初中数学第3章 圆的基本性质综合与测试达标测试

这是一份初中数学第3章 圆的基本性质综合与测试达标测试，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学九年级上册第三单元《圆的基本性质》
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为(    )
A. 0或3或4 B. 0或1或3 C. 0或1或3或4 D. 0或1或4
2. 如图，在平面直角坐标系中，A(0,3)、B(3,0)，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为(    )
A. 1
B. 322−1
C. 2
D. 22−1
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，∠B=30°，AC=23，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 3
4. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值为(    )
A. 5
B. 2+1
C. 22+1
D. 52+1


5. 如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF//AB，若AB=4，则DE的长为(    )
A. 1
B. 5−1
C. 3
D. 2


6. 已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为(    )
A. 25cm B. 25cm或45cm
C. 45cm D. 23cm或43cm
7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是边长为2的正方形，点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，点E为对角线的交点，在运动过程中点E到y轴的最大距离是(    )

A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
8. 如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=33，点E在AB上，AEEB=12，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为(    )


A. 27−2 B. 213−4 C. 4 D. 23
9. 给出下列4个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补.其中，真命题为(    )
A. ①②④ B. ①③④ C. ①④ D. ①②③④
10. 下列命题是真命题的个数是                (    )
①直径所对的圆周角等于90°. ②平分弦的直径垂直于弦.  ③两条平行弦所夹的弧相等.           ④在同圆或等圆中相等的弦所对的圆周角相等.  ⑤矩形的四个顶点都在同一个圆上．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
11. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(    )
A. 22 B. 32 C. 2 D. 3
12. 如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是(    )
A. π−3
B. 32π−3
C. 94π−3
D. 94π−32
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，点A、B的坐标分别为A(0,4)、B(4,0)，点C为坐标平面内一点，BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为______．

14. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________________________cm．


15. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA=PE；②CE=2PD；③BF−PD=12BD；④S△PEF=S△ADP
正确的是          (填写所有正确结论的序号)
16. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，将扇形OAB绕边OB的中点D顺时针旋转90°得到扇形O′A′B′，弧A′B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为______ ．




三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图1，在△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=24cm，点D和点E分别从点A、点B同时出发，在线段AB上以2cm/s做等速运动，分别到达点B、点A后停止运动．设运动时间为t秒．
(1)求证：△ADC≌△BEC；
(2)若AC=AE，求∠ADC的度数；
(3)当△ADC的外心在其外部时，请直接写出t的取值范围．
18. 综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明；
解决问题：
(3)如图①，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长．


19. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°.将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当CP与AB交于点M，CQ同时与AD交于点N.连接AC．
(1)求AC的长；
(2)求证：△ANC≌△BMC；
(3)求△AMN的周长的最小值．

20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM=ON．
(1)求证：AE//BC；
(2)如图，延长ON交AE于E点，若OE=7，ON=1，求⊙O的半径长．

21. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB=∠ACD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)求证：CD2=CG⋅CA；
(3)若⊙O的半径为52，BG的长为154，求tan∠CAB．

22. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=α，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ．

(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α
30∘
40∘
50∘
60∘
β
120∘
130∘
140∘
150∘
γ
150∘
140∘
130∘
120∘
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明;
(2)若γ=135∘，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
23. 如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
(1)求图1中∠APN的度数是______；图2中，∠APN的度数是______，图3中∠APN的度数是______．
(2)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系(直接写答案)______．

24. 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=52cm，求⊙O的半径R．

25. 如图1，已知A、B、C是⊙O上的三点，AB=AC，∠BAC=120°

(1)求证：⊙O的半径R=AB；
(2)如图2，若点D是∠BAC所对弧上的一动点，连接DA，DB，DC．
①探究DA，DB，DC三者之间的数量关系，并说明理由；
②若AB=3，点Cˈ与C关于AD对称，连接CˈD，点E是CˈD的中点，当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查确定圆的条件，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆：当四点共圆时，只能作一个圆;当三点在同一直线上时，可以作三个圆;当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．

