝5（小时）

（600—100）÷（30—10）

＝500÷20

＝25（小时）

[600—25×（20—10）]÷（20＋30）

＝[600—25×10]÷50

＝[600—250]÷50

＝350÷50

＝7（小时）

15＋5＋25＋7＝52（小时）

答：经过52小时后甲第二次与乙迎面相遇。

【点睛】

解答本题一定要画图，甲、乙两船的速度在变化，所以要分段进行分析。当乙船到达B地时，甲船在哪里？当乙船逆流而上到达A时，甲船又在哪里？此时两船是相对而行，即第2次相遇。

9．100 千米

【解析】

【分析】

刚开始甲船是顺流而下，乙船是逆流而上，所以到甲船到达B码头时，乙船离B码头还有：540÷（50＋10）×（40—10）＝270（千米），此后甲、乙两船都是逆流而上，乙到达A码头还需要270÷（40—10）＝9（小时），在这9小时的时间内，甲船逆流行驶了9×（50—10）＝360（千米），这时乙船在A码头，甲、乙两船之间的距离是540—360＝180（千米），乙船顺流而下，甲船继续逆流而上，两船又变成了相遇问题，可以求出两船第二次相遇的时间，进而也可以求出第二次相遇的地点离A码头的距离。

【详解】

甲船到达B码头时，乙船离A码头的距离：

540—540÷（50＋10）×（40—10）

＝540—540÷60×30

＝540—9×30

＝270（千米）

乙船到达A码头时，甲船离A码头的距离：

540—270÷（40—10）×（50—10）

＝540—270÷30×40

＝540—9×40

＝180（千米）

第二次迎面相遇地点离A的距离：

180÷（50＋40）×50

＝180÷90×50

＝2×50

＝100（千米）

答：出发后甲、乙第二次迎面相遇地点离A100千米。

【点睛】

本题的关键是甲、乙两船的速度在变化，所以要逐步分析船的行驶过程。

10．6小时

【解析】

【分析】

把从A到B的路程看做单位“1”，因为甲船顺流而下需要3小时，所以甲船顺流速度是1÷3＝，甲船静水速度是水速的11倍，因为顺流速度＝船速（静水速度）＋水速，所以甲船顺流速度是水速的11＋1＝12倍，即可求出水速÷12＝，进而也可以求出乙船在静水中的速度，那么乙船逆流而上的时间也可以求出来了。

【详解】

甲船顺流速度：1÷3＝

水速：÷（11＋1）

＝÷12

＝

乙船逆流速度：×7－

＝×（7－6）

＝×6

＝

乙船逆流而上的时间：1÷＝6（小时）

【点睛】

此题把从A到B的路程看做单位“1”，运用顺流速度、逆流速度、船速、水速之间的倍数关系逐步解答。

11．25米/分

【解析】

【分析】

有题意可知：水壶的速度就是水流的速度，在A处丢失一只水壶后，水壶会顺着水流的速度向下漂，人继续逆流而上，人和水壶的速度和就是人在静水中游泳的速度，所以20分钟后，人和水壶之间是距离是：20×30＝600（米），此后人返回去追水壶，变成了追及问题，此时人的速度是人在静水中的速度＋水流速度，水壶的速度还是水流速度，所以人和水壶的速度差还是人在静水中的速度，即可求出人追上水壶的时间600÷30＝20（分钟），水壶所走的路程是1000米，所用的时间是20＋20＝40（分钟），进而就可求出水壶的速度即水流的速度。

【详解】

20×30÷30＝20（分钟）

1000÷（20＋20）

＝1000÷40

＝25（米/分）

答：水流的速度为每分钟25米。

【点睛】

此题关键是理清不管是人和水壶的速度差还是速度和都是人在静水中的速度。

12．20千米/小时

【解析】

【分析】

甲、乙两船不管是相向而行还是同向而行，两船的速度和与速度差都和水流速度无关。由相向而行，3小时后相遇，可以求出两船的速度和，由同向而行，15小时后甲被乙追上，可以求出两船的速度差，再根据和差问题即可求出甲船的速度。

【详解】

速度和：150÷3＝50（千米/小时）

速度差：150÷15＝10（千米/小时）

甲船的速度：（50—10）÷2

=40÷2

＝20（千米/小时）

答：甲船在静水中的速度是20千米/小时。

【点睛】

此题关键是理清两船的速度和与速度差都和水流速度无关。

13．15千米

【解析】

【分析】

如下图所示：蓝色的部分是第1小时逆水行的路程，红色的部分是第2小时行的路程。因为6÷2＝3千米，则逆水1小时后距离终点还有3千米，所以第2小时的时间内一部分时间还是逆水，一部分时间是顺水，又因为顺水1小时比逆水1小时多行8千米，所以在第2小时的时间内有6÷8＝（小时）是顺水，有1—＝（小时）是逆水，则可求出逆水速度，进而甲、乙两港之间的距离也可以求出来。

