知识点17 反比例函数图象、性质及其应用2018--1

这是一份知识点17 反比例函数图象、性质及其应用2018--1，共64页。
一、选择题
1. （2018江苏连云港，第8题，3分）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图像上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A(1，1)，∠ABC=60°，则k的值是
A．－5 B．－4 C．－3 D．－2

【答案】C
【思路分析】过点B作BE⊥x轴于点E.根据点A的坐标，求出点到OA的长度，根据菱形的性质可知△ABO是直角三角形，利用锐角三角函数，求出OB的长度，进而求出∠BOE=45°，利用锐角三角函数即可求得点B的坐标即可解答.
【解题过程】解：过点B作BE⊥x轴于点E.
∵A(1，1)，∴OA=，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC⊥BD，∠BAO=30°，在Rt△ABO中，OB=，∵点A(1，1)，∴点A、点C在第一、第三象限的角平分线上，即∠COE=45°，∴∠BOE=45°，在Rt△OBE中，OE=BE=OB•sin∠BOE=，∴点B(，)，∵点B在反比例函数图象上，∴k=xy=－3，故选C.

【知识点】锐角三角函数；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质

2. （2018江苏无锡，6，3分）已知点P(a，m)，点Q(b，n)都在反比例函数的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A. m+n＜0 B. m+n＞0 C. m＜n D. m＞n
【答案】D
【解析】∵k=-2＜0，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，
∵a＜0＜b，
∴点P(a，m)位于第二象限，点Q(b，n)位于第四象限，
∴ m＞0 ，n＜0，
∴m＞n.
【知识点】反比例函数图象的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征、有理数的大小比较


3. （2018·重庆B卷，11，4）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为 （ ）
A． B．3 C． D．5
11题图

【答案】C．
【解析】．∵菱形ABCD的边AD⊥y轴，点C的横坐标为5，
∴BC＝5，DE＝1．
∵BE＝3DE，
∴BE＝3．
令OB＝m，则OE＝m＋3，C(5，m)，D(1，m＋3)，由C、D两点均在双曲线y＝上，得5m＝m＋3，解得m＝，从而k＝5m＝，故选C．
【知识点】反比例函数 菱形 反比例函数的图像与性质

4. （2018湖南衡阳，11，3分） 对于反比例函数y=-，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当时，随的增大而增大
C．图象经过点
D．若点，都在图象上，且，则
【答案】D.
【解析】解A、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B、k=-2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、把x=1代入y=-中，得y=-=-2，∴点（1，-2）在它的图象上，故本选项正确；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=-的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．
故选：D．
【知识点】反比例函数的图象与性质

5. （2018山东临沂，12，3分）如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函y2＝的图象相交A、B两点，其中点A的横坐标为1，当y1＜y2时，x的取值范围是( )

第12题图
A．x＜－1或x＞1 B．－1＜x＜0或x＞1
C．－1＜x＜0或0＜x＜1 D．x＜－1或0＜x＜1
【答案】D
【解析】由反比例函数图象的中心对称性，正比例函数y1＝k1x与反比例函y2＝的图象交点A的横坐标为1，所以另一个交点B的横坐标为－1，结合图象知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜－1或0＜x＜1，故选D.
【知识点】反比例函数 正比例函数 不等式解集

6.（2018山东威海，3，3分） 若点（－2，y1），（－1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【答案】D
【解析】如图，反比例函数y＝（k＜0）的图象位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大，
而－2＜－1＜0＜3，∴y3＜y1＜y2．故选D．

【知识点】反比例函数的图象与性质

7. （2018天津市，9，3） 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】分析：本题考查反比例函数的图象与性质，分别杷各点代入，可得，，的值，进而可得其大小关系.
解：把点，，分别代入可得，，， 即可得，
故选B

【知识点】反比例函数的图象与性质；代入求值；比较大小

8. （2018浙江湖州，6，3）如图，已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（ ）
A．（－1，－2） B．（－1，2） C．（1，－2） D．（－2，－1）
N
M
y
x
O

