2021-2022学年江西省九江市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江西省九江市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 正方形

2. 计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如果一个多边形的内角和是，这个多边形是(    )

A. 八边形 B. 十四边形 C. 十边形 D. 十二边形

4. 下列从左到右的变形是正确的因式分解的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论正确的有(    )
   ；；的周长等于；是等边三角形．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 因式分解：______．
8. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是______命题．填“真”或“假”
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是          ．
10. 如图，一次函数与的图象交于点，与轴交于点已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则不等式的解集为______．

11. 的两直角边，的长分别是，，以三边的中点为顶点的三角形记为以三边的中点为顶点的三角形记为以此类推，则的周长为______．
12. 已知四边形，，对角线将其分成两个三角形，其中是边长为的等边三角形，是等腰三角形，则的长是______．

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 因式分解：；
    如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点求证：．

14. 解方程：．
15. 如图，在中，，垂足为，为上一点，交于点，且，，，求的长．

16. 求不等式组的解集，并将解集画在下面的数轴上．
     
17. 在平面直角坐标系中描出点，，，得到．
    将中的先向右平移个单位，再向上平移个单位．画出平移后的．
    请说明如何将看成是经过一次平移得到的．

18. 先化简，再求值：，其中整数满足不等式．
19. 某商家用元购买了一种商品，面市后供不应求，第二次又用元购买了这种商品，所购商品的数量比第一次多件，但单价涨了若销售这种商品每件定价都是元，所有商品全部售完后，商家共赢利多少元？
20. 如图，点是等边三角形外一点，，，将绕点逆时针旋转后得到．
    求证：是直角三角形；
    求的面积．

21. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按照七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按照八折收费．
    设参加旅游的学生有人，甲、乙旅行社的总价分别为，元，请列出，关于的函数关系式；不用写出自变量的取值范围
    他们应该选择哪家旅行社？
22. 如图，点是的边上一点，连接，过作于点，过作于点．
    如图，若点为的中点时，连接，，求证：四边形是平行四边形；
    如图，若点不是的中点，点是上不与重合的一点，连接，，已知点在的垂直平分线上，求证：．

23. 已知点，点为轴正半轴上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转一个角度得到线段设点的坐标为．
    
    如图，若，过点向轴作轴于点，则与的关系是______，由此可知点的横坐标为______；
    如图，若，
    当点运动到时，旋转后的对应点恰好落在轴上，则点的坐标为______，点的坐标为______；
    当点离开向右边移动时，点同时离开，连接，证明≌，并求出点的坐标与的函数关系式；
    如图，请直接写出当时点的坐标与的函数关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选B．
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
本题主要考查了分式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：这个正多边形的边数是，
则，
解得：，
则这个正多边形是．
故选：．
边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、因为，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
根据多项式因式分解前后结果不变，即可求解．
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：不等式得，
，
解得．
故选：．
利用不等式的基本性质，将两边不等式同时乘以，不等号的方向改变．得到不等式的解集为：．
本题考查不等式的性质，在不等式的两边乘以，不等号要改变方向．此题容易错解选B．
 

6.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，所以正确；
绕点逆时针旋转，得到，
，，
为等边三角形，所以正确，
，，
在中，，
，即，
，所以错误；
，，
的周长，所以正确．
故选：．
根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则，于是根据平行线的判定可对进行判断；由绕点逆时针旋转，得到得到，，则根据边三角形的判定方法得到为等边三角形，于是可对进行判断；根据等边三角形的性质得，，然后说明，则，于是可对进行判断；最后利用，和三角形周长定义可对进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

8.【答案】真 

【解析】解：命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”，是真命题，
故答案为：真．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，
点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为．
根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称的坐标变化，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：一次函数与轴交于点且点的横坐标为，
，
把点代入，得：，
解得，，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，
，
，
，
由图象可知，当时，直线的图象在函数图象的下方，
不等式的解集为，
故答案为：．
把点代入，求出的值，得直线的解析式，再求点坐标，结合函数图象可得不等式的解集．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
的周长为，
以三边的中点为顶点的三角形为，
，，，
的周长，
同理可得，，
以此类推，的周长，
故答案为：．
根据勾股定理求出，进而求出的周长，根据三角形中位线定理求出，，，得到的周长，总结规律，根据规律解答即可．
本题主要考查勾股定理、三角形中位线定理，找到周长的变化规律是解题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图所示：

