2022-2023学年湘教版（2019）选择性修一第一章 数列 单元测试卷
展开第一章 数列 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共32分)
1、(4分)用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则k的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2、(4分)已知等差数列的前n项和为，若，则( )
A.63 B.35 C.70 D.40
3、(4分)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61则该数列的第7项为( )
A.89 B.91 C.94 D.95
4、(4分)已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，，设，则数列的前11项和为( )
A.1062 B.2124 C.1101 D.1100
5、(4分)若数列是单调递减的等差数列，，分别是方程的两根，则( ).
A.7 B.3 C.1 D.-1
6、(4分)已知在等差数列中，，则( )
A.8 B.6 C.4 D.3
7、(4分)已知数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点设数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8、(4分)已知等差数列的前n项和为，公差为，
当取最小值时，n的值为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
二、多项选择题(共24分)
9、(6分)在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是( ).
A. B.数列是等比数列
C. D.数列是公差为2的等差数列
10、(6分)已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
11、(6分)已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )
A. B. C. D.
12、(6分)已知等比数列的各项均为正数，公比为q，且，，记的前n项积为，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题(共16分)
13、(4分)在等差数列中, ,,则____________.
14、(4分)设等差数列的前项和，若，那么=___________.
15、(4分)写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列____________.
16、(4分)在1和31之间插入14个数，使它们与1,31组成等差数列，则该数列的公差为_________.
四、解答题(共28分)
17、(14分)设等差数列的前项和为，，，数列满足.
（1）若，求数列的前n项和；
（2）若，，（，且）成等比数列，求t.
18、(14分)已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前n项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：当 时，左边 ，右边 ， 当 时，左边 ，右边 ， 当 时，左边 ，右边 ， 即左边 > 右边，不等式成立，则对任意 的自然数都成立，则k 的最小值为 2 。 故选 : B
2、答案：C
解析：由 ，得: ， 即 ，即 ，
所以
故选: C.
3、答案：D
解析：
4、答案：C
解析：
5、答案：D
解析：求得方程的两根分别为，，因为数列为递减等差数列，所以，，易得公差为-2，则.故选D.
6、答案：D
解析：由题意，设等差数列的公差为d，则，即，所以，故选D.
7、答案：B
解析：
8、答案：B
解析：
9、答案：ABC
解析：由，，得，，由公比q为整数，解得，
，，
，数列是公比为2的等比数列，，
又，数列是公差为的等差数列.故选ABC.
10、答案：ABC
解析：设数列是公比为的等比数列，则
对选项A，因为，所以数列为等比数列，故A正确；
对选项B，因为，所以数列为等比数列，故B正确；
对选项C，因为，所以数列为等比数列，故C正确；
对选项D，若等比数列公比，则，即，
此时数列不是等比数列，故D错误.
故选：ABC
11、答案：AD
解析：主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定.
时，，数列不一定是等比数列，
时，，数列不一定是等比数列，
由等比数列的定义知和都是等比数列.故选AD.
12、答案：ABC
解析：由于等比数列的各项均为正数，公比为q，且，，所以，由题意得，，所以.因为，所以，所以，.故选ABC.
13、答案：24
解析：由等差数列 的前 项和的性质可得 : 成等差数列 ，
解析得.
故答案为 : 24 .
14、答案：20
解析：∵是等差数列，∴，
∴．
故答案为：20
15、答案：（答案不唯一）
解析：要满足“前3项之和小于第3项”，则，即，则不妨设，，则.
16、答案：2
解析： 在1和31之间插入14个数，则数列共有16项，首项，末项，由等差数列的通项公式可得，公差
故答案为：2
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）
解：设等差数列的公差为d，则有
整理得解得，所以.
由，可知，，
则数列是首项，公差为4的等差数列，
所以.
（2）
解：由，，成等比数列，则有，
因为，所以，
因为，所以整理得，
则有，解得.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得即
又因为，所以所以.
（2），
.
存在，使得成立.
存在，使得成立.
即存在，使得成立.
（当且仅当时取等号）.
，即实数的取值范围是.
