广西桂林市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题

这是一份广西桂林市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题，共35页。试卷主要包含了×0+5，计算，2+|﹣|﹣sin30°，解一元一次方程，解二元一次方程组等内容，欢迎下载使用。
广西桂林市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题
一．有理数的混合运算（共2小题）
1．（2022•桂林）计算：（﹣2）×0+5．
2．（2021•桂林）计算：|﹣3|+（﹣2）2．
二．实数的运算（共2小题）
3．（2022•桂林）计算：tan45°﹣3﹣1．
4．（2020•桂林）计算：（π+）0+（﹣2）2+|﹣|﹣sin30°．
三．解一元一次方程（共1小题）
5．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
四．一元一次方程的应用（共1小题）
6．（2021•桂林）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．
哪一种方案的施工费用最少？
五．解二元一次方程组（共2小题）
7．（2022•桂林）解二元一次方程组：．
8．（2020•桂林）解二元一次方程组：．
六．分式方程的应用（共2小题）
9．（2022•桂林）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
10．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．
（1）求每副围棋和象棋各是多少元？
（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？
七．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．

12．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，m的值和点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

八．平行四边形的性质（共2小题）
14．（2022•桂林）如图，在▱ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：△ABE≌△CDF．

15．（2021•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△DOF≌△BOE．

九．菱形的性质（共1小题）
16．（2020•桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．

一十．圆的综合题（共3小题）
17．（2022•桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．

18．（2021•桂林）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．
（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O与AD相切；
（3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．

19．（2020•桂林）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．

一十一．作图-轴对称变换（共1小题）
20．（2022•桂林）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）

一十二．作图-旋转变换（共2小题）
21．（2021•桂林）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．
（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；
（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．

22．（2020•桂林）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ 　 　，　 　）中心对称．

一十三．条形统计图（共2小题）
23．（2022•桂林）某校将举办的“壮乡三月三”民族运动会中共有四个项目：A跳长绳，B抛绣球，C拔河，D跳竹竿舞．该校学生会围绕“你最喜欢的项目是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表：
项目
内容
百分比
A
跳长绳
25%
B
抛绣球
35%
C
拔河
30%
D
跳竹竿舞
a
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　；
（2）本次调查的学生总人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）李红同学准备从抛绣球和跳竹竿舞两个项目中选择一项参加，但她拿不定主意，请你结合调查统计结果给她一些合理化建议进行选择．

24．（2020•桂林）阅读下列材料，完成解答：
材料1：国家统计局2月28日发布了2019年国民经济和社会发展统计公报，该公报中的如图发布的是全国“2015﹣2019年快递业务量及其增长速度”统计图（如图1）．

材料2：6月28日，国家邮政局发布的数据显示：受新冠疫情影响，快递业务量快速增长，5月份快递业务量同比增长41%（如图2）．某快递业务部门负责人据此估计，2020年全国快递业务量将比2019年增长50%．

（1）2018年，全国快递业务量是　 　亿件，比2017年增长了　 　%；
（2）2015﹣2019年，全国快递业务量增长速度的中位数是　 　%；
（3）统计公报发布后，有人认为，图1中表示2016﹣2019年增长速度的折线逐年下降，说明2016﹣2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，所以快递业务量也逐年减少．你赞同这种说法吗？为什么？
（4）若2020年全国快递业务量比2019年增长50%，请列式计算2020年的快递业务量．
一十四．折线统计图（共1小题）
25．（2021•桂林）某班为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投每人每次投球10个．两人5次试投的成绩统计图如图所示．
（1）甲同学5次试投进球个数的众数是多少？
（2）求乙同学5次试投进球个数的平均数；
（3）不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？
（4）学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录投进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个球即可获奖，但要取得冠军需要投进10个球．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由．


参考答案与试题解析
一．有理数的混合运算（共2小题）
1．（2022•桂林）计算：（﹣2）×0+5．
【解答】解：（﹣2）×0+5
＝0+5
＝5．
2．（2021•桂林）计算：|﹣3|+（﹣2）2．
【解答】解：原式＝3+4
＝7．
二．实数的运算（共2小题）
3．（2022•桂林）计算：tan45°﹣3﹣1．
【解答】解：原式＝1﹣
＝．
4．（2020•桂林）计算：（π+）0+（﹣2）2+|﹣|﹣sin30°．
【解答】解：原式＝1+4+﹣
＝5．
三．解一元一次方程（共1小题）
5．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【解答】解：4x﹣1＝2x+5，
4x﹣2x＝5+1，
2x＝6，
x＝3．
四．一元一次方程的应用（共1小题）
6．（2021•桂林）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．
哪一种方案的施工费用最少？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成（x+200）平方米的绿化改造面积，
依题意得：x+200+x＝800，
解得：x＝300，
∴x+200＝300+200＝500．
答：甲工程队每天能完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积．
（2）选择方案①所需施工费用为600×＝14400（元）；
选择方案②所需施工费用为400×＝16000（元）；
选择方案③所需施工费用为（600+400）×＝15000（元）．
∵14400＜15000＜16000，
∴选择方案①的施工费用最少．
五．解二元一次方程组（共2小题）
7．（2022•桂林）解二元一次方程组：．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，
∴y＝1，
∴原方程组的解为：．
8．（2020•桂林）解二元一次方程组：．
【解答】解：，
①+②，得x＝1，
将x＝1代入①得，y＝﹣1，
∴方程组的解为．
六．分式方程的应用（共2小题）
9．（2022•桂林）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
【解答】解：（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝50，
∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．
（2）该参赛队伍准备租用20套服装时，
甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），
乙商店的费用为：40×20＝800（元），
∵900＞800，
∴乙商店租用服装的费用较少．
10．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．
（1）求每副围棋和象棋各是多少元？
（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？
【解答】解：（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣8）元，
根据题意，得＝．
解得x＝18．
经检验x＝18是所列方程的根．
所以x﹣8＝10．
答：每副围棋18元，则每副象棋10元；