【答案】A
【解析】∵点M，N都在反比例函数的图象上，且两点的连线经过原点，∴M，N关于原点对称．∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（－1，－2）．故选A.
【知识点】反比例函数，一次函数


9.（2018宁波市，10题，4分） 如图，平行于x轴的直线与函数y=k1x(k1>0，x>0)，y=k2x(k2>0，x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为
A．8 B．-8 C．4 D．-4

【答案】A
【解析】解：设点A的坐标为（xA,yA）,点B的坐标为（xB,yB），点C的坐标为（xC ,0）
过点C作CD⊥AB交AB的延长线与点D
∵AB= xA -xB；CD=yD-yC=yA-yC=
∴S△ABC=12AB∙CD=12(xA –xB) (yA-yC)
=12(xA –xB) yA
=12(xAyA –xByB)
=12(k1-K2)
=12(k1-k2)

即4=12(k1-k2)
所以：k1-k2=8
【知识点】反比例函数|k|的几何意义

10. （2018浙江温州，9，4）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1,2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D.

【答案】B
【思路分析】利用AB两点的横坐标求出CD两点的纵坐标用k表示后，再用k表示△OAC与△ABD的面积之和，再利用△OAC与△ABD的面积之和为，列出关于k的方程求解即可。
【解题过程】因为AB在反比例函数上，所以A(1，1)B(2，)，又因为AC//BD//y轴利用平行于y轴的点横坐标相等，所以利用A点的横坐标是1求出C点的横坐标也是1，B点的横坐标是2所以D横坐标也是2。代入得到C(1，k)D(2, )所以AC=k-1 , BD=，因为对应的高都是1，所以△OAC面积=，△ABD的面积=，所以△OAC与△ABD的面积之和=，解得k=3故选B
【知识点】反比例函数的图像性质，三角形面积公式，平行于y轴的点横坐标相等，解一元一次方程。1. （2018湖南郴州，8，3）如图，A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1


【答案】B
【思路分析】过A，B两点分别作AC⊥轴，BD⊥轴，垂足分别为C、D，根据反比例函数关系式分别求得A、B两点的坐标，从而表示出相关线段的长度，计算出梯形ACDB的面积，再由反比例函数值的几何意义推出，进而可计算出△OAB的面积.
【解析】解：过A，B两点分别作AC⊥轴，BD⊥轴，垂足分别为C、D，∵A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴A，B两点的坐标分别为（2,2），（4，1），∴AC=2,BD=1,DC=2, ∴，观察图形，可以发现：，而，∴.

【知识点】反比例函数图象的性质

2. （2018四川遂宁，7，4分） 已知一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0)的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（ ）
A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3

【答案】A.
【解析】解：∵y1＞y2，
∴根据图象可得当1＜x＜3时y1的图象在y2的上方，
∴自变量x满足的条件是1＜x＜3.
故选A.
【知识点】函数图象的交点

3. （2018·重庆A卷，11，4）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
11题图

【答案】D．
【解析】设点A(1，k)，则由点A、B均在双曲线y＝上，得B(4，)，由菱形ABCD的面积为，得AC•BD＝×2(k－)×6＝，解得k＝5，故选D．
【知识点】反比例函数 菱形 反比例函数的图像与性质

4. （2018甘肃天水，T8，F4）在同一平面直角坐标系中，函数y=x+1与函数y=1x的图像可能是（ ）

第8题图
【答案】B.
【思路分析】首先根据一次函数y=x+1的系数可知其经过的象限，反比例函数y=1x位于的象限，再判断即可.
【解析】一次函数y=x+1经过一，二，三象限，反比例函数y=1x位于一，三象限，所以B符合题意.
【知识点】反比例函数图像，一次函数图像

5. （2018广东广州，9，3分）一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一直角坐标系中大致图像是（ ）

