高考数学二轮专题训练2.63课时突破函数与导数高考小题第3课时导数的简单应用课件

这是一份高考数学二轮专题训练2.63课时突破函数与导数高考小题第3课时导数的简单应用课件，共60页。PPT课件主要包含了关键能力·应用实践，考场思维，题组训练·素养提升，专题能力提升练等内容，欢迎下载使用。
考向一　导数的几何意义及其应用【多维题组】速通关1.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.
【加练备选】　　　(2020·湖南二模)已知M(1,0),N是曲线y=ex上一点,则 的最小值为(　　)A.1B. C.eD.
【解析】选B.y=ex的导数为y′=ex.设N .可得过N的切线的斜率为em,当MN垂直于切线时, 取得最小值,可得 ,则e2m+m=1.因为f(x)=e2x+x单调递增,且f(0)=1,所以m=0.所以 的最小值为 .
2.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)
【解析】选A.由题意,得:y′=(e-2x+1)′=e-2x(-2x)′=-2e-2x, 则在点(0,2)处的切线斜率为k=-2e0=-2,所以切线方程为y=-2x+2.联立 得C .所以所求三角形的面积为S△OBC= .
3.设曲线f(x)=ex+2x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=-ax+sin x上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为(　　)
【解析】选D.f(x)=ex+2x的导数为f′(x)=ex+2,设(x1,y1)为f(x)上的任意一点,则过(x1,y1)处的切线l1的斜率为k1= +2,g(x)=-ax+sin x的导数为g′(x)=cs x-a,过g(x)图象上一点(x2,y2)处的切线l2的斜率为k2=-a+cs x2.由l1⊥l2,可得( +2)·(-a+cs x2)=-1,即-a+cs x2=
y=-a+cs x2的值域为A=[-a-1,-a+1], 的值域为B= 任意的x1∈R,总存在x2∈R使等式成立,所以B⊆A,即 ⊆[-a-1,-a+1],
【技法点拨】提素养　与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略(1)已知切点求切线方程.解决此类问题的步骤为:①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;②由点斜式求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).(2)已知斜率求切点:已知斜率k,求切点(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)求切线倾斜角的取值范围:先求导数的取值范围,即确定切线斜率的取值范围,然后利用正切函数的单调性解决.
(4)根据切线的性质求倾斜角或参数值:已知曲线上一点P(x0,y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直),确定该切线的斜率k,再求出函数的导函数,然后利用导数的几何意义得到k=f′(x0)=tan α,其中倾斜角α∈[0,π),根据范围进一步求得角α或有关参数的值.
考向二　导数的运算【多维题组】速通关1.已知函数 若f′ =2 021,则x0=(　　)A.e2B.1C.ln 2D.e【解析】选D.由函数 则f′(x)=2 019+ln x+x· =2 020+ln x,又f′ =2 021,则ln x0=1,即x0=e.
2.等比数列 中,a1=1,a12=8,函数f(x)= 则f′(0)=(　　)A.212B.215C.218D.221【解析】选C.令g(x)=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a12),则f(x)=xg(x),所以f′(x)=g(x)+xg′(x),所以f′(0)=g(0)=a1a2·…·a11a12= =86= =218.
3.设函数f(x)=f′ x2-2x+f(1)ln x,曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程是(　　)A.5x-y-4=0B.3x-y-2=0C.x-y=0D.x=1
【解析】选A.因为f(x)=f′ x2-2x+f(1)ln x,所以f′(x)=2f′ x-2+ .令x= 得f′ =2f′ × -2+2f(1),即f(1)=1.又f(1)=f′ -2,所以f′ =3,所以f′(1)=2f′ -2+f(1)=6-2+1=5.所以曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=5(x-1),即5x-y-4=0.
【加练备选】　　　已知函数f(x)=x2ln x+1-f′(1)x,则函数f(x)的图象在点 处的切线斜率为(　　)
【解析】选A.因为f(x)=x2ln x+1-f′(1)x,所以f′(x)=2xln x+x-f′(1),所以f′(1)=1-f′(1),解得f′(1)= ,因此,函数y=f(x)的图象在点 处的切线斜率为 .
