高考数学二轮专题训练2.52课时突破解析几何高考小题第2课时圆锥曲线的方程与性质课件

这是一份高考数学二轮专题训练2.52课时突破解析几何高考小题第2课时圆锥曲线的方程与性质课件，共60页。PPT课件主要包含了关键能力·应用实践，技法点拨提素养，考场思维，题组训练·素养提升，专题能力提升练等内容，欢迎下载使用。
考向一　圆锥曲线的定义及标准方程【多维题组】速通关1.(2020·泉州二模)已知椭圆E: +y2=1与抛物线C:y2=ax(a>0)有公共焦点F,给出A(5,3)及C上任意一点P,当|PA|+|PF|最小时,P到原点O的距离|PO|=(　　)A. B.4C. D.3
【解析】选A.椭圆E: +y2=1的右焦点为(1,0),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为 ,由题意可得抛物线C的方程为y2=4x,由抛物线的定义可得:|PA|+|PF|=|PA|+|PP1|≥|AP1|,当且仅当A,P,P1三点共线时,|PA|+|PF|最小,此时P的坐标 ,此时|OP|= .
2.(2020·全国Ⅰ卷)设F1,F2是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)A. B.3C. D.2
【解析】选B.由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),则a=1,c=2,因为|OP|=2= |F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又||PF1|-|PF2||=2a=2,所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,所以 |PF1||PF2|=3.
3.已知方程 =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　　)A.(-1,3)B.(-1, )C.(0,3)D.(0, )
【解析】选A.若双曲线的焦点在x轴上,则 又因为(m2+n)+(3m2-n)=4,所以m2=1,所以 所以-10)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)A. =1　　　　　B. =1C. =1D. =1
【解析】选C.因为双曲线的离心率为2,所以 =2,c=2a,b= a,不妨令A(2a,3a),B(2a,-3a),双曲线其中一条渐近线方程为y= x,所以d1= ,d2= ;依题意得: =6,解得:a= ,b=3,所以双曲线方程为: =1.
【变式拓展】　本例中若|AB|=6 ,试求双曲线的方程.【解析】由题意c=2a, =6 ,解得a= ,b=3.故双曲线的方程为 =1.
4.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　)A.2B.3C.6D.9【解析】选C.设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=xA+ =12,即12=9+ ,解得p=6.
【技法点拨】提素养1.关于圆锥曲线定义的应用对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离,一般要利用定义进行转化.对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化.2.关于圆锥曲线方程的求法
考向二　圆锥曲线的几何性质【多维题组】速通关1.(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C: =1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(　　)A.2sin 40°B.2cs 40° C. D.
【解析】选D.由已知可得- =tan 130°,所以 =tan 50°,所以e= ,故选D.
2.已知F1,F2为椭圆C: =1(m>0)的两个焦点,若C上存在点M满足MF1⊥MF2,则实数m的取值范围是(　　)A. 　B.[2,+∞)C. ∪(2,+∞)D. ∪(1,2]
【解析】选C.分椭圆的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.①若焦点在x轴上,即m>1,当M为短轴的端点时,∠F1MF2取最大值,要使MF1⊥MF2,则∠F1MF2≥90°,即∠F1MO≥45°,所以tan∠F1MO= ≥tan 45°=1,解得m≥2,②若焦点在y轴上,即00)的左、右焦点,过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P,Q,若 ,M为PQ的中点,且 ,则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D.2
【解析】选B.设|PF2|=m,|PF1|=n,因为 ,且M为PQ的中点,所以M为QF1的三等分点,|QF1|=3|PF1|=3n,因为M为PQ的中点,且 ,所以△F2PQ为等腰三角形,|QF2|=|PF2|=m,由双曲线的定义可知, ,即 ,解得 .
在Rt△MPF2中,|MF2|2=|PF2|2-|PM|2=m2-n2,在Rt△MF1F2中,|MF2|2=|F1F2|2-|MF1|2=(2c)2-(2n)2=4c2-4n2,所以m2-n2=4c2-4n2,即16a2+3×4a2=4c2,所以 =7,所以离心率e= = .
