2023年高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形含解析北师大版文

这是一份2023年高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形含解析北师大版文，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检卷四　三角函数、解三角形(时间:120分钟　满分:140分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021山东威海模拟)已知一个等腰三角形是黄金三角形,其底与腰的长度的比值为黄金比值(即黄金分割值,该值恰好等于2sin 18°),则sin 100°cos 26°+cos 100°sin 26°=(　　)A.- B.C.- D.答案:D解析:由已知可得2sin18°=,故sin18°=,则sin100°cos26°+cos100°sin26°=sin126°=sin(36°+90°)=cos36°=1-2sin218°=1-2×2=.2.(2021全国乙,文6)cos2-cos2=(　　)A. B. C. D.答案:D解析:原式=cos2-cos2=cos2-sin2=cos.3.(2021山东青岛一模)已知角θ终边上有一点Ptanπ,2sin-π,则cos θ的值为(　　)A. B.- C.- D.答案:D解析:因为tanπ=tanπ+=tan,sin-π=sin-2π-π+=sin-π+=-sinπ-=-sin=-,即2sin-π=-1,所以P(,-1).所以cosθ=.4.(2021湖北黄冈中学高三月考)在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=(　　)A. B. C.6 D.5答案:B解析:因为sinA=6sinB,由正弦定理可得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1.因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcosC,即c2=62+12-2×1×6×=31,解得c=.5.(2021四川眉山三诊)已知函数f(x)=sin4x-,若将f(x)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图像,且函数g(x)的图像关于y轴对称,则φ的最小值是(　　)A. B. C. D.答案:B解析:函数f(x)=sin4x-的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin2x-,再向右平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin2(x-φ)-=sin2x-2φ-.由g(x)的图像关于y轴对称,故-2φ-+kπ,k∈Z,即φ=-,k∈Z,又φ>0,所以当k=-1时,φ=-.6.(2021全国甲,理9)若α∈,tan 2α=,则tan α=(　　)A. B. C. D.答案:A解析:由题意,因为α∈,所以cosα>0,所以,解得sinα=,则cosα=,所以tanα=.7.(2021山东莱州一中高三月考)若函数y=cos ωx(ω>0)的图像在区间-上只有一个对称中心,则ω的取值范围为(　　)A.(1,2] B.[1,2) C.(1,3] D.[1,3)答案:A解析:∵y=cosωx(ω>0)在区间-上只有一个对称中心,∴cosωx=0在该区间只有一个零点,又ωx∈-,∴∴1<ω≤2.8.(2021湖南长沙模拟)如图,A,B,C是半径为1的圆周上的点,且∠BAC=,AB+AC=,则图中阴影区域的面积为(　　)A. B.C. D.答案:A解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OB,OC,BC,因为∠BAC=,所以∠BOC=,所以∠OBC=∠OCB=,BC=.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos=(AC+AB)2-3AC·AB,因为AB+AC=,所以AC·AB=1,所以S△ABC=AC·ABsin,S△OBC=OB·OCsin,扇形OBC的面积为S=×12=,所以图中阴影区域的面积为S=S△ABC+S扇形OBC-S△OBC=.9.(2021江西南昌一模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,cos C=,a2+b2=68,则△ABC的面积为(　　)A.2 B. C.4 D.2答案:B解析:由,可得,即,所以=a,即c=ab.又a2+b2=68,cosC=,所以c2=a2+b2-2abcosC=68-2c×,即2c2+c-136=0,解得c=8或c=-(舍去),所以ab=8.又C为三角形内角,故sinC=,所以△ABC的面积为S△ABC=absinC=.10.