2021-2022学年福建省泉州市安溪县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年福建省泉州市安溪县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列式子中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列等式中，从左到右变形不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在▱中，下列结论不正确的是(    )

A.
B. ▱是轴对称图形
C.
D. ▱是中心对称图形

5. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(    )

A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直

6. 在一次选拔比赛中，有位同学参加了“进”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解位参赛同学成绩的(    )

A. 平均数 B. 加权平均数 C. 中位数 D. 众数

7. 如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我县某天气温随时间时变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是(    )

A. 从时至时，气温随时间的推移而上升
B. 从时至时，气温随时间的推移而下降
C. 凌晨时气温最低为
D. 下午时气温最高为

8. 如图，反比例函数和正比例函数的图象交于、两点，若，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

9. 四边形的对角线、相交于点，且，下列条件：；；；要使四边形为正方形，须添加的条件是(    )

A.  B.  C.  D. 或

10. 如图四个都是反比例函数的图像．其中阴影部分面积为的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 某病毒近似于球体，它的平均直径是，用科学记数法表示为______．
12. 我县教育局拟招聘一批“届省内本科高校优秀师范毕业生”的数学教师，现有一名应聘者笔试成绩分、面试成绩分，综合成绩按照笔试占、面试占进行计算，该应聘者的综合成绩为______分．
13. 如图，把直线向上平移后得到直线，直线经过点，则直线的解析式是______．

14. 关于的分式方程无解，则______．
15. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为______．

16. 如图，点、是反比例函数图象上的两个动点，过点、分别作轴、轴，分别交反比例函数图象于点、，得四边形是平行四边形．当点、不断运动时，现有以，结论：▱可能是菱形；▱不可能是矩形；▱可能是正方形；▱不可能是正方形．其中正确的是______写出所有正确结论的序号

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共78分）

18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，，求的长．

20. 在疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某商店用元购进若干包一次性口罩，售完后又用元钱购进第二批这种口罩，所进的包数是第一批所进包数的倍，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价少元，求购进的第一批口罩有多少包？
21. 年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的次测试成绩，绘制如图统计图．
    
    根据图中提供的数据列出如表统计表：

则______，______．
现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．

22. 如图，在▱中，请按下列要求尺规作图：连结，作的垂直平分线分别交、、于点、、，连结、不必写作法，保留作图痕迹
    求证：四边形是菱形．

23. 受疫情影响，小林为了生计摆地摊，到批发市场进一批单价元的小商品，在夜市营销中统计该批商品的销售单价元与日销售量个之间有如下关系：
    猜测并确定与之间的函数关系式；
    设经营此小商品的销售利润为元，求出与之间的函数关系式．若物价局规定此小商品的售价最高不能超过元个，请你求出当日销售单价定为多少时，才能获得最大日销售利润？

24. 【猜想结论】
    如图，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：，且．
    【验证结论】
    如图，在中，点、分别是边、的中点，延长至，使得，连接求证：，．
    【应用结论】
    如图，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，称为四边形中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
    证明：四边形是平行四边形；
    当、满足______时，四边形是矩形；
    当、满足______时，四边形是正方形．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点．
    点坐标是______，______、点坐标是______，______；
    求直线的函数表达式；
    点是射线上的点，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是分式，故符合题意；
B、是单项式，故不符合题意；
C、是单项式，故不符合题意；
D、是单项式，故不符合题意．
故选：．
一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：小手盖住的点的横坐标和纵坐标都小于，
小手盖住的点在第三象限，
A.在第一象限，故本选项不合题意；
B.在第二象限，故本选项不合题意；
C.在第三象限，故本选项符合题意；
D.在第四象限，故本选项不合题意．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对边相等，即，故选项A不合题意；
B.▱不是轴对称图形，故选项B符合题意；
C.平行四边形的对角相等，即，故选项C不合题意；
D.▱是中心对称图形，故选项D不合题意；
故选：．
分别根据平行四边形的性质以及轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故选：．
根据菱形的性质、矩形的性质判断即可．
本题考查的是菱形的性质、矩形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直、矩形的对角线相等但不一定垂直是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于总共有个人，且他们的分数互不相同，第名和第名同学的成绩的平均数是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数的多少．
故选：．
人成绩的中位数是第名和第名同学的成绩的平均数．参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可知，从时至时，气温随时间的推移而下降，故本选项符合题意；
B.由图象可知，从时至时，气温随时间的推移而下降，说法正确，故本选项不合题意；
C.由图象可知，凌晨时气温最低为，说法正确，故本选项不合题意；
D.由图象可知，下午时气温最高为，说法正确，故本选项不合题意．
故选：．
根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是函数的图象，能根据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据反比例函数和正比例函数的图象交于、两点，
利用图象得：时的取值范围是或．
故选：．
所求不等式的解集即为反比例函数值大于一次函数值时的范围，根据一次函数与反比例函数的交点坐标，即可确定出的范围．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
四边形为平行四边形

平行四边形是矩形
若
则四边形为正方形；
若，则四边形是正方形．
故选：．
因为，，所以四边形为平行四边形，添加则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
 