【技法点拨】提素养1.圆锥曲线及圆之间的综合问题解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时,关键是抓住两种曲线之间的联系,再结合其自身的几何性质解题.2.圆锥曲线与其他知识点之间的交汇问题圆锥曲线与向量、三角函数、基本不等式等交汇,综合考查圆锥曲线的几何性质的应用,一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件,再利用其他的知识点解题,或者是其他的知识点转化为条件,再利用圆锥曲线的几何性质解题.
【变式训练】1.已知双曲线 =1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(- ,2),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上,则双曲线的方程为(　　)
【解析】选C.由题意双曲线的渐近线方程为y=± ,双曲线 =1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(- ,2),可得 = ,因为抛物线y2=4 x的准线方程为x=- ,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上,所以c= ,所以a2+b2=c2=7,所以a= ,b=2,所以双曲线的方程为 =1.
2.已知抛物线C:y= x2的焦点是F,点M是其准线l上一点,线段MF交抛物线C于点N.当 时,△NOF的面积是________. 
【解析】由题意抛物线的标准方程为:x2=8y,所以焦点F(0,2),准线方程为y=-2,设NN′垂直于准线且交准线于N′,由抛物线的性质可得|NN′|=|NF|,因为 ,可得N在M,F之间,所以|MN|=2|NF|=2|NN′|,所以sin ∠FMN′= = ,所以tan∠FMN′= ,即直线MF的斜率为 ,所以直线MF的方程为y= x+2,
将直线MF的方程代入抛物线的方程可得:x2- x-16=0,解得x=- 或x=4 (舍),所以 = |OF|·|xN|= ×2× = .答案:
【加练备选】　　　已知点F是抛物线y2=16x的焦点,直线l经过点F与抛物线交于A,D两点,与圆(x-4)2+y2=16交于B,C两点(如图所示),则|AB|·|CD|=________. 
【解析】根据题意,设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线方程为y2=16x的焦点为F(4,0),圆M:(x-4)2+y2=16的圆心为(4,0),圆心与焦点重合,|AB|=|AF|-|BF|=|AF|-4=x1,|CD|=|DF|-|CF|=|DF|-4=x2,所以|AB|·|CD|=x1·x2,由题意可知直线l的斜率不为0,所以设直线方程为:x=ty+4,与抛物线方程联立可得:y2-16ty-64=0,即y1y2=-64,x1x2= =16,所以|AB|·|CD|=16.答案:16
【新题速递】1.已知椭圆C: =1的离心率与双曲线C′: =1(b>0)的离心率互为倒数关系,则b=(　　)A.2 B.2 C.4D.6
【解析】选B.椭圆C: =1的离心率与双曲线C′: =1(b>0)的离心率互为倒数关系,椭圆C: =1的离心率为 ;所以双曲线C′: =1(b>0)的离心率: =2,解得b=2 .
2.(2020·东城区二模)双曲线C: =1的渐近线与直线x=1交于A,B两点,且|AB|=4,那么双曲线C的离心率为(　　)A. B. C.2 D.
【解析】选D.由双曲线的方程可得a=1,且渐近线的方程为:y=±bx,与x=1联立可得y=±b,所以|AB|=|2b|,由题意可得4=2|b|,解得|b|=2,c2=a2+b2,所以双曲线的离心率e = .
3.(2020·汕头二模)已知椭圆 =1(a>0,b>0)的离心率为 ,直线y=kx与该椭圆交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于(　　)A.± B.± C.± D.±2
【解析】选A.由题可知,不妨设A,B两点的坐标分别为(-c,-kc),(c,kc),因为A,B均在椭圆上,所以 =1,又椭圆的离心率为 ,所以 = ,所以 = ,所以 + =1,解得k=± .