【详解】

逆水速度：（6÷2）÷（1—6÷8）

＝3÷（1—6÷8）

＝3÷

＝12（千米/小时）

甲、乙两港相距：12×1＋3

＝12＋3

＝15（千米）

答：甲、乙两港之间相距15千米。

【点睛】

解决此题一定要画图，通过线段图可知逆水1小时后距离终点还有3千米，再依据比例知识求出行驶3千米所用的时间，即可求出逆水的速度。

14．5小时

【解析】

【分析】

本题是一道追及问题，要求的是追及时间，追及时间＝路程差÷速度差。

因为两船都是逆流而上，所以两船的速度差仍然和水流速度无关，是两船的静水中的速度差。

【详解】

50÷（40—30）

＝50÷10

＝5（小时）

答：出发后5小时乙追上甲。

【点睛】

本题关键是理清两船都是逆流或顺流时，两船的速度差仍是两船在静水中的速度差。

15．2小时

【解析】

【分析】

本题是一道相遇问题，要求的是相遇时间，相遇时间＝总路程÷速度和。

因为两船是相向而向，一艘船是逆水，一艘船是顺水，不管是哪艘船顺水，甲、乙两船的速度和都和水流速度没有关系，都是两艘船在静水中的速度和。

【详解】

180÷（40＋50）

=180÷90

＝2（小时）

答：出发后2小时相遇。

【点睛】

此题要理清甲、乙两船的速度和是两艘船在静水中的速度和。

16．32小时

【解析】

【分析】

要想求出逆水行320千米所需要的时间，就要求出逆流速度，已经知道水流速度是每小时15千米，静水中的速度=顺流速度-15，求出船在静水中的速度。根据公式逆流速度=船在静水中的速度-15即可解决此题。

【详解】

船速：320÷8—15

=40—15

＝25（千米/小时）

逆流速度：320÷（25—15）

=320÷10

＝32（小时）

答：逆水行320千米需要32小时。

【点睛】

此题关键是理清：逆流速度=顺流速度-水流速度-水流速度。

17．船速16千米/小时，水速4千米/小时

【解析】

【分析】

本题的条件中有行驶的路程和行驶的时间，可以分别算出船在逆流时的行驶速度和顺流时的速度，船的顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，船的逆水速度=船在静水中的速度-水流速度，再根据和差问题就可以求出船在静水中的速度（简称船速）和水流速度（简称水速），船在静水中的速度=（船的顺水速度+船的逆水速度）÷2，水流速度=（船的顺水速度-船的逆水速度）÷2。

【详解】

逆流速度：120÷10＝12（千米/ 小时）

顺流速度：120÷6＝20（千米/小时）

船速：（20＋12）÷2

=32÷2

＝16（千米/小时）       

水速：（20—12）÷2

=8÷2

＝4（千米/小时）

答：船在静水中的速度是16千米/小时，水流速度是4千米/小时。

【点睛】

此题关键是理清船的顺流速度和逆流速度之和是船速的2倍，船的顺流速度和逆流速度之差是水速的2倍。

18．9.25小时

【解析】

【分析】

往返的路程是一样，但是速度不一样，一个是顺流，一个是逆流。顺流速度＝船在静水中的速度＋水流速度，逆流速度＝船在静水中的速度—水流速度。据此解答。

【详解】

85÷（18.5＋1.5）＋85÷（18.5—1.5）

＝85÷20＋85÷17

=4.25＋5

＝9.25（小时）

答：求这只船往返一次所需要的时间是9.25小时。

【点睛】

熟练运用公式：顺流速度＝船在静水中的速度＋水流速度，逆流速度＝船在静水中的速度—水流速度就可解决此类问题。

19．1海里/小时

【解析】

【分析】

由条件“这艘船逆流行2小时行了28海里”，可求出这艘船的逆流速度：28÷2＝14（海里/小时），根据公式：逆流速度＝船在静水中的速度—水流速度，即可求出水流速度。

【详解】

15—28÷2

＝15-1

＝1（海里/小时）

答：航测期间水流速度为每小时是1海里。

【点睛】

牢记公式：逆流速度＝船在静水中的速度—水流速度。

20．8小时

【解析】

【分析】

由距离和顺水航行时间可以求出顺水速度。根据顺水速度＝船速＋水速，以及船速与水速的倍数关系，利用和倍公式，可以分别求出船速和水速以及逆水速度，进而求出逆水航行需要的时间。

【详解】

顺水速度：112÷7＝16（千米/时）

水速：16÷（15＋1）

＝16÷16

＝1（千米/时）

船速：1×15＝15（千米/时）

逆水速度：15－1＝14（千米/时）

逆水航行需要的时间：112÷14＝8（小时）

答：这只船从乙港返回甲港要用8小时。

【点睛】

流水行船是行程问题的一种，熟练掌握公式：路程＝顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间；顺水速度＝船速＋水速是解答本题的关键。这类问题中还经常用到和倍、差倍相关公式，要灵活选择公式方便求解。

21．8小时；4.5千米/时

【解析】

【分析】

用路程除以顺水用的时间可求出顺水速度，再减去9就是逆水速度；用距离432除以逆水速度即可求得逆水行驶用的时间，然后用逆水用的时间减去顺水用的时间即可求出顺水比逆水少用的时间；水流速度＝（顺水速度－逆水速度）÷2，代入数据求解即可。

【详解】

顺水速度：432÷16＝27（千米/时）

逆水速度：27－9＝18（千米/时）

逆水航行用时：432÷18＝24（小时）

24－16＝8（小时）

水流速度：（27－18）÷2

＝9÷2

＝4.5（千米/时）

答：行驶这段路程顺水比逆水少用8小时，水流速度是4.5千米/时。

【点睛】

本题的关键是先求出逆水速度，再根据时间＝路程÷速度以及水流速度＝（顺水速度－逆水速度）÷2列式解答。