（2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副，
根据题意，得18m+10（40﹣m）≤600．
解得m≤25．
故m最大值是25．
答：该校最多可再购买25副围棋．
七．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．

【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：

∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，
∴四边形CC'QP是平行四边形，
∴CP＝C'Q，
∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，
∵B，Q，C'共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，
∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，
∴C'（0，3），
∵B（4，0），
∴BC'＝＝5，
∴BC'+PQ＝5+1＝6，
∴CP+PQ+BQ最小值为6；
（3）如图：

由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．
12．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，m的值和点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5），
∴5＝﹣20a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+6），
令y＝0，则﹣（x﹣3）（x+6）＝0，解得x＝3或﹣6，
∴C（3，0），
当x＝﹣5时，y＝﹣×（﹣8）×1＝2，
∴B（﹣5，2），
∴m＝2．

（2）设P（t，0），则有＝，
整理得，21t2+242t+621＝0，
解得t＝﹣或﹣，
经检验t＝﹣或﹣是方程的解，
∴满足条件的点P坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．

（3）存在．连接AB，设AB的中点为T．
①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．
∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），TA＝TB，
∴T（﹣3，），
∵C（3，0），
∴直线CT的解析式为y＝﹣x+，
由，解得（即点C）或，
∴M（﹣，），
②CM′∥AB时，满足条件，
∵直线AB的解析式为y＝x+，
∴直线CM′的解析式为y＝x﹣，
由，解得（即点C）或，
∴M′（﹣9，﹣9），
综上所述，满足条件的点M的横坐标为﹣或﹣9．

13．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），
∴2＝a（0+6）（0﹣2），
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；
针对于抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2），
令y＝0，则﹣（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝﹣6，
∴A（﹣6，0）；

（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∵C（0，2），
∴OC＝OE＝2，
∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，
∵△CME是等腰三角形，
∴①当ME＝MC时，
∴∠ECM＝∠CED＝45°，
∴∠CME＝90°，
∴M（﹣2，2），
②当CE＝CM时，
∴MM1＝CM＝2，
∴EM1＝4，
∴M1（﹣2，4），
③当EM＝CE时，
∴EM2＝EM3＝2，
∴M2（﹣2，﹣2），M3（﹣2，2），
即满足条件的点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；

（3）如图2，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，
∴D（﹣2，），
令y＝0，则（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣6或x＝2，
∴点A（﹣6，0），
∴直线AD的解析式为y＝x+4，
过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，
∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，
由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，
由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP，
∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），
∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，
设点P（m，n），
∴OQ＝m，PQ＝n，
∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，
∴点P'（n﹣2，2+m），
∵点P'在直线AD上，
∴2+m＝（n﹣2）+4①，
∵点P在抛物线上，
∴n＝﹣（m+6）（m﹣2）②，
联立①②解得，m＝或m＝，
即点P的横坐标为或．


八．平行四边形的性质（共2小题）
14．（2022•桂林）如图，在▱ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：△ABE≌△CDF．

【解答】证明：（1）∵BF＝DE，BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，且AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
15．（2021•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△DOF≌△BOE．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠2；

（2）∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS）．
九．菱形的性质（共1小题）
16．（2020•桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝tan30°BE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．

一十．圆的综合题（共3小题）
17．（2022•桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴cos∠DAB＝cos∠COE＝＝＝；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴EC＝＝＝2x，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴＝＝＝．
18．（2021•桂林）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．
（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O与AD相切；
（3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．

【解答】证明：（1）∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠AEB＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，
∴△ECD∽△ABE；
（2）延长DE、AB交于点P，作OH⊥AD于H，

∵E为BC的中点，
∴CE＝BE，
在△DCE和△PBE中，
，
∴△DCE≌△PBE（ASA），
∴DE＝PE，
∵AE⊥DP，
∴AE垂直平分DP，
∴AD＝AP，
∴∠DAO＝∠GAO，
∵OH⊥AD，OG⊥AB，
∴OH＝OG，
∴⊙O与AD相切；
（3）如图，连接OF，