4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)斜率为 的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=______. 【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以由题意知直线AB的方程为y= (x-1),与y2=4x联立得3(x-1)2=4x,即3x2-10x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= ,所以|AB|=x1+x2+2= .答案:
【创新迁移】1.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C: (a>0)的离心率为 ,则椭圆C的蒙日圆方程为(　　)A.x2+y2=9B.x2+y2=7C.x2+y2=5D.x2+y2=4
【解析】选B.因为椭圆的离心率为 ,所以 ,解得a=3.因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,所以找两个特殊点,分别为( ,0),(0, ),所以对应的两条切线分别是x= ,y= ,这两条直线的交点为P( , ),因为点P在蒙日圆上,所以( )2+( )2=r2=7,所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=7.
2.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”);在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,设图中球O1,球O2的半径分别为1和3,球心距离|O1O2|=8,截面分别与球O1,球O2切于点F,E,(E,F是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于________. 
【解析】如图,圆锥面与其内切球O1,O2分别相切于点B,A,连接O1B,O2A,则O1B⊥AB,O2A⊥AB,过O1作O1D⊥O2A垂足为点D,连接O1F,O2E,EF交O1O2于点C,设圆锥母线与轴的夹角为α,截面与轴的夹角为β,则在Rt△O1O2D中,DO2=3-1=2,O1D= =2 ,所以cs α= ,因为O1O2=8,所以CO2=8-O1C,
由题意得△EO2C∽△FO1C,所以 ,解得O1C=2,所以CF= ,即cs β= , 则椭圆的离心率e= .答案:
十六　圆锥曲线的方程与性质(35分钟　70分)一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.已知椭圆C的焦点在y轴上,焦距等于4,离心率为 ,则椭圆C的标准方程是(　　)A. B. C. D. 【解析】选C.由题意可得2c=4,故c=2,又e= = ,解得a=2 ,故b= =2,因为焦点在y轴上,故椭圆C的标准方程是 .
2.抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,点P在l上,线段PF与抛物线C交于点A,若 ,点A到y轴的距离为1,则抛物线C的方程为(　　)A.x2=4 yB.x2=3 yC.x2=2 yD.x2= y
【解析】选C.由题可知,点F ,P ,因为点A到y轴的距离为1,且A在抛物线上,所以点A ,因为 ,所以 ,解得p= 或- (舍负).所以抛物线的方程为x2=2 y.
3.(2018·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(　　)A.1- B.2- C. D. -1【解析】选D.在直角三角形PF1F2中,|F1F2|=2c,∠PF2F1=60°,所以|PF1|= c,|PF2|=c,又|PF1|+|PF2|=2a,所以 c+c=2a,解得e= .
【加练备选】已知椭圆C: =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C交于A,B两点,其中A为椭圆与y轴正半轴的交点,若|AF1|=2|F1B|,则C的离心率为(　　)A. B. C. D.
【解析】选D.椭圆C: =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C交于A,B两点,其中A为椭圆与y轴正半轴的交点,可知A(0,b),F1(-c,0).若|AF1|=2|F1B|,则B ,代入椭圆方程可得: =1,e∈(0,1).解得e= = .
4.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C: =1(a＞0,b＞0 的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)A.4B.8C.16D.32
【解析】选B. 双曲线C: =1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=± x,将x=a与双曲线渐近线方程联立,令D和E坐标分别为D(a,b),E(a,-b),所以△ODE的面积为ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2 时,等号成立,所以c≥4,则焦距2c的最小值为8.
5.(2020·南昌二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(xA,yA)是抛物线上一点,过A作抛物线准线的垂线,垂足为B,若|AF|= |BF|,则|yA|=(　　)A.3B.3 C.4 D.4
【解析】选D.抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),A(xA,yA)是抛物线上一点,过A作抛物线准线的垂线,垂足为B(-1,yA),若|AF|= |BF|,可得xA+1= · ,可得 +2xA+1= (4+ )=9(1+xA),所以 -7xA-8=0,解得xA=-1(舍去),xA=8,此时 =32,所以|yA|=4 .
