高考数学二轮专题训练2.53课时突破解析几何解答题第2课时圆锥曲线中的定点定值问题课件

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考向一　圆锥曲线中的定点问题【典例】已知椭圆C: =1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.
【解析】(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由 知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此 解得 故C的方程为 +y2=1.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t, 由题设知t≠0,且|t|0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则 而k1+k2=
由题设知k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)· +(m-1)· =0.解得k=- .代入Δ得当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=- x+m,即y+1=- (x-2),所以l过定点(2,-1).
【素养提升】　直线过定点问题的常见解法(1)用参数表示出直线的方程,根据直线方程的特征确定定点的位置.(2)从特殊点入手,先确定定点,再证明该定点符合题目条件.提醒:求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键.
【变式训练】　已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A(1,2)为抛物线C上一点.(1)求抛物线C的方程;(2)若点B(1,-2)在抛物线C上,过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ,且kBP·kBQ=-2,求证:直线PQ过定点.
【解析】(1)若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=ax,代入点A(1,2),可得a=4,所以抛物线方程为y2=4x.若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=my,代入点A(1,2),可得m= ,所以抛物线方程为x2= y.综上所述,抛物线C的方程是y2=4x或x2= y.
(2)因为点B(1,-2)在抛物线C上,所以由(1)可得抛物线C的方程是y2=4x.易知直线BP,BQ的斜率均存在,设直线BP的方程为y+2=k(x-1),将直线BP的方程代入y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4k+4)x+(k+2)2=0.设P(x1,y1),则x1= 所以P
用- 替换点P坐标中的k,可得Q((k-1)2,2-2k),从而直线PQ的斜率为 故直线PQ的方程是y-2+2k= ·[x-(k-1)2],在上述方程中,令x=3,解得y=2,所以直线PQ恒过定点(3,2).
【加练备选】　　　已知曲线C上的任意一点M到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离少1,动点P在直线s:y=-1上,过点P作曲线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求曲线C的方程;(2)判断直线AB是否能恒过定点?若能,求定点坐标;若不能,说明理由.
【解析】(1)由已知得动点M到点F(0,1)的距离与到直线s:y=-1的距离相等,由抛物线的定义可知,曲线C为抛物线,焦点F(0,1),准线s:y=-1.所以曲线C的方程为x2=4y;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(t,-1),由x2=4y,即y= x2,得y′= x.所以抛物线C在点A处的切线方程为y-y1= (x-x1),
因为y1= ,所以y= x-y1,又点P(t,-1)在切线PA上,所以-1= t-y1,①同理-1= t-y2,②综合①②得,A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足-1= t-y.所以直线AB:y= x+1,所以直线AB恒过抛物线的焦点F(0,1).
考向二　圆锥曲线中的定值问题(规范解答)【典例】(2020·上饶一模)已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,其右顶点为A,下顶点为B,定点C(0,2),△ABC的面积为3,过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,直线BP,BQ分别与x轴交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)试探究M,N的横坐标的乘积是否为定值,说明理由.
【思维流程图】(1)离心率、面积→椭圆的方程;(2)设直线方程、点P,Q的坐标→表示出点M,N的横坐标及乘积→直线与椭圆方程联立,根与系数关系代入横坐标乘积式中→化简运算得定值.
【规范解答】(1)由题意可知:点A(a,0),B(0,-b),因为△ABC的面积为3,所以 ×(2+b)×a=3,……………………………………………………1分又因为e= ,所以a=2b,所以 ×(2+b)×2b=3,……………………………………………………2分解得b=1,所以a=2,…………………………………………………………3分所以椭圆C的方程为 +y2=1;…………………………………………4分
(2)由题意可知,直线PQ的斜率存在,故设直线PQ的方程为y=kx+2,点P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线BP的方程为y= x-1,令y=0,得点M的横坐标xM= ,……………………………………………………5分直线BQ的方程为y= x-1,令y=0,得点N的横坐标xN= ,……………………………………………………6分所以xM·xN= …………7分把直线y=kx+2代入椭圆 +y2=1,
得:(1+4k2)x2+16kx+12=0,……………………………………………………8分所以x1+x2=- ,x1x2= ,…………………………………………9分所以xM·xN= …………………………………………10分 ………………………………………………………………12分故M,N的横坐标的乘积是定值 .
【素养提升】　求定值问题常见的方法(1)从特殊值入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
【变式训练】1.已知动圆P经过点N(1,0),并且与圆M:(x+1)2+y2=16相切.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点,过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A,B两点,当k为何值时,ω=|GA|2+|GB|2是与m无关的定值?并求出该定值.