是边长为的等边三角形，
，，
，
，
是等腰三角形，分情况讨论：
当时，；
当时，则，
，
设，
则，
根据勾股定理，可得，
解得或舍，
；
当时，则，
，
则，
综上，的长是或或，
故答案为：或或．
根据等边三角形的性质可求得的长及，分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用勾股定理即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键，注意运用分类讨论思想．
 

13.【答案】解：；
证明：平分，
，
又，
，
，
． 

【解析】先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可．
根据角平分线的性质和平行线的性质可以得出．，从而判定为等腰三角形，就可以知道．
本题考查了因式分解、角平分线的性质、等腰三角形的判定、以及等腰三角形的性质．解题关键要掌握因式分解、角平分线的性质、等腰三角形的判定、等腰三角形的性质．
 

14.【答案】解：方程两边同乘得：
，
解得：，
检验：当时，，故此方程无实数根． 

【解析】直接找出公分母进而去分母解方程即可．
此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
 

15.【答案】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由证明≌，得出，再由勾股定理求出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质；熟记斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：，
由得：，
移项合并得：，
解得：，
由得：，
移项合并得：，
解得：，
则原不等式组的解集为．． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：即为所求；

如图，即为所求；
将沿着方向平移个单位长度． 

【解析】根据点的坐标即可确定位置，从而画出；
根据平移的性质画出；
沿着方向平移个单位长度得到．
本题主要考查了作图平移变换，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式



，
整数满足不等式
又由分式有意义，，，，
，
原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值，代入计算即可求出值．
本题主要考查分式的化简求值、不等式的解集，根据分式有意义的条件判断出的取值是解题的关键．
 

19.【答案】解：设第一次购买单价为元，则第二次购买单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
．
元．
答：商家共赢利元． 

【解析】设第一次购买单价为元，则第二次购买单价为元，利用数量总价单价，结合第二次比第一次多购进件，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出第一次购买单价，将其代入中即可求出第二次购买单价，再利用总利润每件的销售利润销售数量，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：依题，，，
是等边三角形，
，
，
，
是直角三角形；
解：是等边三角形，
，
是直角三角形，，
，
作于点则，
．
 

【解析】根据条件和旋转性质可得是等边三角形，再根据勾股定理的逆定理即可证明；
以为底，作高，计算的长，根据三角形面积公式即可解答．
本题考查旋转的性质、直角三角形和等边三角形的判定和性质、直角三角形中，锐角所对的直角边是斜边的一半等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点．
 

21.【答案】解：由题意得，，；
当时，，解得，
当时，，解得；
当时，，解得；
当学生人数超过人时，选择甲旅行社；
当学生人数为人时，两家旅行社都可以；
当学生人数少于人时，选择乙旅行社． 

【解析】根据题意列式即可得；
分情况讨论：当时，当时，当时，进行计算即可得．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，写出相关函数关系式并掌握一次函数的性质．
 

22.【答案】证明：，．
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
如图，延长交于，
，．
，，
，，
点在的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
延长交于，由线段垂直平分线的性质得，再证，则，然后证≌，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】全等      

【解析】解：，
，
轴，
，
，
，
≌，
，
故答案为：全等，；
，
，
，
，
，
，
故答案为：，； 
过点作轴于点，
，
，
，，
≌，
，
，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，，
；
由知，≌，
，
，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，
，，
，
，
，
，
．
利用一线三垂直证明≌，可得；
由，可得，则，再由，，可求；
过点作轴于点，可证明≌，求出，，由，，，可得；
由知，≌，再求出，，所以，，，可得．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，线段旋转的性质是解题的关键．