6.(2018·全国卷Ⅲ)设F1,F2是双曲线C: =1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若 ,则C的离心率为(　　)A. B.2C. D.
【解析】选C.方法一:设渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,由 可得P ,由F1(-c,0)及|PF1|= |OP|,得 ,化简可得3a2=c2,即e= .
方法二:因为|PF2|=b,|OF2|=c,所以|PO|=a,在Rt△POF2中,设∠PF2O=θ,则有cs θ= = ;因为在△PF1F2中,cs θ= = ,所以 = ⇒b2+4c2-6a2=4b2⇒4c2-6a2=3c2-3a2⇒c2=3a2⇒e= .
【加练备选】已知点F是双曲线C: =1(a>0,b>0)的左焦点,点P是该双曲线渐近线上一点,若△POF是等边三角形(其中O为坐标原点),则双曲线C的离心率为(　　)A. B.2C.3D. 【解析】选B.设点P是该双曲线渐近线y= x上一点,且△POF是等边三角形,可得tan∠POF= =tan 60°= ,可得双曲线的离心率e= =2.
7.(2020·上饶三模)已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作斜率为 的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若|AF2|=|BF2|,则双曲线的离心率为(　　) A.2B. C. D.
【解析】选D.如图,取AB中点M,连接F2M, 因为|AF2|=|BF2|,所以F2M⊥AB,设|AF2|=|BF2|=x,因为|AF2|-|AF1|=2a,所以|AF1|=x-2a,又|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF1|=x+2a,所以|AB|=|BF1|-|AF1|=4a,所以|AM|=|BM|=2a,所以|F1M|=|BF1|-|BM|=x,由勾股定理,知|F2M|= ,即|F2M|= ,
解得x2=2a2+2c2,所以|F2M|= ,所以tan ∠MF1F2= ,即 ,化简得c2=3a2,所以离心率e= = .
8.已知椭圆C的右焦点为F(1,0),点A在椭圆C上,且AF与x轴垂直,点B与点A关于原点O对称,直线BF与椭圆C的另一个交点为P,若PA⊥AB,则C的方程为(　　)A. +y2=1B. + =1C. + =1D. + =1
【解析】选A.设椭圆方程为 =1(a>b>0),A(x1,y1),P(x0,y0),则由题意可得B(-x1,-y1),可得 ,所以可得 ,所以kPB·kPA= ,由题意且AF与x轴垂直,可得A ,B ,
所以kPB=kBF= ,所以kPA=- ,因为kAB=kOA= ,又因为PA⊥AB,所以kPA·kAB=-1,所以- · =-1,所以a2=2b2,而c=1,所以a2=b2+c2=2,b2=1,所以椭圆的方程为: +y2=1.
【加练备选】已知椭圆 =1(a>b>0)左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上一点P满足PF2⊥x轴,且PF1与圆x2+y2= 相切,则该椭圆的离心率为(　　)A. B. C. D.
【解析】选A.设PF1与圆x2+y2= 相切于点Q,则|OQ|= ,|F1Q|= c,△OF1Q∽△PF1F2,所以 ,即 ,所以PF1= ,PF2= ,由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2a,所以 + =2a,所以椭圆的离心率e= = .
二、多项选择题(共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知曲线C:mx2+ny2=1(　　)A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为 C.若mn0,则C是两条直线
【解析】选ACD. 因为m>n>0,则 > >0,所以 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,故A项正确;当m=n>0时,x2+y2= 表示半径为 的圆,故B项错误;当mn0时,由y2= ,得y=± ,所以曲线表示两条直线,故D项正确.
