【行程问题奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-行程中的变速及平均速度问题-人教版

【行程问题奥数专题】暑假五升六奥数思维拓展-行程中的变速及平均速度问题-人教版

一、选择题

1．小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了1个小时，假设小明当天平路骑行速度为9千米/小时，上坡速度为6千米/小时，下坡速度为18千米/小时，那么小明的家距离学校多远？（       ）。

A．3.5千米 B．4.5千米 C．5.5千米 D．6.5千米

2．小亮上山时的速度是每小时2千米,按原路下山时的速度是每小时6千米。他上、下山的平均速度是(     )千米/时。

A．3 B．4 C．5

3．小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（       ）分钟．

A．6 B．8 C．10 D．12

二、填空题

4．甲乙丙三人进行1000米跑步场比赛，当甲跑完时，乙还差100米到终点，丙离乙还差90米，甲到终点后等了18秒，乙也到达终点。问此时丙还要____秒到达终点。

5．小红从家步行去学校，如果每分钟走120米，那么将比预定时间早到5分钟；如果每分钟走90米，则比预定时间迟到3分钟，那么小红家离学校有____________米。

6．一天红太狼和灰太狼同时从“野猪林”出发，前往“天堂镇”。红太狼一半路程溜达，一半路程奔跑；灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑。如果它们溜达的速度相同，奔跑的速度也相同，则先到“天堂镇”的是__________。

7．一艘轮船从甲地到乙地每小时航行30千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度为40千米，则返回时每小时应航行_____千米。

8．在一个10千米的越野赛中，小刚的参赛方法是：前半程以20千米/时的速度前进，后半段路以15千米/时的速度到达终点，那么在整个过程中，小刚的平均速度是________千米/时。

三、解答题

9．小明准时从家出发，以3.6千米/时的速度从家步行去学校，恰好提前5分钟到校．某天，当他走了1.2千米，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课，后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校．那么他家离学校多少千米？小明跑步的速度是每小时多少千米？

10．甲、乙两地相距 10.5千米，某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地返回甲地每小时走3千米。求他往返的平均速度？

11．一辆汽车从粮库到粮店运粮，来回共用15小时，去时用的时间是回来的1.5倍，回来时比去时每小时快12km，求两地的距离．

12．李同学骑自行车上学，因有急事从学校打的回家，来回途中共用1.5小时．如果来回都打的只需30分钟．求往返都骑自行车要用多长时间？

13．冬冬家离学校3200m，有一次他以每分钟200m的骑车速度去学校上课，骑几分钟后发现如果以这样的速度骑下去一定会迟到，他马上改用每分钟250m的速度前进，途中共用了15分钟，准时到达学校．问：冬冬是在离学校多远的地方加速的？

14．一辆摩托车从A地到B地共行驶了420km，用了5小时．途中一部分公路是水泥路，部分是普通公路，已知摩托车在水泥公路上每小时行驶110km，在普通公路上每小时行驶60km，求摩托车在普通公路上行驶了多少千米?

15．一辆汽车从甲地到乙地行驶了6小时，由乙地返回甲地每小时加快8千米，结果少用1小时．求甲、乙两地的距离．

16．甲乙两地相距1800千米，一架飞机从甲地飞往乙地，逆风每小时飞行360千米，返回时顺风，比去时少用1小时，往返平均每小时飞行多少千米？

17．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，返回时每小时行50千米，结果返回时比去时的时间少48分钟．求甲乙两地之间的路程？

18．小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回时每小时走9千米，来回共用5小时，小明来回共走了多少千米？

19．如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.

问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？

（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？

20．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.