【解析】(1)由题意,设动圆P的半径为r,则|PM|=4-r,|PN|=r,可得|PM|+|PN|=4-r+r=4,所以点P的轨迹C是以M,N为焦点的椭圆,所以2a=4,2c=2,所以b= 所以椭圆的方程为 =1,即点P的轨迹C的方程为 =1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知-20)的焦点为F1,F2,离心率为 ,点P为椭圆C上一动点,且△PF1F2的面积最大值为 ,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设点M(x1,y1),N(x2,y2)为椭圆C上的两个动点,当x1x2+y1y2为多少时,点O到直线MN的距离为定值.
【解析】(1)根据题意,因为P在椭圆上,当P是短轴端点时,P到x轴距离最大,此时△PF1F2面积最大,所以 ×2c×b=bc= ,由 解得 所以椭圆C的方程为 =1.
(2)根据题意,在x1≠x2时,设直线MN方程为y=kx+m,原点到此直线的距离为d= ,即d2= ,由 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,m21)的左、右顶点,G为E的上顶点, · =8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.
【解析】(1)依据题意作图如图所示:由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则 =(a,1), =(a,-1).由 · =8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程为 +y2=1.
(2)设P ,则直线AP的方程为:y= ,即:y= ,联立直线AP的方程与椭圆方程可得: 整理得: x2+6 x+9 -81=0,解得:x=-3或x= ,将x= 代入直线y= 可得:y= ,所以点C的坐标为 .
同理可得:点D的坐标为 ,所以直线CD的方程为: ,整理可得: ,整理得: 故直线CD过定点 .
2.已知抛物线E:y2=4x,过抛物线焦点F的直线l分别交抛物线E和圆F:(x-1)2+y2=1于点A,C,D,B(自上而下).(1)求证:|AC|·|BD|为定值;(2)若|AC|,|CD|,|DB|成等差数列,求直线l的方程.
【解析】(1)由题意,F(1,0),圆F的半径为1,①当直线l的斜率不存在时,l:x=1,交点A(1,2),B(1,-2),C(1,1),D(1,-1),此时|AC|·|BD|=1×1=1;②当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16(k2+1)>0.则x1+x2=2+ ,x1x2=1,由抛物线的定义,|AC|=|AF|-|CF|=x1+1-1=x1,同理|BD|=x2.所以|AC|·|BD|=x1x2=1;综上所述,|AC|·|BD|为定值.
(2)由|AC|,|CD|,|DB|成等差数列, 得|AC|+|BD|=2|CD|=4.所以弦长|AB|=|AC|+|CD|+|DB|=6.由(1)知,显然斜率存在,由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+2=6.故4+ =6,解得k=± .所以直线l的方程为y=± (x-1).
3.已知椭圆C: =1,过Q(-4,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且与y轴相交于P点.(1)若 ,求直线l的方程;(2)设A关于x轴的对称点为C,证明:直线BC过x轴上的定点.
【解析】(1)由题意可设直线l的方程为y=k(x+4),联立椭圆方程 =1,可得(1+3k2)x2+24k2x+48k2-6=0,(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),由Q(-4,0),P(0,4k), ,可得x1-0= (-4-x1),解得x1=- ,代入方程(*)可得 (1+3k2)- k2+48k2-6=0,解得k=± ,则直线l的方程为y=± (x+4);
(2)由题设及(1)可得C(x1,-y1),由(1)可得x1+x2= ,x1x2= ,再由(1)可得直线BC的方程为y+y1= (x-x1),令y=0,可得x= ,故直线BC过x轴上的定点（- ，0）.
4.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点, ,求证: 为定值.
【解析】(1)因为抛物线y2=2px过点(1,2),所以2p=4,即p=2,故抛物线C的方程为y2=4x,由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),由 得k2x2+(2k-4)x+1=0,依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k0)的离心率为 ,且过点A(2,1).(1)求C的方程;(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
【解析】(1)由题意得 , ,解得a2=6,b2=3.所以C的方程为 =1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入 =1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2= ,x1x2= .①由AM⊥AN知 =0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.将①代入上式可得(k2+1) -(km-k-2) +(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.
因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1(A(2,1)不在直线MN上).于是MN的方程为y=k (k≠1).所以直线MN过点P .若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由 =0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又 =1,可得3 -8x1+4=0.