故选C．
  
2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短，确定出OC最小时点C的位置是解题关键，也是本题的难点．确定点C的运动路径是：以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，先求⊙D的半径为1，说明D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=322，所以OC的最小值是322−1．
【解答】
解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，
当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆(CA：PA=1：2，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆)，当O、C、D共线时，OC的长最小，
设线段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA=3，OB=3，
∴AB=32，
∵⊙B的半径为2，
∴BP1=2，AP1=32+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1=322+1，AQ=32−2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2=C2Q=322−1，
C1C2=322−1−(322−1)=2，即⊙D的半径为1，
∵AD=322−1+1=322=12AB，
∴OD=12AB=322，
∴OC=322−1，
故选：B．  
3.【答案】D 
【解析】解：如图，在AB上取一点E，使AE=AC=23，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP(SAS)，
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=23，
∴AB=43，
∵AE=AC=23，
∴BE=AB−AE=23，
在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=23，
∴EF=12BE=3，
故线段CQ长度最小值是3，
故选：D．
在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ=AP，∠PAQ=60°，证明△CAQ≌△EAP(SAS)，由全等三角形的性质得出CQ=EP，当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．

4.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取AB的中点M，连接CM，EM，当CE=CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′=AC=2，由三角形的中位线的性质得到EM=12AC′=1，根据勾股定理得到AB=22，即可得到结论．
【解答】
解：如下图所示，取AB的中点M，连接CM，EM，

∴当CE=CM+EM时，CE的值最大，
∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，
∴AC′=AC=2，
∵E为BC′的中点，
∴EM=12AC′=1，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=22，
∴CM=12AB=2，
∴CE=CM+EM=2+1，
故选B．  
5.【答案】B 
【解析】解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF//AB，
∴CM⊥EF．

根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF//AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG=12AB=2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM=MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM=MF，
∴DE=GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD⋅DC=DE⋅DF，即DE×(DE+2)=4；
解得DE=5−1(负值舍去)．
故选：B．
设AC与EF交于点G，由于EF//AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG=2；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BD⋅DC=DE⋅DF，而BD、DC的长易知，DE=2+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长．
本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得DE、GF的数量关系是解答此题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：如图，连接AO．

∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=12AB=12×8=4(cm)，OD=OC=5cm．
∵C、D在弦AB的哪一侧位置不确定，
∴求弦AC的长需分如图两种情况．
当点C的位置如图①时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2−AM2=52−42=3(cm)．
∴CM=OC+OM=5+3=8(cm)．
∴AC=AM2+CM2=42+82=45(cm)．
当点C的位置如图②时，同理可得OM=3cm．
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2(cm)．
在Rt△AMC中，AC=AM2+MC2=42+22=25(cm)．


7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是确定点E的运动路径；设AB的中点为M，连接ME、MO、OE，过点E作EF⊥y轴于F，根据直角三角形斜边上中线的性质得出MO=MA=MB=ME，以点M为圆心，以MA的长为半径画圆，则A、O、B、E四点在以点M为圆心，以MA的长为半径的⊙M上，根据圆周角定理得出∠AOE=∠ABE=45°，点E在第一象限的角平分线上运动，根据EF⩽EA求出EF的最大值，即可求解．
【解答】
解：设AB的中点为M，连接ME、MO、OE，过点E作EF⊥y轴于F，如图：

∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=2，AE=BE，∠AEB=90°，∠ABE=45°，
根据勾股定理可得，AE2+BE2=AB2，即2AE2=22，
∴AE=2，BE=2，
∵AB是Rt△AOB和Rt△AEB的斜边，M是AB的中点，
∴OM=12AB=MA=MB，EM=12AB=MA=MB，
∴MO=MA=MB=ME，
以点M为圆心，以MA的长为半径画圆，则A、O、B、E四点在以点M为圆心，以MA的长为半径的⊙M上，
根据圆周角定理得出∠AOE=∠ABE=45°，
∴点E在第一象限的角平分线上运动，
∵EF⩽EA，AE=2，
∴EF的最大值为2，
∴在运动过程中点E到y轴的最大距离是2．
故选C．  
8.【答案】A 
【解析】解：如图，在BE是上方，作△OEB，使得OE=EB，∠EOB=120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．