21．甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以4.5千米／时的速度走了路程的一半，又以5.5千米／时的速度走完了另一半；乙班在比赛过程中，一半时间以4.5千米／时的速度行进，另一半时间以5.5千米／时的速度行进．问：甲、乙两班谁将获胜？

参考答案：

1．B

【解析】

由题意可知，往返上坡和下坡的路程相同，求出上坡和下坡的平均速度：v＝＝＝9千米/时，则全程的平均速度为9千米/小时，根据“速度×时间＝路程”求出往返的总路程，再除以2即小明家到学校的距离。

【详解】

＝9（千米/时）

9×1÷2

＝9÷2

＝4.5（千米）

故答案为：B

【点睛】

明确往返上坡和下坡的路程相同，进而求出它们的平均速度是解答本题的关键。

2．A

【解析】

略

3．C

【解析】

【详解】

方法一：单位“1”和假设法，设小明家距学校的路程为“1”，乘地铁的速度为，乘公交车速度为，40-6=34分钟，假设全程都做地铁，能走×34=，所以坐公交车用了（-1）÷（-）=10分钟．

方法二：设数法和假设法，设小明家距学校的路程为[30，50]=150m，乘地铁的速度为150÷50=3m/min，乘公交车速度为150÷30=5m/min，40-6=34分钟，假设全程都做地铁，能走5×34=170m，所以坐公交车用了（170-150）÷（5-3）=10分钟．

方法三：时间比和比例．同一段路程，乘地铁和乘公交车时间比为3:5，全程乘地铁需要30分钟，有一段乘公交车则用40-6=34分钟，所以乘公交车的那段路比乘地铁多用34-30=4分钟，所以坐公交车用了4÷（5-3）×5=10分钟．

答案选C．

4．20

【解析】

【分析】

甲跑完1000米时，乙跑了900米，丙跑了810米，甲、乙、丙的速度比是10∶9∶8.1，甲到终点后等了18秒，乙到达终点，可以求出甲、乙的具体时间，进而求出丙所需的时间。