(2021四川德阳三诊)设函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的图像关于直线x=对称,它的最小正周期是π,则下列说法正确的个数为(　　)①将f(x)的图像向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sin ωx的图像;②f(x)的图像过点(0,1);③f(x)的图像的一个对称中心是,0;④f(x)在上是减少的.A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为π,可得=π,所以ω=2.因为图像关于直线x=对称,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,所以φ=-+kπ,k∈Z,又-<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin2x+.对于①,将f(x)的图像向右平移个单位长度得到函数y=2sin2x-+=2sin2x-的图像,所以①错误;对于②,f(0)=2sin=1,所以f(x)的图像过点(0,1),所以②正确;对于③,f=2sin=0,所以,0是f(x)的图像的一个对称中心,所以③正确;对于④,当x∈,可得2x+∈,所以f(x)在上先递增后递减,所以④不正确.11.(2021广西南宁二中高三月考)如图所示,在四边形ABCD中,AC=AD=CD=7,∠ABC=120°,sin ∠BAC=,则BD=(　　)A.6 B.9 C.7 D.8答案:D解析:由正弦定理,得,所以,所以BC=5.由AC=AD=CD=7,可得∠ADC=60°,又∠ABC=120°,所以A,B,C,D四点共圆,∠DBC=∠DAC=60°,由余弦定理,得cos∠DBC=,所以BD=8.12.(2021安徽合肥一中高三月考)函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示,则下列说法错误的是(　　)A.函数f(x)的图像可由y=Acos(ωx)的图像向右平移个单位长度得到B.函数f(x)在区间-上是增加的C.函数f(x)在区间-,0上的值域为[-2,]D.直线x=是函数f(x)图像的一条对称轴答案:D解析:根据图像可得A=2,f(0)=,所以2cosφ=,故φ=±.结合图像可得φ=-,又ω×,所以ω=2,所以函数的解析式为y=2cos2x-.对于A,f(x)=2cos2x-=2cos2x-,故可由y=2cos(2x)的图像向右平移个单位长度得到f(x)的图像,故A正确;对于B,f(x)的递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z),故-是它的一个递增区间,而-⊆-,故B正确;对于C,x∈-,0,所以2x-∈-,-,结合余弦函数的图像可得y∈[-2,],故C正确;对于D,f=2cos=2cos=0,不是函数的最值,故直线x=不是函数f(x)图像的对称轴,故D错误.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021江苏南通模拟)已知角α的终边经过点(-3,4),则cos+α的值是　　　　　　.答案:解析:因为角α的终边经过点(-3,4),所以sinα=,所以cos+α=sinα=.14.(2021河北唐山模拟)若<α<2π,化简=　　　　. 答案:-解析:∵,,∴.又<α<2π,∴=-.15.(2021陕西西北工大附中高三月考)将函数f(x)的图像向左平移个单位长度,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标保持不变)得到g(x)=sin的图像,则f(x)的解析式为　　　　　. 答案:f(x)=sin2x-解析:将g(x)=sin图像上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标保持不变),得到h(x)=sin2x+,再将h(x)的图像向右平移个单位长度得到f(x)=hx-=sin2x-.16.(2021山东滨州二模)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题,故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图,树顶A离地面a米,树上另一点B离地面b米,在离地面c(c<b)米的C处看此树,离此树的水平距离为　　　　　　米时看A,B的视角最大. 答案:解析:过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,如图所示,则BD=b-c,AD=a-c,设∠BCD=α,∠ACB=β,CD=x,在△BCD中,tanα=,在△ACD中,tan(α+β)=,所以tanβ=tan[(α+β)-α]=,当且仅当x=,即x=时等号成立,所以tanβ取最大值时,∠ACB=β最大,所以当离此树的水平距离为米时看A,B的视角最大.三、解答题:共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(15分)(2021山东济南二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC恰好满足下列四个条件中的三个:①cos A=;②cos B=-;③a=;④b=1.