【答案】A
【思路分析】由选项中直线的位置，确定a、b的符号，结合反比例函数的图像经过（－1，a－b）进行判断．
【解析】由A、B中直线的位置，可知a＞0，b＞0，而当x＝－1时，y＝－a＋b＜0，从而a－b＞0，反比例函数图像应该在第一、三象限，故选项B错误；由C、D中直线的位置，可知a＜0，b＞0，而当x＝－1时，y＝－a＋b＞0，从而a－b＜0，反比例函数图像应该在第二、四象限，故选项C、D错误；故答案为A．
【知识点】一次函数的图像与性质；反比例函数的图像与性质


6.（2018贵州遵义，11题，3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=(x>0)的图像上，则经过点B的反比例函数解析式为
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=

第11题图
【答案】C
【解析】过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，由三垂直模型，易得△BNO∽△OMA，相似比等于，Rt△AOB中，∠OAB=30°，所以，所以，因为点A在双曲线y=上，所以S△AOM=3，所以S△BNO=1，故k=-2，经过点B的反比例函数解析式为y=，故选C
N
M

第11题解图
【知识点】相似三角形，反比例函数，k的几何意义

7. （2018江苏淮安，4，3）若点A (-2,3)在反比例函数的图像上，则k的值是
A.-6 B. -2 C. 2 D. 6

【答案】A
【解析】本题考查反比例函数图象上点的特征，则点在图象上，可知点的坐标满足解析式，进而可得结果.
解：知点在反比例函数的图象上，可得k=-2×3=-6
故选：A．
【知识点】反比例函数图象上点的特征: 反比例函数

8. （2018江西，6，3分）在平面直角坐标系中，分别过点A(m，0)，B(m＋2，0)作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y＝的关系，下列结论中错误的是(　　)
A. 两直线中总有一条与双曲线相交
B. 当m＝1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C. 当－2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧
D. 当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2
【答案】D
【解析】当m＝0或m＝－2，只有一条直线与双曲线相交，当m≠0或m≠－2时，有两条直线与双曲线相交，所以两直线中总有一条与双曲线相交，则A正确；当m＝1时，l1与双曲线交点(1，3)，l2与双曲线交点(3，1)，与原点距离都为，则B正确；当－2＜m＜0时，0＜m＋2＜2，l1在y轴左侧，l2在y轴右侧，∴当－2＜m＜0时，与双曲线的交点在y轴的两侧，则C正确；当l1和l2在y轴同侧时，如解图，在Rt△CDE中，CD＝，∵DE＝AB＝2，∴CD＞2，当l1和l2在y轴异侧时，同理可得．∴当两直线与双曲线都有交点的时候，最短距离大于2，则D错误．


第6题解图
【知识点】反比例函数，直线，勾股定理

9.（2018山东省日照市，9，3分）已知反比例函数y=-,下列结论：①图象必经过（-2，4）；②图象在二、四象限内；③y随x的增大而增大；④当x>-1时，则y>8.其中错误的结论有（ ）个
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】将（-2，4）代入y=-成立，①正确；k=-88，④错误，所以正确的结论有2个，故选B.
【知识点】反比例函数性质


10. （2018广东省深圳市，12，3分）如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )

①；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则平分；④若S△BOP＝4，则S△ABP＝16．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B．
【思路分析】设点P的坐标为（a，b），则点A、B的坐标可分别表示为A（，b），B（a，），取特殊值P（3，1）验证，得到OA≠OB，故△AOP不可能全等于△BOP，故①错误；由AP＝xA－x p＝－a，BP＝yA－y p＝－b，表示出S△AOP和S△BOP，可得②正确；过点P作PD⊥OB于点D，过点P作PE⊥OA于点E，由S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，可证出Rt△BCE≌Rt△DCG，说明③正确；计算出可知S△BOP 和S△ABP的值，得知④错误．
【解析】设点P的坐标为（a，b），则点A、B的坐标可分别表示为A（，b），B（a，），取特殊值验证，当点P的坐标为（3，1）时，点A、B的坐标可分别表示为A（12，1），B（3，4），则OA＝，OB＝，OA≠OB，故△AOP不可能全等于△BOP，故①错误；AP＝xA－x p＝－a，BP＝yA－y p＝－b， S△AOP＝AP·yA＝（－a）·b＝6－ab，S△BOP＝AP·yA＝（－b）·a＝6－ab，∴S△AOP＝S△BOP，故②正确；如上图（1），过点P作PD⊥OB于点D，过点P作PE⊥OA于点E，∵S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，∴PD＝PE，则在Rt△BCE和Rt△DCG中，∵，∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL），∴∠BOP
＝∠AOP，故③正确；∵S△BOP＝6－ab＝4，∴ab＝4，∴S△ABP＝AP·BP＝（－a）·（－b）＝（－12－12＋ab）＝×（－12－12＋4）＝8，故④错误，故选B．
【知识点】反比例函数；两点间距离公式；勾股定理；三角形的面积公式；全等三角形的判定；

