知识点17 反比例函数图象、性质及其应用2018--2

这是一份知识点17 反比例函数图象、性质及其应用2018--2，共38页。试卷主要包含了 ．，，作轴，垂足为点，连结，，两点，连接OA，OB．，2分等内容，欢迎下载使用。
三、解答题
1. （2018山东滨州，24，13分） 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．
（1）求图像过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图像过点A、B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图像在所求反比例函数的图像下方时，请直接写出自变量x的取值范围．

第24题图
【思路分析】本题考查了求反比例函数、一次函数的解析式，数形结合比较函数大小。解答关键是根据待定系数法求出反比例和一次函数的解析式，再根据函数图象得出自变量x的取值范围．
（1）根据勾股定理结合菱形的性质求出点B的坐标，再根据待定系数法确定反比例函数的解析式；
（2）先求出A点坐标，再利用A，B两点坐标求出直线AB的解析式；
（3）观察函数图象，得出一次函数的图像在反比例函数的图象下方时的自变量x的取值范围．

【解题过程】
（1）如图，C（1，），过C作CH⊥OA于H，则OH＝1，CH＝，由勾股定理可得OC＝2，
又因为是菱形，故B（3，）。所以反比例函数解析式为y＝．

第24题答图
（2）由（1）可知OA＝2，故A（2，0），又B（3，），待定系数法求出一次函数解析式
为y＝x－2；
（3）由图可知，2＜x＜3.
【知识点】勾股定理、菱形的性质、待定系数法求解析式、数形结合思想

2. （2018四川泸州，23题，8分） 一次函数的图象经过点A(-2，12)，B(8，-3) .
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如图9，该一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点C（），
D（），与轴交于点E，且CD=CE，求的值.

第23题图
【思路分析】（1）已知直线上两点坐标，利用待定系数法求得一次函数解析式；（2）由CD=DE入手，找到C、D两点左边的关系，进而结合一次函数、反比例函数，利用数形结合思想进行求解
【解题过程】（1）因为一次函数的图象经过点A(-2，12)，B(8，-3)，所以12=-2k+b，-3=8k+b，解得k=-1.5，b=9，所以一次函数解析式为：y=-1.5x+9
（2）过点C作CM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，因为EC=CD，所以OM=MN，因为C（），
D（），所以x2=2x1，因为E（0,9），所以9-y1=y1-y2，可得m=6x1，所以反比例函数表达式为，当x=x1时，y=6，即C（x1,6），因为点C在直线y=-1.5x+9上，可得C（2,6），所以m=12，反比例函数表达式为
M
N

【知识点】待定系数法，一次函数，反比例函数，平行线分线段成比例

3. （2018四川绵阳，22，11分）如图，一次函数的图象与反比例函数（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.

【思路分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出|k|=1，进而得到反比例函数的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A′B的长；利用待定系数法求出直线A′B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标．
【解题过程】解：（1）∵反比例函数y=（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，
又∵△AOM面积为1，
∴|k|=1，
∵k＞0，
∴k=2，
故反比例函数的解析式为：y=；

（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则PA+PB最小．
由，解得或，
∴A（1，2），B（4，），
∴A′（﹣1，2），最小值A′B==．
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
则，解得，
∴直线A′B的解析式为y=﹣x+，
∴x=0时，y=，
∴P点坐标为（0，）．


【知识点】反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，最短路线问题

4. （2018浙江金华丽水，23，10分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
P
y
x
O
A
B
C
D
第23题图
第23题备用图
B
y
x
O

【思路分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数与四边形的综合运用．（1）①根据题意，先求得点A、点B的坐标，然后用待定系数法可得直线AB的函数表达式．②点P是BD的中点，且BD⊥AC于点P，根据菱形的判定只需证PA＝PC即可．
（2）假设四边形ABCD能成为正方形．由正方形的性质设PA＝PB＝PC＝PD＝t，则点A的坐标是（4－t，＋t），点D的坐标是（4，8－）．由得4×（8－）＝n．整理可得m＋n的值．
【解题过程】解：（1）①当x＝4时，y＝＝1，∴点B的坐标是（4，1）．
当y＝2时，由y＝得x＝2，∴点A的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b．
∴解得
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3．
②四边形ABCD为菱形．理由如下：
由①得点B（4，1），点D（4，5），
∵点P为线段BD的中点，∴点P的坐标为（4，3）．
当y＝3时，由y＝得x＝，由y＝得x＝，
∴PA＝4－＝，PC＝－4＝，
∴PA＝PC．
而PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形．
（2）四边形ABCD能成为正方形．
当四边形ABCD是正方形时，PA＝PB＝PC＝PD（设为t，t≠0）,
当x＝4时，y＝＝，∴点B的坐标是（4，）．
则点A的坐标是（4－t，＋t）．
∴（4－t）（＋t）＝m．化简得t＝4－，
∴点D的坐标是（4，8－）．
所以4×（8－）＝n．整理得m＋n＝32．
【知识点】待定系数法求一次函数表达式；反比例函数；菱形的判定；正方形的性质；

5. （2018甘肃白银，25，10分） 如图，一次函数的图像与反比例函数（为常数，且的图像交于A（-1，)，B两点，与轴交于点C.
（1）求反比例函数的表达式。
（2）若点P在 轴上，且,求点P的坐标。
第25题图


【思路分析】（1）将点A的坐标代入一次函数中求出A点坐标，然后将A点坐标代入反比例函数解析式中可求。
（2）设出点P的坐标，然后求出△BOC的面积，建立方程可求出P点坐标。
【解题过程】解：（1）∵一次函数经过点A（-1，)，
∴-1+4=，∴=3
∴A点坐标是（-1，3)，
∵反比例函数经过点A(-1,3)
∴=-1×3=-3.
∴反比例函数的表达式是：。
（2）联立一次函数与反比例函数的解析式得：，解得：，
∵点A的坐标是(-1,3)，∴点B的坐标是（-3，1）
∵一次函数交轴于点C
∴C点坐标是（-4，0）,
∴CO=4
∴==2
∵点P在轴上，所以设点P的坐标是（，0）
∴CP=
∴△ACP中CP边上的高就是A点的纵坐标的绝对值即 △ACP中CP边上的高为3.
∴
∵
∴=
∴，即或
∴或
∴点P的坐标是（-2，0）或（-6，0）

【知识点】待定系数求函数的解析式，求一次函数与反比例函数的交点坐标，三角形的面积公式。

6.（2018湖南岳阳，19，8分） 如图，某反比例函数图象的一支经过点和点（点在点的右侧），作轴，垂足为点，连结，.

（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若的面积为6，求直线的表达式.

【思路分析】（1）首先设反比例函数的解析式为，然后把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）根据三角形的面积求出B的坐标，设直线AB的解析式是y=mx+n，把A、B的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可．
【解题过程】解：（1）设反比例函数的解析式为，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴将代入，得k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为.
（2） 设B(x，)，则C(0,),
点A到BC的距离d=3-，BC=x，
S△ABC=，
∵S△ABC=6，
∴，解得x=6，
∴B（6，1）.
设AB的表达式为y=mx+n，则
，解得，
∴直线AB的表达式为.
【知识点】待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，三角形的面积计算公式


7. （2018江苏连云港，第23题，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=的图像交于A(4，－2)、B(－2，n)两点，与x轴交于点C.

(1)求k2、n的值;
(2)请直接写出不等式k1x+b