10.如图所示,抛物线y= x2,AB为过焦点F的弦,过A,B分别作抛物线的切线,两切线交于点M,设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),则以下结论正确的是(　　) A.若AB的斜率为1,则|AB|=4B.|AB|min=2C.yM=-1D.xA·xB=-4
【解析】选CD.由题意得,焦点F(0,1),对于A,lAB的方程为y=x+1,与抛物线的方程联立,得 消去x,得y2-6y+1=0,所以yA+yB=6,则|AB|=yA+yB+p=8,则A错误;对于B,|AB|min=2p=4,则B错误;因为y′= ,则lAM:y-yA= (x-xA),即y= xAx- ,lBM:y-yB= (x-xB),即y= xBx- ,
联立lAM与lBM的方程得 解得M .设lAB的方程为y=kx+1,与抛物线的方程联立,得 消去y,得x2-4kx-4=0,所以xA+xB=4k,xA·xB=-4,所以yM=-1,C和D均正确.
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11.F2是椭圆 =1的右焦点,P是椭圆上的动点,A(1, )为定点,则|PA|+|PF1|的最小值为________. 
【解析】由题可知,a2=16,b2=12,c2=a2-b2=16-12=4,即c=2,所以椭圆右焦点F2的坐标为(2,0),由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PA|+|PF1|=|PA|+8-|PF2|,由图形知,
当P在直线AF2上时,||PA|-|PF2||=|AF2|= =2,当P不在直线AF2上时,根据三角形的两边之差小于第三边有,||PA|-|PF2||0,b>0)的右焦点为F.若以F为圆心,a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A,B两点,且AB=2b,则该双曲线的离心率为________.【解析】由题可知,双曲线的渐近线方程为y=± x,不妨设与圆F相交的渐近线是y= x,因为AB=2b,所以点F到直线y= x的距离为 ,化简得a4-b4=b2c2,因为b2=c2-a2,所以a4-(c2-a2)2=(c2-a2)c2,整理得3a2=2c2.所以离心率e= = .答案:
【加练备选】(2020·太原二模)已知双曲线 =1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A,B,点P是双曲线上一点,若△PAB为等腰三角形,∠PAB=120°,则双曲线的离心率为________. 
【解析】设P(m,n)在第二象限,由△PAB为等腰三角形,∠PAB=120°,可得|PA|=|AB|=2a,可得m=2acs 120°-a=-2a,n=2asin 60°= a,即P(-2a, a),由P在双曲线上,可得 =1,即有 =1,即a=b,可得e= .答案:
13.已知双曲线C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,两条渐近线的夹角为60°,则渐近线方程为________,过点F1作x轴的垂线,交双曲线的左支于M,N两点,若△MNF2的面积为4 ,则该双曲线的方程为________. 
【解析】因为双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,a>b>0,所以 = ①,则渐近线方程为y=± x.易知F1(-c,0),所以直线MN的方程为x=-c,代入双曲线的方程得y=± ,所以△MNF2的面积S= |F1F2|·|MN|= ×2c× = =4 ②.又a2+b2=c2③,所以由①②③得a=3,b= ,c=2 ,故该双曲线的方程为 =1.答案:y=± x　 =1
【加练备选】(2020·深圳二模)已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),P为C上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF1F2= ,则C的方程为________. 
【解析】因为F1(-5,0),F2(5,0),所以c=5,|F1F2|=10,因为PF1⊥PF2,tan∠PF1F2= ,所以cs ∠PF1F2= = ,所以|PF1|=8,|PF2|=6,由双曲线的定义可知,|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1,所以b2=c2-a2=25-1=24.所以双曲线的方程为x2- =1.答案:x2- =1
14.(2020·广州二模)过抛物线y2=4x焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,且|AB|=4,若原点O是△ABC的垂心,则点C的坐标为________. 
【解析】显然直线AB的斜率不为0,由题意设直线AB的方程为:x=my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线AB与抛物线的方程 ,整理可得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,所以x1+x2=4m2+2,由抛物线的性质可得|AB|=x1+x2+2=4m2+4,由题意可得4m2+4=4,所以m=0,即直线AB垂直于x轴,所以可得A(1,2),B(1,-2),
因为原点O是△ABC的垂心,所以C在x轴上,设C(a,0),可得AO⊥BC,即 · =0,即(-1,-2)·(a-1,2)=0,整理可得:1-a-4=0,解得a=-3,所以C的坐标为:(-3,0).答案:(-3,0)