2012数学第5章5.2.1知能优化训练（湘教版选修1-2）

1．已知a>b>0，则证明－<可选择的方法，以下最合理的是(　　)

A．综合法　　　　　　　　 B．分析法

C．类比法   D．归纳法

解析：选B.首先，排除C、D.然后，比较综合法、分析法．

我们选择分析法，欲证：－<，只需证：<＋，即证：a<b＋(a－b)＋2，

只需证：0<2，显然成立，原不等式得证．

2．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足的条件为(　　)

A．a2<b2＋c2   B．a2＝b2＋c2

C．a2>b2＋c2   D．a2≤b2＋c2

解析：选C.若∠A为钝角，则由余弦定理得cosA＝<0，即b2＋c2<a2.

3．(2011年高考天津卷)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)

A．a>b>c   B．a>c>b

C．b>a>c   D．c>a>b

解析：选B.∵2<3.6<4，∴log23.6>1>log43.6.

又∵log43.6>log43.2，∴a>c>b.

4．设a＝，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小关系为________．

解析：∵b＝，c＝，

显然b<c.

而a2＝2，

∴c2＝(－)2

＝8－2＝8－<8－＝2＝a2，

∴a>c，

∴a>c>b.

答案：a>c>b

一、选择题

1．下列表述：

①综合法是由因导果法；

②综合法是顺推法；

③分析法是执果索因法；

④分析法是逆推法．

其中正确的语句有(　　)

A．4个   B．3个

C．2个   D．1个

解析：选A.①②③④正确．

2．(2011年高考北京卷)如果logx<logy<0，那么(　　)

A．y<x<1   B．x<y<1

C．1<x<y   D．1<y<x

解析：选D.不等式转化为⇒1<y<x.

3．某同学证明不等式－1＞－的过程如下：

要证－1＞－，只需证＋＞＋1，即证7＋2＋5＞11＋2＋1，即证＞，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是(　　)

A．综合法

B．分析法

C．综合法，分析法结合使用

D．其他证法

解析：选B.根据分析法的思维特点可判定出来．

4．(2011年青岛模拟)已知函数f(x)＝x，A＝f，B＝f()，C＝f(a>0，b>0)，则A，B，C的大小关系为(　　)

A．A≤B≤C   B．A≤C≤B

C．B≤C≤A   D．C≤B≤A

解析：选A.由于≥≥，

又函数f(x)＝x在R上为减函数，故f≤f()≤f.

5．(2011年湛江模拟)已知A，B为△ABC的两个内角，则A>B是sinA>sinB的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C.A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB.

6．(2011年合肥模拟)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为(　　)

A．P>Q   B．P＝Q

C．P<Q   D．由a的取值确定

解析：选C.由于P>0，Q>0，所以要比较P与Q的大小，只须比较P2与Q2的大小．

Q2－P2＝(＋)2－(＋)2

＝2－2.

∵a2＋7a＋12>a2＋7a，

∴>，

∴2>2，

∴Q2>P2，∴Q>P.

二、填空题

7．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．

答案：a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0

8．(2011年高考天津卷)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．

解析：由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，

∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时“＝”号成立)．

又∵a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b时“＝”成立)，

∴3a＋9b≥2×32＝18.

即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.

答案：18

9．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x＋y＝1.

解析：要使x＋y＝1，只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y，

即2y＝1－x2＋y2.只需使(－y)2＝0，

即＝y，∴x2＋y2＝1.

答案：1

三、解答题

10．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<.

证明：∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，要证原不等式成立，只要证<a，即证b2－ac<3a2，

也即证(a＋c)2－ac<3a2，

即(a－c)(2a＋c)>0，

∵a－c>0,2a＋c＝(a＋c)＋a

＝a－b>0.

∴(a－c)(2a＋c)>0成立，故原不等式成立．

11．(2011年泰安模拟)在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

解：A、B、C成等差数列．

证明如下：

∵＋＝，

∴＋＝3，

∴＋＝1，

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

∴b2＝a2＋c2－ac.

在△ABC中，由余弦定理，得

cosB＝＝＝，

∵0°<B<180°，∴B＝60°.

∴A＋C＝2B＝120°，

∴A、B、C成等差数列．

12．已知非向零量a⊥b，求证：≤.

证明：∵a⊥b，∴a·b ＝0.

要证≤，只需证|a|＋|b|≤|a－b|，

平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，

只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，

即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．

故原不等式得证．