广西玉林市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题

这是一份广西玉林市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题，共34页。试卷主要包含了计算，﹣1﹣6sin30°，解方程组，解方程等内容，欢迎下载使用。
广西玉林市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•玉林）计算：20220++|﹣|﹣sin30°．
2．（2021•玉林）计算：+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．
3．（2020•玉林）计算：•（π﹣3.14）0﹣|﹣1|+（）2．
二．解二元一次方程组（共1小题）
4．（2020•玉林）解方程组：．
三．根与系数的关系（共1小题）
5．（2020•玉林）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．
四．解分式方程（共1小题）
6．（2022•玉林）解方程：＝．
五．一元一次不等式的应用（共2小题）
7．（2022•玉林）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
8．（2021•玉林）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A，B两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度．
（1）求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%和2a%，则A，B焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求a的最小值．
六．反比例函数的性质（共1小题）
9．（2021•玉林）先化简再求值：（a﹣2+）÷，其中a使反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限．
七．反比例函数的应用（共1小题）
10．（2020•玉林）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
八．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．


12．（2021•玉林）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线y＝﹣x与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；
（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，求点P，Q的坐标．

13．（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

九．菱形的判定与性质（共1小题）
14．（2021•玉林）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．

一十．切线的判定与性质（共3小题）
15．（2022•玉林）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．

16．（2021•玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．

17．（2020•玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．

一十一．旋转的性质（共1小题）
18．（2020•玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．

一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
19．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．

20．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．

一十三．条形统计图（共1小题）
21．（2020•玉林）在镇、村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签订了农产品销售合同，并于今年春季在自家荒坡上种植了A，B，C，D四种不同品种的果树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为90%，几个品种的果树苗种植情况及其成活情况分别绘制在如图图①和图②两个尚不完整的统计图中．
（1）种植B品种果树苗有 　 　棵；
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高？

一十四．众数（共1小题）
22．（2022•玉林）为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
a
1
3
b
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
c
d
解决问题：
（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
一十五．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2022•玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？　 　（填“全等”或“不全等”），理由是 　 　；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．

24．（2021•玉林）2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：

请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；
（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•玉林）计算：20220++|﹣|﹣sin30°．
【解答】解：原式＝1+2+﹣＝3．
2．（2021•玉林）计算：+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．
【解答】解：原式＝4+1﹣1﹣6×
＝4+1﹣1﹣3
＝1．
3．（2020•玉林）计算：•（π﹣3.14）0﹣|﹣1|+（）2．
【解答】解：原式＝×1﹣（﹣1）+9
＝﹣+1+9
＝10．
二．解二元一次方程组（共1小题）
4．（2020•玉林）解方程组：．
【解答】解：，
①+②×3得：7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝1，
则方程组的解为．
三．根与系数的关系（共1小题）
5．（2020•玉林）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，
﹣＝＝＝1．
四．解分式方程（共1小题）
6．（2022•玉林）解方程：＝．
【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，
所以原分式方程的解为x＝﹣1．
五．一元一次不等式的应用（共2小题）
7．（2022•玉林）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【解答】解：（1）设第一次购买龙眼x吨，则第二次购买龙眼（21﹣x）吨，
由题意得：0.4x+0.3（21﹣x）＝7，
解得：x＝7，
∴21﹣x＝21﹣7＝14（吨），
答：第一次购买龙眼7吨，则第二次购买龙眼14吨；
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21﹣y）吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：10×0.2y+3×0.5（21﹣y）≥39，
解得：y≥15，
∴至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉，
答：至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
8．（2021•玉林）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A，B两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度．
（1）求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%和2a%，则A，B焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求a的最小值．
【解答】解：（1）设焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电m度，B焚烧炉发电n度，
根据题意得：，
解得，
答：焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电300度，B焚烧炉发电250度；
（2）改进工艺后每焚烧一吨垃圾A焚烧炉发电300（1+a%）度，则B焚烧炉发电250（1+2a%）度，依题意有
100×300（1+a%）+100×250（1+2a%）≥55000[1+（5+a）%]，
整理得5a≥55，
解得a≥11，
∴a的最小值为11．
六．反比例函数的性质（共1小题）
9．（2021•玉林）先化简再求值：（a﹣2+）÷，其中a使反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限．
【解答】解：反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，
∴a＜0，
∴|a|＝﹣a，
（a﹣2+）÷
＝•
＝﹣1．
七．反比例函数的应用（共1小题）
10．（2020•玉林）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【解答】解：（1）根据题意可得：y＝，
∵y≤600，
∴x≥1；

（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：
﹣＝0.2，
解得：m＝﹣600（舍）或500，
检验得：m＝500是原方程的根，
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
八．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．


【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：
如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，

∵C（0，4），D是OD的中点，
∴E（0，1），
当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，
2x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴P（，1），
∴OD≠PD，
∴△POD不可能是等边三角形；
（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，
分两种情况：
①如图2，△CMP∽△BMH，

∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴＝＝＝＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t1＝0，t2＝1，
∴P（1，4）；
②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，

过点P作PE⊥y轴于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝，
∴P（，）；
综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．
12．（2021•玉林）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线y＝﹣x与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；
（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，求点P，Q的坐标．

【解答】解：（1）取y＝0，则有ax2﹣3ax﹣4a＝0，
即x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
对称轴为直线x＝，
（2）设M的横坐标为x1，N的横坐标为x2，
根据题意得：，
即，
，
又∵M，N关于原点对称，
∴，
∴a＝，
∴，
（3）∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线向上平移了4个单位，
设P（x，），则Q（x，），
由题意得O'（0，），
∵O′P＝O′Q，
∴，
解得，，
若，
则y＝，
∴P（，﹣），Q（，），
若，
则y＝，
∴P（，﹣），Q（，），
综上，P（，﹣），Q（，）或P（，﹣），Q（，）．
13．（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，得到y1＝3，
∴C（0，3）．

