2021-2022学年江西省吉安市吉水县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年江西省吉安市吉水县八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，也是重要数学发现与创造中的重要美学因素，下列四幅图是垃圾分类标志图案，则四幅图案中是中心对称图形的是(    )

A. 可回收物 B. 有害垃圾
C. 厨余垃圾 D. 其他垃圾

2. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应该假设这个三角形中(    )

A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于
C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于

4. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动。点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值为(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

6. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若，则的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 分解因式：______．
8. 一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形是______边形．
9. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

10. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，为上一动点，则的最小值为______．
11. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______．

12. 若在去分母解分式方程时无解，则______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 解方程：．
    因式分解：．
14. 解不等式组，并求出其整数解的和．
15. 如图，和为等腰三角形，，，是边上的高，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．
    在图中，作的边上的中线；
    在图中，作的边上的高．

16. 化简求值：，再从、、、中选取一个你喜欢的的值代入求值．
17. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，与交于点．
    求证：是等边三角形；
    若，求的度数．

18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
    画出将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的；
    画出将绕原点顺时针方向旋转得到；
    在轴上存在一点，满足点到与点距离之和最小，请直接写出点的坐标．

19. 在中，，，分别是，的中点，延长到点，使得，连接，，，，于交于点．
    证明：与互相平分；
    如果，，求的长．

20. 为庆祝中国共产党建党周年，某校开展“党史学习”活动，为给同学们提供学习资料，计划购买中国共产党简史和论中国共产党历史两种图书，已知论中国共产党历史的单价比中国共产党简史的单价多元，且学校用元购买中国共产党简史的数量是用元购买论中国共产党历史的数量的三倍．
    求两本书的单价；
    为让更多同学参加学习活动，学校决定购进这两种书共本，但总费用不超过元．求最多可购买论中国共产党历史的本数．
21. 先阅读下列材料，再解答下列问题：
    材料：因式分解：．
    解：将“”看成整体，令，则
    原式
    再将“”还原，得：原式．
    上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
    因式分解：______．
    因式分解：
    证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．
22. 如图，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
    概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
    性质探究：如图，四边形的对角线、交于点，．
    试证明：；
    解决问题：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、已知，，求的长．
     

23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于，两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在直线上，过点作轴于点．
    求直线的函数表达式；
    求证：≌；
    点的坐标为：______，的面积为______；
    在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．根据不等式解集的表示方法即可判断．
【解答】
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即每一个内角都大于．
故选：．
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，，据三角形的外角性质即可求出度数，进而求出的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：多项式能用完全平方公式分解因式，
．
或，
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，

，
，
同理，
，
以此类推：．
故选：．
根据等边三角形的性质以及外角性质得出 ，进而得出，以此类推得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质以及外角的性质，根据已知得出，，，进而发现规律是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．
 

8.【答案】十 

【解析】解：设这个多边形有条边．
由题意得：，
解得．
则这个多边形是十边形．
故答案为：十．
一个多边形的内角和是它的外角和的倍，而外角和是，则内角和是边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
 

9.【答案】 

【解析】能使函数的图象在函数的上边时的自变量的取值范围是．
故关于的不等式的解集为：．
故答案为：．
求关于的不等式的解集就是求：能使函数的图象在函数的上边的自变量的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值的大小的问题是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．

由作图可知，平分，
，，
，
根据垂线段最短可知，的最小值为，
故答案为：．
如图，过点作于根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．
本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，；
又，
在和中，
，
≌，
，
图中阴影部分的面积就是的面积．
．
故答案为：．
根据矩形是中心对称图形寻找思路：≌，图中阴影部分的面积就是的面积．
此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
 

12.【答案】，或 

【解析】解：去分母得：，
整理得：，
当，即时，方程无解；
当时，，
由分式方程无解，得到或，
当时，；
当时，，
综上，，或，
故答案为：，或
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可．
此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】解：去分母，得，
化简，得，
解得，
经检验，是原方程的根；


． 

【解析】根据解分式方程的步骤求解即可；
先提取公因式，再用公式法进行因式分解即可．
本题考查了解分式方程，因式分解，熟练掌握解分式方程的步骤以及因式分解的方法是解题的关键．
 

14.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为：．
所以不等式组的整数解为：，，它们的和为． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集范围内找出其整数解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：如图中，线段即为所求；
如图中，线段即为所求．
 

【解析】连接交于点，连接，线段即为所求；
连接，延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，线段即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】解：原式


；
取，，时，原式无意义，
把代入得：
原式． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分化简后将有意义的的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，把所求式子化简．
 

17.【答案】证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
是的外角，
． 

【解析】根据全等三角形的判定定理证明．
根据旋转性质，结合三角形的外角定理计算．
本题考查旋转性质和等边三角形的判定，充分利用旋转性质是求解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，点即为所求，点的坐标．
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
作点关于轴的对应点，连接交轴于点，点即为所求．
本题考查作图平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
 

19.【答案】证明：，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分．

解：在中，，，，
，
，
，
． 

【解析】证明四边形是平行四边形即可．
利用勾股定理求出，即可解决问题．
本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：设每本中国共产党简史的价格是元，则每本论中国共产党历史的价格是元，
由题意得：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
此时，，
每本中国共产党简史的价格是元，每本论中国共产党历史的价格是元；
设购买论中国共产党历史本，则购买中国共产党简史的本数为本，
由题意，得，
解得：，
为正整数，
最多可购买论中国共产党历史本． 

【解析】设每本中国共产党简史的价格是元，则每本论中国共产党历史的价格是元，根据数量总价单价，结合学校用元购买中国共产党简史的数量是用元购买论中国共产党历史的数量的三倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买论中国共产党历史本，则购买中国共产党简史的本数为本，根据总费用不超过元，列出不等式求解即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】 

【解析】解：
；

令，则原式变为，
故；





，
为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个整数的平方．
把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
将原式转化为，进一步整理为，根据为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
 

22.【答案】解：四边形是垂美四边形．
证明：，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；

猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：，
，
由勾股定理得，，
，
；
故答案为：．

连接、，
，
，即，
在和中，，
≌，
，又，
，即，
四边形是垂美四边形，
由得，，
，，
，，，
，
． 

【解析】根据垂直平分线的判定定理证明即可；
根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合的结论计算．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：设直线解析式为，把，代入上式得：
，
解得，
故直线的解析式为；
证明：，
，，
，
在与中，
，
≌；
解：≌，
，
设，
又，
，
点在直线上，
把代入上式得，
，
解得，
，
，，
的面积；
故答案为：，；
解：，，，
存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，可得，
当为对角线时，可得
综上所述，满足条件的点的坐标为或或
利用待定系数法求出直线的解析式即可；
根据可证明≌；
设，则，代入直线的解析式可求出的值，则求出点坐标，由三角形面积公式可得出答案；
分两种情形：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．