∵∠BPE=12∠EOB，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，
∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=33，AE：EB=1：2，
∴BE=23，
∵OE=OB，∠EOB=120°，OQ⊥EB，
∴EQ=BQ=3，∠EOQ=∠BOQ=60°，
∴OQ=1，OE=2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A=∠AJO=∠AQO=90°，
∴四边形AQOJ是矩形，
∴AJ=OQ=1，
JO=AQ=23，
∵AD=5，
∴DJ=AD−AJ=4，
∴OD=JD2+OJ2=42+(23)2=27，
∴PD的最小值=OD−OP=27−2，
故选：A．
如图，在BE是上方，作△OEB，使得OE=EB，∠EOB=120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J.证明点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，推出当点P落在线段OD上时，DP的值最小，想办法求出OD，OP，可得结论．
本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
根据对顶角、平行线的性质、圆周角定理和圆内接四边形进行判断即可．
【解答】
解：对于 ①，对顶角相等，故 ①是真命题;
对于 ②，两直线平行，同位角相等，故 ②是假命题;
对于 ③，在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，故 ③是假命题;
对于 ④，圆的内接四边形对角互补，故 ④是真命题．  
10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【解答】
解：①直径所对的圆周角等于90°，是真命题；
②平分弦的直径垂直于弦，是假命题；
③两条平行弦所夹的弧相等，是真命题；
④在同圆或等圆中相等的弦所对的圆周角相等，是假命题；
⑤矩形的四个顶点都在同一个圆上，是真命题；
故选B．  
11.【答案】A 
【解析】解：如图1，

∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，

∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=2；
如图3，

∵OA=2，
∴OD=2×cos30°=3，
则该三角形的三边分别为：1，2，3，
∵(1)2+(2)2=(3)2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：12×1×2=22．
故选：A．
由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．

12.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了正多边形与圆的关系，阴影部分的面积，解答本题的关键是掌握利用“割补法”求阴影部分面积的思路与方法；连接OA、OB、ON、OM，ON交AB于G，OM交BC于H，过点A作AP⊥OB于P，然后观察图形，利用“割补法”求出阴影部分的面积即可．
【解答】
解：连接OA、OB、ON、OM，ON交AB于G，OM交BC于H，过点A作AP⊥OB于P，如图：

则△OBM≌△OAN，△OAG≌△OBH，
∴S△OBM=S△OAN，S△OAG=S△OBH，
∴S△OBM−S△OBH=S△OAN−S△OAG，
∴S△MBH=S△NAG，
在△OAB中，OA=AB=OB=2，BP=OP=1，∠APO=90°，
∴AP=AO2−PO2=22−12=3，
∴S△AOB=12OB·AP=12×2×3=3，
∴S阴影=S扇形MON−S四边形OGBH
=S扇形MON−S△AOB
=60π×32360−3
=32π−3．
故选：B．  
13.【答案】22+1 
【解析】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD=OA=4，连接CD，

∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=4，∠BOD=90°，
∴BD=42，
∴CD=42+2，
∴OM=12CD=22+1，即OM的最大值为22+1，
故答案为：22+1．
根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．

14.【答案】23 
【解析】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA=2OD=2cm，
∴AD=OA2−OD2=22−12=3cm，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=23cm．
故答案为：23．
通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．

15.【答案】①②③ 
【解析】
【分析】
此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
①连接AE，利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论；
②如图3，作辅助线，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论；
③证明四边形OCGF是矩形，可作判断；
④证明△AOP≌△PFE(AAS)，则S△AOP=S△PEF，可作判断．
【解答】
解：连接AE，∵∠ABE=∠APE=90°，

∴A、B、E、P四点共圆，
∴∠EAP=∠PBE=45°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，
故①正确；
②如图3，在EF取一点G，使得FG=FP，连接BG、PG、CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BP，
∴∠FBE=∠FEB=45°，
∴BF=EF，
在△BFG和△EFP中，
∵BF=EF∠BFG=∠EFPFG=FP，
∴△BFG≌△EFP(SAS)，
∴BG=PE，
∵∠ABD=∠FPG=45°，
∴AB//PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°，
∴∠APF=∠PEF=∠GBF，
∴AP//BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，

∵AB=CD，AB//CD，
∴PG//CD，PG=CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG=PD，CG//PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，
∵∠CEG=45°，
∴CE=2CG=2PD；
故②正确；
③连接AC交BP于O，如图4，由②知：∠CGF=∠GFO=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠COF=90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴CG=OF=PD，
∴12BD=OB=BF−OF=BF−PD，
故③正确；

④在△AOP和△PFE中，
∵∠AOP=∠EFP=90°∠APF=∠PEFAP=PE，
∴△AOP≌△PFE(AAS)，
∴S△AOP=S△PEF，
∴S△ADP