在Rt△ABE中，∵BC＝6，AB＝3，
∴tan∠AEB＝，
∴∠AEB＝60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴AE＝2BE＝6，
设半径为r，
∴AO＝2OG，
∴6﹣r＝2r，
∴r＝2，
∵∠GOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOG＝60°，
∴S阴影＝＝．
19．（2020•桂林）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．

【解答】证明：（1）如图，连接OD，OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；

（2）由（1）知，A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，且AD＝BD，
∴，
∴CD平分∠ACB；

（3）由（2）知，∠BCD＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BEC＝75°，
∴∠AED＝75°，
∵DF∥BC，
∴∠BFD＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，
∵∠DFE＝∠BFD，
∴△DEF∽△BDF，
∴，
∴DF2＝BF•EF，
连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，
在Rt△DOF中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，
∴OB2+OF2＝BF•EF，
即BO2+OF2＝EF•BF．

一十一．作图-轴对称变换（共1小题）
20．（2022•桂林）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）

【解答】解：（1）如图1，

（2）如图2，

（3）图1是W，图2是X．
一十二．作图-旋转变换（共2小题）
21．（2021•桂林）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．
（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；
（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．

【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所求．
（2）如图，线段A2B2即为所求．

22．（2020•桂林）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ 　﹣2　，　0　）中心对称．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．
故答案为：﹣2，0．
一十三．条形统计图（共2小题）
23．（2022•桂林）某校将举办的“壮乡三月三”民族运动会中共有四个项目：A跳长绳，B抛绣球，C拔河，D跳竹竿舞．该校学生会围绕“你最喜欢的项目是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表：
项目
内容
百分比
A
跳长绳
25%
B
抛绣球
35%
C
拔河
30%
D
跳竹竿舞
a
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）填空：a＝　10%　；
（2）本次调查的学生总人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）李红同学准备从抛绣球和跳竹竿舞两个项目中选择一项参加，但她拿不定主意，请你结合调查统计结果给她一些合理化建议进行选择．

【解答】解：（1）a＝1﹣35%﹣25%﹣30%＝10%，
故答案为：10%；
（2）25÷25%＝100（人），
答：本次调查的学生总人数是100人；
（3）B类学生人数：100×35%＝35，

（4）建议选择跳竹竿舞，因为选择跳竹竿舞的人数比较少，得名次的可能性大．
24．（2020•桂林）阅读下列材料，完成解答：
材料1：国家统计局2月28日发布了2019年国民经济和社会发展统计公报，该公报中的如图发布的是全国“2015﹣2019年快递业务量及其增长速度”统计图（如图1）．

材料2：6月28日，国家邮政局发布的数据显示：受新冠疫情影响，快递业务量快速增长，5月份快递业务量同比增长41%（如图2）．某快递业务部门负责人据此估计，2020年全国快递业务量将比2019年增长50%．

（1）2018年，全国快递业务量是　507.1　亿件，比2017年增长了　26.6　%；
（2）2015﹣2019年，全国快递业务量增长速度的中位数是　28.0　%；
（3）统计公报发布后，有人认为，图1中表示2016﹣2019年增长速度的折线逐年下降，说明2016﹣2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，所以快递业务量也逐年减少．你赞同这种说法吗？为什么？
（4）若2020年全国快递业务量比2019年增长50%，请列式计算2020年的快递业务量．
【解答】解：（1）由材料1中的统计图可得：2018年，全国快递业务量是507.1亿件，比2017年增长了26.6%；
（2）由材料1中的统计图可得：2015﹣2019年，全国快递业务量增长速度的中位数是28.0%；
（3）不赞同，理由：由图1中的信息可得，2016﹣2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加；
（4）635.2×（1+50%）＝952.8（亿件），
答：2020年的快递业务量为952.8亿件．
故答案为：507.1，26.6，28.0．
一十四．折线统计图（共1小题）
25．（2021•桂林）某班为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投每人每次投球10个．两人5次试投的成绩统计图如图所示．
（1）甲同学5次试投进球个数的众数是多少？
（2）求乙同学5次试投进球个数的平均数；
（3）不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？
（4）学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录投进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个球即可获奖，但要取得冠军需要投进10个球．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由．

【解答】解：（1）甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8，
∴众数是8；
（2）乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10，
∴＝＝8；
（3）由折线统计图可得，
乙的波动大，甲的波动小，故S乙2＞S甲2，
∴甲同学的投篮成绩更加稳定；
（4）推荐甲同学参加学校的投篮比赛，
理由：由统计图可知，甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8，
乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10，
∴甲获奖的机会大，而且S乙2＞S甲2，甲同学的投篮成绩更加稳定，
∴推荐甲同学参加学校的投篮比赛．