【详解】

（米）

（米）

（秒）

（秒）

（秒）

（秒）

【点睛】

本题考查的是比例行程问题，路程一定，速度比与时间比相反。

5．2880

【解析】

【分析】

早到5分钟和迟到3分钟相差8分钟，由于路程相同，速度比与时间比相反，根据速度比求出时间比，求出具体的时间，再计算路程。

【详解】

（分钟）

（分钟）

（分钟）

（米）

【点睛】

本题可以用比例求解，也可以设路程是未知数，根据时间的关系列方程求解。

6．灰太狼

【解析】

【分析】

分别假设出溜达和奔跑的速度，并设出“野猪林”到“天堂镇”的距离，求出二者分别需要是时间，进行比较即可。

【详解】

设“野猪林”到“天堂镇”的距离为120米；

设出溜达的速度是3米/秒，奔跑的速度是5米/秒，

红太狼：

（米）

（秒）

灰太狼：

（秒）

所以先到“天堂镇”的是灰太狼。

【点睛】

本题考查的是行程问题中有关平均速度是问题，注意题目所给出的两种情况是不一样的。

7．60千米

【解析】

【分析】

把总航程单程看作单位为“1”，根据“路程÷速度＝时间”，求出去时的时间为时；往返时间为时；则返回的时间为时；根据“路程÷时间＝速度”，解答即可。

【详解】

把甲地到乙地的路程看作单位“1”，则甲地到乙地的时间为：，

往返时间为：，返回时间为：，

返回时速度为：（千米/时）

答：返回时每小时应航行60千米。

【点睛】

本题是简单的行程问题，根据路程、速度和时间的关系进行分析解答即可．

8．

【解析】

【详解】

略

9．他家离学校1.8千米，小明跑步的速度是每小时7.2千米．

【解析】

【详解】

试题分析：设他家离学校的距离S千米，跑步速度为每小时V千米，根据题意，列出等式：…①，…②，据此，分别求出小明跑步的速度、他家离学校的距离即可．

解：设他家离学校的距离S千米，跑步速度为每小时V千米，

则…①，

…②，

由①，可得=…③，

由②，可得=…④，

由③④，可得=，

解得V=7.2，

把V=7.2代入①，可得S=1.8千米．

即他家离学校1.8千米，小明跑步的速度是每小时7.2千米．

答：他家离学校1.8千米，小明跑步的速度是每小时7.2千米．

点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．

10．3.75千米/小时

【解析】

【分析】

在应用题里，已知几个不相等的已知数及份数，要求出总平均的数值，称为求平均数应用题。本题要用来回的总路程除以来回用的总时间求解。

【详解】

10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）

=10.5×2÷（2.1+3.5）

=10.5×2÷5.6

=3.75（千米/小时）

答：他往返的平均速度3.75千米/小时。

【点睛】

解平均数应用题，要找准总数量与总份数的对应关系。

11．216千米

【解析】

【详解】

回来用时：15÷（1+1.5）=6（小时）

去时用：15-6=9（小时）

12×6=72（千米）

设汽车速度为X，根据题意列方程：

9X=6X+72

X=24

两地距离：6X+72

=6×24+72

=216（千米）

12．2小时30分

【解析】

【详解】

打的来回用30分钟，那么回家=去学校=15分钟；

骑自行车上学需要1.5小时-15分钟 1小时15分；

一来回就要2小时30分．

13．离学校1000米处

【解析】

略

14．156千米

【解析】

【详解】

解：设摩托车在普通公路上行驶了x千米，则在水泥路上行驶了（420-x）千米．根据题意列方程：

解得，x=156

答：摩托车在普通公路上行驶了156千米．

15．240千米

【解析】

【详解】

返回时间6-1=5小时，往返时间比=6:5；往返的速度比=5:6

8÷（6-5）×5×6=240（千米）

16．400千米

【解析】

【详解】

1800÷360=5（小时）5-1=4（小时）1800×2÷（5+4）=400（千米）

17．160千米

【解析】

【分析】

因为汽车从甲地开往乙地又从乙地返回甲地，所走距离相同，所以时间比=速度的反比．据此可得，去时所用时间：返回所用时间=50:40=5:4. 去时所用时间为5份，返回所用时间为4份．去时所用时间比返回所用时间进多一份是48分钟，进而可得去时的时间为：48×5=240分钟=4小时；甲乙两地之间的路程为：4×40=160千米

【详解】

去时所用时间：返回所用时间=50:40=5:4

去时所用时间：48×5==240（分钟）=4（小时）

甲乙两地之间的路程：4×40=160（千米）

18．36千米

【解析】

【详解】

解：设甲、乙两地相距x千米，来回就走了2x千米，由题意可得：

＋＝5

x＝5

x＝18

2x＝2×18＝36（千米）

19．（1）40分钟     （2）1千米

【解析】

【详解】

（1）小张从 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝25（分钟）；当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了=1（千米）

因此在 B与 C之间平路上留下 3-1＝2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2 ÷（4＋4）×60＝15（分钟）.

从出发到相遇的时间是25＋15＝40（分钟）.

（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.

小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走=1.5（千米）

小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.

答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.

20．420千米

【解析】

【分析】

先画一张行程示意图如下

设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.

下面的考虑重点转向速度差.

在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋16＝28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点（或E点）相遇所用时间是28÷5＝5.6（小时）.

比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.

甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米．据此可求出甲的速度．同理可求乙的速度．A，B两地距离即可得出．

【详解】

12＋16＝28（千米）

28÷5＝5.6（小时）

6-5.6＝0.4（小时）

甲的速度是12÷0.4＝30（千米/小时）

乙的速度是16÷0.4＝40（千米/小时）

A到 B距离是（30＋ 40）×6＝420（千米）

答：A，B两地距离是420千米.

21．乙班

【解析】

【详解】

解：由题意很容易得知：乙班的平均速度为5千米/小时．

设总路程为“1”个单位．

甲班前半段的所花时间为：（单位·时/千米）

后半段所花的时间为：（单位·时/千米）

甲班所花的总时间为：（单位·时/千米）

所以甲班的平均速度为：（千米/小时）

所以乙班的平均速度高于甲班，乙班将获胜．