(1)请指出这三个条件;(2)求边c.解:(1)由①知A=,由②知B=,根据三角形内角和定理可知①②不能同时选,再由③④知a>b,所以A>B,故只能选①不能选②,所以选①③④.(2)(方法1)因为cosA=,所以A=.又因为,且a=,b=1,所以sinB=,所以B=,所以C=,所以c==2.(方法2)因为a2=b2+c2-2bccosA,且cosA=,a=,b=1,所以c2-c-2=0,所以c=2.18.(15分)(2021山西太原三模)如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得这三点的俯角分别为α=30°,β=45°,γ=30°,现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE,经测量AD=100 m,BE=33 m,BC=100 m.(1)求PB的长;(2)求隧道DE的长.(精确到1 m)附:≈1.414;≈1.732.解:(1)由题意,β=45°,γ=30°,所以∠BCP=30°,∠BPC=15°,又BC=100,所以,即,得PB=50()≈193m.(2)因为α=30°,β=45°,所以A=30°,∠APB=105°,所以,即,得AB==25(8+4)≈373m,所以DE=AB-AD-BE=373-100-33=240m.19.(15分)(2021安徽池州一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示.(1)求函数f(x)的函数解析式;(2)在△ABC中,角A为三角形内角且f(A)=1,AD是△BAC的角平分线,AB=1,AC=3,求AD的长度.解:(1)由图可知A=2,,即T=π,根据T=,得ω=2,由f=2得2×+φ=+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=.所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+.(2)由f(A)=1可得A=,因为AD为∠BAC的角平分线,所以∠BAD=∠DAC=.又因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,即AB·AC·sin∠BAC=AB·AD·sin∠BAD+AC·AD·sin∠CAD,将AB=1,AC=3代入可得AD=.20.(15分)(2021北京海淀模拟)在四边形ABCD中,∠ABD=30°,∠BCD=120°.(1)从下列三个等式中再选择两个作为条件,剩余的一个作为结论,要求构成一个真命题,并给出证明;①AB+AD=6;②BD=AD;③AB=4sin∠ADB.备选:从上述三个等式中再选择两个作为条件,剩余的一个作为结论,构成一个命题,判断该命题的真假并给出证明;(2)在(1)中真命题的条件下,求△BCD周长的最大值;(3)在(1)中真命题的条件下,连接AC,求△ABC面积的最大值.解:(1)①②⇒③为假命题,证明如下:在△ABD中,∵BD=AD,∠ABD=30°,由正弦定理,知sinA=sin∠ABD=,∵0°<A<180°,∴∠A=60°或∠A=120°.当∠A=60°时,∠ADB=90°,∴AB=2AD,又AB+AD=6,∴AB=4,AD=2,此时sin∠ADB=1,∴AB=4sin∠ADB成立.当∠A=120°时,∠ABD=∠ADB=30°,∴AB=AD.又AB+AD=6,∴AB=AD=3,此时sin∠ADB=,AB≠4sin∠ADB.故①②⇒③为假命题.②③⇒①为假命题,证明如下:∵AB=4sin∠ADB,∠ABD=30°,由正弦定理,得,∴AD=·sin∠ABD=4×=2,∴BD=AD=2.∵,∴sinA=.∵0°<A<180°,∴∠A=60°或∠A=120°.当∠A=60°时,∠ADB=90°,此时AB=4,∴AB+AD=6.当∠A=120°时,∠ADB=30°,此时AB=AD=2,∴AB+AD≠6.故②③⇒①为假命题.①③⇒②为真命题,证明如下:由正弦定理,得,∴AD=·sin∠ABD=4×=2.∵AB+AD=6,∴AB=4,∴sin∠ADB=1,∴∠ADB=90°,∴BD=AB·cos30°=2AD,证毕.(2)由(1)知,△ABD为直角三角形,且AB=4,BD=2,AD=2,在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BCD=,即-,整理得(BC+CD)2=BC·CD+12≤2+12,∴(BC+CD)2≤12,∴BC+CD的最大值为4,当且仅当BC=CD=2时,等号成立.∴△BCD的周长最大值为4+2.(3)由(1)知BD=2,AB=4,∠ABD=30°.设BC=m,m∈(0,2),∠DBC=α,0°<α<60°.在△BCD中,,即,可得m=4sin(60°-α),∴△ABC的面积S=AB·BC·sin∠ABC=×4msin(30°+α)=×4×4sin(60°-α)·sin(30°+α)=8sin(60°-α)·cos(60°-α)=4sin(120°-2α).∵0°<α<60°,∴0°<120°-2α<120°.∴当120°-2α=90°,即α=15°时,△ABC的面积取得最大值4.