4.(2020·广东一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x),记f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N*).若f(x)=xsin x,则f2 019(x)+f2 021(x)=(　　)A.-2cs xB.-2sin xC.2cs xD.2sin x
【解析】选D.由题意可知:f(x)=xsin x,所以f1(x)=sin x+xcs x,f2(x)=2cs x-xsin x,f3(x)=-3sin x-xcs x,f4(x)=-4cs x+xsin x,f5(x)=5sin x+xcs x,…,所以猜想可知:f4k-3(x)= sin x+xcs x,f4k-2(x)= cs x-xsin x,f4k-1(x)=- sin x-xcs x,f4k(x)=-4kcs x+xsin x.
由2 019=4×505-1,2 021=4×506-3,所以f2 019(x)=-2 019sin x-xcs x,f2 021(x)=2 021sin x+xcs x,所以f2 019(x)+f2 021(x)=2sin x.
【技法点拨】提素养　导数运算的原则和方法(1)原则:先化简解析式,再求导.(2)方法:①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;⑥复合函数:由外向内,层层求导.
考向三　导数的简单应用(重难突破)【多维题组】速通关1.已知f(x)=aln x+ x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有 >2恒成立,则a的取值范围是(　　)
【解析】选D.根据 >2可知令g(x)=f(x)-2x=aln x+ x2-2x(a>0)为定义域上的增函数,所以g′(x)= +x-2≥0 恒成立,分离参数得a≥x ,而当x>0时,x 最大值为1,故a≥1.
2.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　)A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
【解析】选A.由题可得f′(x) 因为f′(-2)=0,所以a=-1,故令f′(x)>0,解得x1,所以f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,所以f(x)的极小值为 e1-1=-1.
3.(2020·辽宁二模)已知函数 ,若存在实数s,t满足0≤s2 020ex-1(其中e为自然对数的底数)的解集为(　　)
【解析】选C.令g(x)= ,因为f′(x)-f(x)>1,f(0)=2 019,则g′(x)= >0,故g(x)在R上单调递增,且g(0)=2 020,由f(x)+1>2 020ex,可得 >2 020,即g(x)>g(0),所以x>0,故选C.
5.(2020·潍坊三模)已知函数f(x)的导函数f′(x)=则下列结论正确的是(　　)A.f(x)在x=0处有极大值B.f(x)在x=2处有极小值C.f(x)在 上单调递减D.f(x)至少有3个零点
【解析】选C.由函数f(x)的导函数f′(x)=x4 可知,当x∈ 时,f′(x)≥0,f(x)的单调递增区间为 和 ;当x∈ 时,f′(x)≤0,f(x)的单调递减区间为 ,故AB错误,C正确.又f(1),f(3)的符号无法确定,故无法确定f(x)的零点个数,故D错误.
【技法点拨】提素养　求函数f(x)极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程f′(x)=0,再判断f′(x)=0的根是否是极值点,可通过列表的形式进行分析,若遇极值点含参数不能比较大小时,则需分类讨论.
【变式训练】1.定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3的解集为(　　)A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(3,+∞)
【解析】选A.由exf(x)>ex+3变形得,ex[f(x)-1]-3>0,设g(x)=ex[f(x)-1]-3,所以原不等式等价于g(x)>g(0),因为g′(x)=ex[f(x)-1]+ex·f′(x)=ex[f(x)+f′(x)-1]>0,所以g(x)在定义域R上递增,由g(x)>g(0),得x>0.
2.若函数f(x)= x2-2x+aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是(　　)A.a>1B.-11或x0(f′(x)是f(x)的导函数),则不等式(x-1)f(x2-1)0,则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,所以,函数y=g(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,在不等式(x-1)f(x2-1)x2.由h′(x)= 可得: ,即x3= < ,所以x1>x2>x3.
8.(2020·青海一模)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(　　)A.(2,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)
【解析】选C.当a=0时,f(x)=-3x2+1,函数f(x)有两个零点 和- ,不满足题意,舍去;当a>0时,f′(x)=3ax2-6x,令f′(x)=0,得x=0或x= .x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈ 时,f′(x)0,且f(0)>0,
此时在x∈(-∞,0)必有零点,故不满足题意,舍去;当a0,只需f( )>0,即a2>4,则a0,且∀x1,x2∈R(x1≠x2),f(x1)+f(x2)< ,则下列各项中正确的是(　　)A.f(2)