11. （2018广西玉林，10题，3分）如图，点A、B在双曲线y=(x>0)上，点C在双曲线y=(x>0)上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于
A. B. C.4 D.

第10题图
【答案】B
【解析】点A、B在双曲线y=(x>0)上，点C在双曲线y=(x>0)上，若AC∥y轴，BC∥x轴，设C(t,)，则B(3t,)，A(t,)，因为AC=BC，所以2t=，解得t=1，故C(1,3)，则B(3,1)，A(1,1)，所以Rt△ABC中，AB=，故选B
【知识点】反比例函数，待定系数法
二、填空题
1. （2018山东滨州，18，5分）若点A（－2，y1），B（－1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_______________．
【答案】y3＞y1＞y2
【解析】反比例函数y＝＝,(k－1)2＋2＞0,故该反比例函数的图象的两个分支，分别在第一象限和第三象限，在每一象限内，y随着x的增大而减小，因此，y3＞y1＞y2．
【知识点】配方法、数形结合、反比例函数的图像性质

2. （2018四川内江，16，5）已知A、B、C、D是反比例函数y＝(x＞0)图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）．

【答案】5π－10
【思路分析】根据A、B、C、D是反比例函数y＝(x＞0)图象上四个整数点，可求得A、B、C、D四个点的坐标，可得每个小正方形的边长，然后根据每个橄榄形可以看做是半圆的面积减去一个小正方形的面积，可求得每个橄榄形面积，最后求和．
【解题过程】解：∵A、B、C、D是反比例函数y＝(x＞0)图象上四个整数点，∴A(1，8)，B(2，4)，C(4，2)，D(8，1) ，∴以A、B、C、D四个点为顶点的正方形边长分别为1，2，2，1，∵每个橄榄形的面积＝S半圆－S正方形，∴过A、D两点的橄榄形面积和＝2×(π×12－12)＝π－2，过B、C两点的橄榄形面积和＝2×(π×22－22)＝4π－8，故这四个橄榄形的面积总和＝π－2＋4π－8＝5π－10．
【知识点】反比例函数；扇形面积；正方形性质


3. （2018浙江衢州，第15题，4分）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD＝2，S△BCD＝3，则S△AOC＝________。

第15题图
【答案】5
【解析】本题考查了反比例函数图形与性质，，解题的关键是正确理解反比例函数中K的含义. 结合△BCD的面积求得其高的长度，从而得到△OBD的面积，根据的几何意义可知两个三角形面积相等，从而得到答案。∵△BCD的面积=3，BD=2，∴CD=3，又∵点C坐标为（2,0）∴OD=5，连接OB，则△BOD的面积==5,
根据反比例函数的性质可得：△AOC的面积也是5.
【知识点】反比例函数图形与性质

第15题图

4. （2018安徽省，13，5分）如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2，m),AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l，则直线l对应的函数表达式是 。
【答案】y=x-3
【解析】将点A(2，m)代入反比例函数y=，得，所以交点A(2，3)，正比例函数y=x，
又AB⊥x轴于点B，所以点B(2，0)，而平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l，所以直线l的斜率为，所以可设直线直线l的函数表达式为y=x+b, 点B(2，0)代入可得b=-3, 所以直线l对应的函数表达式是y=x-3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题．

