2021-2022学年江西省上饶市广信区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年江西省上饶市广信区八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形

4. 一次函数的图象所经过的象限是(    )

A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 一、二、四

5. 北京今年月某日部分区县的高气温如表：则这个区县该日最高气温的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，下列结论：；；；其中一定成立的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. ______．
8. 若一直角三角形两直角边长分别为和，则斜边长为______．
9. 如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是______．

10. 如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为______．

11. 甲、乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这天日平均气温的方差大小关系为______填或．

12. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，是轴上一点．若将沿折叠，点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 计算：
    ；
    ．
14. 如图：在▱中，的平分线交于，若，求、的度数．

15. 如图，是的高，若，，．
    求证：；
    求的长．

16. 声音在空气中的传播速度随气温的变化而变化．如表给出了一组不同气温下声音传播的速度：

求与的关系式；
当的值为时，求对应的的值．

17. 如图四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图：
    在图中作一条线段，将▱的面积平均分成两份；
    在图中过点作一条直线，将▱的面积平均分成两份．
     

18. 某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如右表：单位：分

若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用？
根据实际需要，学校将教学、科研和组织能力三项测试得分按 ：： 的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？

19. 观察下列各式及其验证过程：
    验证：；
    验证：；
    验证：；
    验证：．
    按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
    针对上述各式反映的规律，写出用为任意自然数，且表示的等式，并给出证明．
20. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是连接、、设点、运动的时间为．
    当为何值时，四边形是矩形；
    当为何值时，四边形是菱形；
    分别求出中菱形的周长和面积．

21. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”中，，，，请你利用这个图形解决下列问题：
    试说明：；
    如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．

22. 在一条笔直的道路上依次有甲、乙、丙三地，小刚与小亮在这条道路上练习跑步，小刚从甲地匀速跑步到丙地，同时小亮从乙地匀速跑步到甲地，在甲地休息分钟后，以另一速度匀速跑步到丙地，小刚、小亮距甲地的路程米与小刚跑步的时间分之间的函数关系如图所示．
    的值为______，乙地与丙地相距______米．
    求小亮从甲地到丙地与之间的函数关系式．
    直接写出小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时的值．

23. 定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．
    特例感知：如图，四边形是“垂美四边形”，如果，，，则______，______．
    猜想论证：如图，如果四边形是“垂美四边形”，猜想它的两组对边，与，之间的数量关系并给予证明．
    拓展应用：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
以，，为边不能构成直角三角形，
故A符合题意；
B、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】
解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确；
B、四边形是平行四边形，设和交于点，，，，，
，四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是选项；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：一次函数，，，
该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：把个数按从小到的顺序排列得，，，，，，，，，，
在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
处于这组数据中间位置的数是、，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故选：．
先把个数按从小到的顺序排列，然后根据众数和中位数的定义求解．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的中点，
，
在▱中，，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
与不重合，
，故错误；
设，则，
，
，
，
，
，故正确，
故选：．
利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出≌，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出≌．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【解答】
解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长，
故答案为．  

9.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，．
是等边三角形，
．
，
，
，
．
故答案为：．
根据正方形的性质得到，根据等边三角形的性质得到求得，求得，于是得到结论．
本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，求出的度数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象与轴的交点是，
关于的不等式的解集为．
故答案是：．
利用一次函数的性质，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；
则乙地的日平均气温的方差小，
故．
故答案为：．
根据气温统计图可知：乙的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：直线与轴，轴分别交于点，．
，，
，
设，
如图，当点恰好落在轴负半轴上时，

将沿折叠，点恰好落在轴上，
，，
，
，
，解得，
；
如图，当点恰好落在轴正半轴上时，

将沿折叠，点恰好落在轴正半轴上，
，，
轴，
点与原点重合，
；
如图，当点恰好落在轴正半轴上时，

将沿折叠，点恰好落在在轴正半轴上，
，，
，，
，解得，
；
综上，点的坐标为或或．
分三种情况画出图形，根据折叠的性质即可求出的坐标．
本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
 

13.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简二次根式，再进行合并即可；
先利用完全平方公式化简，再进行合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
 

14.【答案】解：的平分线交于，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
． 

【解析】先利用角平分线的性质得，即，再利用平行四边形的性质得，，然后根据平行线的性质计算的度数．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

15.【答案】证明：，，，
，，
，
是直角三角形，
；
解：的面积，
，
，
，
的长为． 

【解析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
利用面积法，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及面积法是解题的关键．
 

16.【答案】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，气温每升高，声音的传播速度就增加，
所以，
答：与的关系式为；
当时，． 

【解析】根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案；
把代入计算即可．
本题考查函数关系式，发现表格中两个变量对应值的变化规律是正确解答的关键．
 

17.【答案】解：如图中，线段即为所求；
如图中，直线即为所求．
 

【解析】连接，交于点，过点作线段，点在线段上，点在线段上，线段即为所求；
连接，交于点，作直线即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：甲的平均成绩为分；
乙的平均成绩为分，
因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
所以甲被录用；

根据题意，甲的平均成绩为分，
乙的平均成绩为分，
因为甲的平均成绩低于乙的平均成绩，
所以乙被录用． 

【解析】根据算术平均数的定义列式计算可得；
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．
 

19.【答案】解：验证如下：
左边右边，
故猜想正确；

证明如下：
左边右边． 

【解析】通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；
根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去．
此题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质．观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
 

20.【答案】解：在矩形中，，，
，，
由已知可得，，，
在矩形中，，，
当时，四边形为矩形，
，得，
故当时，四边形为矩形；

，，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形
即时，四边形为菱形，解得，
故当时，四边形为菱形；

当时，，
则周长为；
面积为． 

【解析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
当四边形是矩形时，，据此求得的值；
当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
菱形的四条边相等，则菱形的周长，根据菱形的面积求出面积即可．
 

21.【答案】解：大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
即；
由图可知：
，，
，
． 

【解析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
根据完全平方公式的变形解答即可．
本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：小亮从乙地匀速跑步到甲地，在甲地休息分钟后，
，
乙地与丙地相距米，
故答案为：，；
设小亮从甲地到丙地与之间的函数关系式为，将，代入得：
，
解得，
小亮从甲地到丙地与之间的函数关系式为；
当小亮从乙地到甲地，在途中与小刚相遇时，，
解得；
当小亮从甲地出发，还未到乙地时，，
解得，
当小亮从甲地出发，追上小刚时，，
解得，
综上所述，小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时的值为或或．
由图象可得，乙地与丙地相距米；
设小亮从甲地到丙地与之间的函数关系式为，用待定系数法可得小亮从甲地到丙地与之间的函数关系式为；
分三种情况：当小亮从乙地到甲地，在途中与小刚相遇时，，当小亮从甲地出发，还未到乙地时，，当小亮从甲地出发，追上小刚时，，分别解方程即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
 

23.【答案】  

【解析】解：，，
，
四边形是“垂美四边形”，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：，；
，
理由如下：四边形是“垂美四边形”，
，
；
连接，，

正方形和正方形，
，，，
，
≌，
，
，
，
四边形是“垂美四边形”，
由知，，
，，
，
，，
，，
，
解得．
利用含角的直角三角形的性质得，，再利用勾股定理即可得出答案；
由“垂美四边形”得，再根据勾股定理得；
连接，，首先利用证明≌，得，说明，从而得出，进而解决问题．
本题是一道新定义题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，正方形的性质等知识，利用中结论是解决问题的关键．