10.【答案】 

【解析】解：第一个的面积为；第二个的面积为；第三个的面积为；第四个的面积为；
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义以及反比例函数的性质判断即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变；也考查反比例函数的中心对称性．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：该应聘者的综合成绩为：分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：由直线向上平移后得到直线，故设直线的解析式是：，
直线经过点，
．
直线的解析式是．
故答案是：．
平移时的值不变，只有发生变化．再把相应的点代入即可．
本题考查一次函数图象与几何变换，注意在求直线平移后的解析式时要注意平移值不变．
 

14.【答案】 

【解析】解：原方程去分母得：，
解得：，
分式方程无解，
，即，
，
．
故答案为：．
解分式方程得，由题意得，从而求出的值．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，则证明四边形为矩形，连接，如图，则，当的值最小时，的值最小，利用垂线段最短得到时，的值最，然后利用面积法计算此时的长即可．此题考查了矩形的判定与性质：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．

【解答】

解：，，，
，
为直角三角形，，
于，于，
，
四边形为矩形，
连接，如图，，当的值最小时，的值最小，
当时，的值最，此时，
的最小值为．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：设，，则，，
，
，
，
，
与不可能垂直，
故、错误；正确；
随着不断变小，起来越大，起来越小，
有可能与相等，
故正确；
故答案为．
设，，则，，由平行四边形的性质列出方程求得、的关系，进而得、的坐标，根据坐标可以判断不与轴平行，从而判断与垂直，进而判断、错误；正确；根据随着不断变小，起来越大，起来越小，可以判断有可能与相等，进而判断的正误．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形、正方形的判定，解题的关键是由平行四边形的对边相等，得出、的关系．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】直接利用乘方以及负整数指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案；
本题考查了实数的混合运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了零指数幂与负整数指数幂．
 

18.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先通分括号内的式子，然后将除法转化为乘法，同时将分式的分子分母分解因式，然后约分即可化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
四边形是矩形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
由勾股定理得：． 

【解析】根据矩形的性质和等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，进而利用勾股定理解答即可．
本题考查了矩形的性质以及中位线定理，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角； 边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等．
 

20.【答案】解：设购进的第一批口罩有包，则购进的第二批口罩有包，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：购进的第一批口罩有包． 

【解析】设购进的第一批口罩有包，则购进的第二批口罩有包，利用单价总价数量，结合第二批每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价少元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：甲的众数为，
乙的平均数为，
故答案为：，；

应该选派乙，理由如下：
两位同学平均成绩一样，从众数看，乙的众数大．
根据平均数的公式，众数的定义求出即可；
根据平均数，众数分析得出即可．
本题考查了平均数、众数．平均数表示一组数据的平均程度．众数的一组数据中出现次数最多的数．
 

22.【答案】解：如图，四边形即为所求；


证明：垂直平分线段，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据要求作出图形即可；
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解：由表中数据可知，销售单价与日销售量的乘积为定值，
与之间的函数关系为反比例函数，
设与之间的函数关系式为为常数且，
把代入解析式得，，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意得：，
，
当时，最大，最大值为，
与之间的函数关系式为，当日销售单价定为元时，才能获得最大日销售利润． 

【解析】要确定与之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现与的乘积是相同的，都是，所以可知与成反比例，用待定系数法求解即可；
首先要知道纯利润销售单价日销售数量，这样就可以确定与的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过元个，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价．
本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
 

24.【答案】  ， 

【解析】【验证结论】证明：延长至，使得，连接，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
；
【结论应用】证明：连接，

由结论知，，，，，
，，
四边形是平行四边形；
解：当时，四边形是矩形，
理由如下：连接、交于，与交于，

由知，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
故答案为：；
解：当，时，四边形是正方形，
理由如下：由结论知，，，
，
，
由知，四边形是矩形，
四边形是正方形，
故答案为：，．
【验证结论】延长至，使得，连接，利用证明≌，得，，得出四边形是平行四边形，即可证明结论；
【结论应用】连接，由结论知，，，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
连接、交于，与交于，根据平行线的性质可得，则四边形是矩形；
由可得，在的条件下即可证明结论．
本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理的证明，平行四边形的判定与性质，矩形、正方形的判定等知识，熟练应用三角形中位线定理和矩形、正方形的判定是解题的关键．
 

25.【答案】       

【解析】解：一次函数的图象分别交、轴于点、，
令，得，令，则，
，，
故答案为：，，，；

过作交于，过作轴于，

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的函数表达式为：，
，
，
直线的函数表达式为：；

存在．
如图，当是对角线时，四边形为菱形．

，，
直线为，
设直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为：，
，
，解得，
直线的函数表达式为，
设，
，，
，
，解得，
点的坐标为；
如图，当是边，四边形为菱形时．

，，
直线为，
设直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为：，
，
，解得，
直线的函数表达式为，
设，
，，
，
，解得或不合题意，舍去，
点的坐标为；
如图，当是边，四边形为菱形时．

，
设，
，，
，
，解得或不合题意，舍去，
点的坐标为，
，，
点的坐标为．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
由，分别令，，即可求解；
过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：，利用待定系数法即可得到结论；
分当是对角线时；当是边，四边形为菱形时；当是边，四边形为菱形时三种情况，根据菱形的性质去分析求解即可求得答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．