5. （2018江苏连云港，第12题，3分）已知A(－4， y1)、B(－1， y2)是反比例函数y=图像上的两个点，则y1与y2的大小关系为__________.
【答案】y1＜y2
【解析】解：∵k=－4，∴y随x的增大而增大，∵－4＜－1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2.
【知识点】反比例函数的图象和性质

6.（2018四川省成都市，25，4） 设双曲线y＝(k＞0)与直线y＝x交于A、B两点(点A在第三象限)，将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P、Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当双曲线y＝(k＞0)的眸径为6时，k的值为 ．

【答案】
【思路分析】由眸径为6得OP＝3，求得P点坐标，根据y＝与直线y＝x交于A、B两点，求出A、B两点坐标根据平移规律得到P的对应点坐标，代入双曲线y＝解析式中，即可求得k的值．
【解题过程】解：连接PA，作BP´∥AP．则四边形PABP´为平行四边形，且P´在双曲线y＝上．∵y＝与直线y＝x交于A、B两点，∴x＝，解得x＝±，∴A(－，－)，B(，)，根据题意可得OP＝3，∴P(－，)，∵四边形PABP´为平行四边形，∴PP´∥AB，PP´＝AB，∴P´(－＋2，＋2)，代入y＝中，得(－＋2)(＋2)＝k，解得k＝．

【知识点】反比例函数；平移；


7. （2018浙江绍兴，15，3分）过双曲线的动点作轴于点，是直线上的点，且满足，过点作轴的平行线交此双曲线于点.如果的面积为8，则的值是 ．
【答案】 12或4
【解析】
（1）中，，PC∥x轴，可得，，，可求，即=4

第15题（1）答图
（2）由,，可得，，即






第15题（2）答图

【知识点】反比例函数的图像和性质、相似三角形的判定和性质

8. （2018江苏省盐城市，14，3分）如图，点D为矩形OABC的边AB的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k＝___________．

【答案】4
【解析】设点D的坐标为（x，y），则点E的坐标为（2x，y）．
∵△BDE的面积＝·x·y＝1，∴xy＝4＝k．
【知识点】反比例函数系数k的意义

9.（2018山东省济宁市，15，3）如图，点A是反比例函数y=(x＞0)图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C.过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是_______.

【答案】2-2
【解析】根据直线y=kx+b与两坐标轴分别交于点B，C两点，则点B坐标为(-，0)、点C坐标为(0，b)，而△BOC的面积为4，则×·b=4，即k=，则直线表达式为y=x+b.设点A坐标为(m，)，则·m+b=，即b2m2+8bm=32，解得bm=4-4（负值舍去），∵S△COD=CO·DO=bm=2-2，因此，本题答案为：2-2．
【知识点】反比例函数的图像性质 一次函数的图像性质 解一元二次方程 整体思想

10. （2018山东威海，15，3分） 如图，直线AB与双曲线y＝（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限，连接PO并延长交双曲线于点C，过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（－2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为，△CDE的面积为．当时，点P的横坐标x的取值范围是______．

【答案】－6＜x＜－2
【解析】直线AB过点B(－6，1)，A（－2，3）可得，解得，所以y＝x＋4．
设P(a，a＋4)，S△COE ＝＝3．由＞3得a2＋8a＋12＜0，（a＋2）（a＋6）＜0，故－6＜a＜－2，即
点P横坐标的取值范围为－6＜a＜－2．
【知识点】一次函数与反比例函数的图象交点，反比例系数的几何意义

11. （2018山东烟台，15，3分） 如图，反比例函数的图象经过£ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，£ABCD的面积为6，则k= .