（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，
如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．

∵D′是抛物线的顶点，
∴D′B＝D′B′，D′（a，b），
∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，
∴BH＝HB′，
∴D′H＝BH＝HB′＝b，
∴a＝1+b，
又∵y2＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），
∴b＝（1﹣a）2，
解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，
∴B′（3，0），y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．

（3）如图2中，

观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．
对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1（﹣2，3），
令y1＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1，可得P2（﹣1﹣，﹣3），P3（﹣1+，﹣3），
对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程无解，
令y2＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4（0，﹣3），P5（4，﹣3），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1﹣，﹣3）或（﹣1+，﹣3）或（0，﹣3）或（4，﹣3）．
九．菱形的判定与性质（共1小题）
14．（2021•玉林）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．

【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，

∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴sin∠ABD＝，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根据勾股定理得，FG＝，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF＝＝＝4．
一十．切线的判定与性质（共3小题）
15．（2022•玉林）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．

【解答】（1）证明：如图1，连接OD，

∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD．
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；

（2）连接BC，交OD于H，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BC＝4，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OH＝AC＝3，
∴DH＝5﹣3＝2，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2，
∴AE＝6+2＝8，
∵∠DAB＝∠DAE，
∴tan∠DAB＝tan∠DAE＝＝＝．
16．（2021•玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．

【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：

∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等边三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切线；
（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，
由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，
∴CF＝，
∴BF＝a﹣，
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），
解得：a＝3r，
即r＝，
∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．
17．（2020•玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．

【解答】（1）证明：连接OF，如图1所示：
∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠DBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，
∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OF⊥EF，
∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AF，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，
∴OD＝DA＝OA＝AB＝×4＝1，
∴BD＝3OD＝3，
∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，
∴＝，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣＝．


一十一．旋转的性质（共1小题）
18．（2020•玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．

【解答】（1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝AB，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，
∴∠ADH＝∠EHG，
∵∠DAH＝∠G＝90°，
∴△ADH≌△GHE（AAS），
∴AD＝HG，AH＝EG，
∵AB＝AD，
∴AB＝HG，
∴AH＝BG，
∴BG＝EG，
∴矩形BGEF是正方形，
设AH＝x，则BG＝EG＝x，
∵s1＝s2．
∴x2＝2（2﹣x），
解得：x＝﹣1（负值舍去），
∴AH＝﹣1．

一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
19．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴，即，
∴BF＝2a，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG∥CE，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG＝CE＝8﹣a，
∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，
在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，
在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，
在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，

∴GM∥AE，
∴△MGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴＝，
∴GM＝a，
∴GM＝BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA＝EC，
∴平行四边形AGCE是菱形．
解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG＝CE，
∵AB＝CD，
∴BG＝DE＝a，
∴tan∠EFC＝＝＝，
∴EC＝a+2＝8﹣a
∴a＝3，
∴AE＝＝5，
∴AE＝CE＝5，
∴四边形AGCE是菱形．
20．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．

【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝AC，
∴＝
由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，
故：＝（）2＝（）2＝．
一十三．条形统计图（共1小题）
21．（2020•玉林）在镇、村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签订了农产品销售合同，并于今年春季在自家荒坡上种植了A，B，C，D四种不同品种的果树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为90%，几个品种的果树苗种植情况及其成活情况分别绘制在如图图①和图②两个尚不完整的统计图中．
（1）种植B品种果树苗有 　75　棵；
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高？

【解答】解：（1）300×（1﹣35%﹣20%﹣20%）＝300×25%＝75（棵）．
故答案为：75；

（2）300×20%×90%＝54（棵），
补全统计图如图所示：


（3）A品种的果树苗成活率：×100%＝80%，
B品种的果树苗成活率：×100%＝80%，
C品种的果树苗成活率：90%，
D品种的果树苗成活率：×100%＝85%，
所以，C品种的果树苗成活率最高．
一十四．众数（共1小题）
22．（2022•玉林）为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
a
1
3
b
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
c
d
解决问题：
（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
【解答】解：（1）∵91分的有4人，97分的有3人，
∴a＝4，b＝3，
∵91分的人数最多，
∴众数为91，即c＝91，
d＝＝93，
综上所述，a＝4，b＝3，c＝91，d＝93；
（2）成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：×100%＝50%；
（3）估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%＝750（人）．
一十五．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2022•玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？　全等　（填“全等”或“不全等”），理由是 　三边对应相等的两个三角形全等　；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．

【解答】解：（1）在△ABD和△ACD中，
，
∴，△ABD≌△ACD（SSS）．
故答案为：全等，三边对应相等的两个三角形全等；
（2）树状图：

所有可能出现的结果（①②）（①③）（②①）（②③）（③①）（③②）共有六种等可能的情况，符合条件的有（①②）（①③）（②①）（③①）有四种，
令△ABD≌△ACD为事件A，则P（A）＝．
24．（2021•玉林）2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：

请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；
（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：2÷5%＝40（人），
则达到“良好”的学生人数为：40×40%＝16（人），达到“合格”的学生所占的百分比为：10÷40×100%＝25%，
达到“优秀”的学生所占的百分比为：12÷40×100%＝30%，
将两个统计图补充完整如下：

（2）650×（5%+25%）＝195（人），
答：估计成绩未达到“良好”及以上的有195人；
（3）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，
∴抽到甲、乙两人的概率为＝．