13.3等腰三角形 人教版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

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13.3等腰三角形人教版初中数学八年级上册同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）如图，在，，为上一点，且，，则的大小为(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，已知是等边三角形，点，，，在同一直线上，且，，则的度数为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在等腰中，为的平分线，，，，则(    )A.
B.
C.
D.
 在螳螂的示意图中，，是等腰三角形，，，则(    )
A.  B.  C.  D. 如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，直线，的顶点在直线上，边与直线交于点，若是等边三角形，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 无法判断如图，是等腰三角形，，，平分；点是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，那么的度数是．(    )A. 或
B. 、或
C. 或
D. 、或已知等边三角形的边长为，则此三角形的面积为(    )A.  B.  C.  D. 如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在矩形中，，将沿对角线对折，得到，与交于，，则(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为________厘米秒时，能够在某一时刻使与全等．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分若，则的长是____．
 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为______ ．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，与相交于点，则的度数为______．
   三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
 若，求的度数；   求证：   如图，在中，，是的中点，，垂足为，，求的度数．
 
如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且求证：．
 
如图，在中，，，，求的度数．
如图，平分交于，点为上一点，且，交于点求证．
 
如图，在中，．
利用尺规，作边的垂直平分线交于点，交开点不写作法，保留作图痕迹
在中，连接，若，试求出的度数．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此题考查的是等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及三角形外角性质，根据可得，由得，证得，由可得，在中利用三角形内角和定理可求出．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，
设，则，
又，
，
，
．
故选B．  2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是利用外角性质得出，，由于是等边三角形，那么，而，那么，而是的外角，可得，同理有，等量代换有，即可求．
【解答】
解：如图所示，

是等边三角形，
，
，
，
，
同理有，
，
．
故选C．  3.【答案】 【解析】解：在等腰中，为的平分线，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和判定得出，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出解答．
 4.【答案】 【解析】解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．
延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
由三角形外角的性质即可求得的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：延长交于点设交于点．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
故选：．
首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．
本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
 6.【答案】 【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据平行线的性质求出即可．
本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，能熟记等边三角形的性质是解此题的关键．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，由于中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】
解：当时，如图所示，

，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，

，，
，
平分，
，
，
，
．
当时，如图所示，
，，

，
平分，
，
，
，
，
故选D．  8.【答案】 【解析】解：过作于，

是等边三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
等边的面积，
故选：．
根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：是等边三角形，
．
在中，，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据等边三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．
本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，，
．
由翻折的性质可知：，，，
．
，
解得：
故选：．
先求得，由翻折的性质可得到，于是可求得，最后依据特殊锐角三角函数值可求得的长．
本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数值，求解的度数是解题的关键．
 11.【答案】或 【解析】解：设经过秒后，使与全等，
厘米，点为的中点，
厘米，
，
要使与全等，必须或，
即或，
解得：或，
时，，；
时，，；
即点的运动速度是厘米秒或厘米秒，
故答案为：或
首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：平分，且，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可．
本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键．
 13.【答案】或 【解析】解：如图，中，，，，求的度数．
，，，
，，
，
，
，
，
，
如图，中，，，求的度数．
，，

，
，
，
．
故答案为：或．
首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
 14.【答案】． 【解析】解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
．
故答案为：．
证明≌，利用全等三角形的性质得到，则由图示知，即，所以根据三角形内角和定理求得．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．证明≌是解题的关键．
 15.【答案】解：，
，
，
，
，，
，
，
．

证明：平分，
，
，
，
，
．

 【解析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明，再利用等腰三角形的性质求出即可解决问题．
只要证明即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 16.【答案】解：，为的中点，等腰三角形，三线合一，，为的角平分线，，又，． 【解析】本题主要考查了等腰三角形三线合一定理、与角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键在于判断出为的角平分线．根据题意可得，为等腰三角形，等腰三角形三线合一，故AD为的角平分线，即可得到的度数，且，的度数即可求得．
 17.【答案】证明：连接．
 ，是的中点，．在和中，．． 【解析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，连接，结合等腰三角形的性质可得，通过证明≌可证明结论．
 18.【答案】解：设，，
，，，，，，，，，在中，，解得．，．． 【解析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理和角的计算等知识 设，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，，最后利用三角形内角和定理列出方程求解即可．
 19.【答案】证明：如图，过点作，交的延长线于点，则．
 在和中，．．，，
．．平分，
．
G.
．
，
． 【解析】见答案．
 20.【答案】解：如图所示，直线为所求作的图形；

设，
垂直平分，
，
，
，
又，
，
在三角形中：，
即：，
解得，
． 【解析】根据要求作出图形即可；
设，利用三角形内角和定理构建方程，可得结论．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，学会利用参数构建方程解决问题．