【答案】－3
【解析】连接OP，∵C，D在坐标轴上，BD⊥DC，∴BD∥y轴，∴S△OPD=S△APD．∵£ABCD对角线的交点P，£ABCD的面积为6，∴S△APD==．又∵S△OPD=S△APD==，∴=3．又∵反比例函数的图象在第二象限，∴k＜0，∴k=－3．

过P点作PH⊥y轴于H，∵£ABCD，∴BP=DP，AB//CD
∵BD⊥DC，∴∠PDO=∠DOH=∠OHP=90°
∴四边形PDOH是矩形.又AB//CD，
∴
∵BP=DP
∴，又k0)的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k= .


【答案】8
【思路分析】由题意可得△ABC∽△EOB，推出比例式，,再利用即可。
【解析】在,
又,,，
∴△ABC∽△EOB，∴，∴
∵∴，∴。
【知识点】反比例函数、相似三角形，直角三角形性质，三角形面积

13. （2018湖北省孝感市，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，过点作轴交双曲线于点，连接，则的面积为 ．

【答案】7
【解析】如图，作AF⊥x轴于点F，DG⊥EC于点G，BH⊥EC于点H,
∵点的坐标为，∴AF=1，∠AFB=∠H=90°.
∵CE∥x轴，正方形ABCD，∴∠ABC =∠BCD=∠CDA=∠BAD=∠FBH =90°，AB=BC=CD=AD.
∴∠ABF+∠FBC=∠CBH+∠FBC=90°. ∴∠ABF=∠CBH.
在△ABF和△CBH中， ∴△ABF≌△CBH（ASA）.
∴CH=AF=1.
∵∠GDC+∠GCD=∠HCB+∠GCD =90°，∴∠GDC=∠HCB.
在△DGC和△HCB中， ∴△DGC≌△HCB（AAS）.
∴DG= CH =1.
延长GD交x轴于点I，作AJ⊥GD的延长线于点J，可证AJD≌△DGC（AAS）.
∴AJ= DG =1.
∴点J的横坐标为-2.
∴点D的横坐标为-2.
∴点D的纵坐标为= -3，即DI=3.
∴DJ=CG=BH=GI=BH=3+1=4.
∴点E的纵坐标为-4.
∴点E的横坐标为，即EK=.
∴EG=GK-EK=2-=.
∴EC=CG-EG=4-=.
∴=EC∙BH=××4=7.
即的面积为7.

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；全等三角形的判定及性质；正方形的性质.


14. （2018江苏省宿迁市，17，3）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝2x(x＞0)的图象与正比例函数y＝kx、y＝1kx(k＞1)的图象分别交于A、B．若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 ．
B
O
A
x
y
第17题图

【答案】2
【解析】过点O作OC⊥AB，垂足为C．过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点B作BN⊥x轴，垂足为N．设点A的横坐标为a，则点A的纵坐标为．∵点A在一次函数数y＝kx上，∴＝ka．k＝．∴OB所在直线的解析式为y＝x．令x＝．得x＝．∴y＝a．∴OA＝OB，△OAM≌△OBN．∵∠AOB＝45°，∴∠AOC＝∠AOM．∴△OAM≌△OAC．∴S△OAB＝2SOAM＝2．故填2．
第17题答图
B
O
A
x
y
C
N
M

【知识点】反比例函数，一次函数



15. （2018 湖南张家界，14，3分）如图,矩形的边与轴平行,顶点的坐标为(2,1),点与点都在反比例函数 的图象上,则矩形的周长为________.

【答案】12
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（2，1），
∴设B，D两点的坐标分别为（x，1）、（2，y）.
∵点B与点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴x=6，y=3. ∴B，D两点的坐标分别为（6，1），（2，3）.
∴AB=6－2=4，AD=3－1=2．
∴矩形ABCD的周长为12.
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征

16.（2018陕西，13，3分）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，－1），则这个反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【思路分析】根据反比例函数xy=k，列出关于m的方程，求出m的值即可求出k的值．
【解题过程】设反比例函数解析式为，则xy=k．
则
解得：m1=0（舍去），m2=－2．
∴k=(－2)2=4．
∴这个反比例函数的表达式为．
【知识点】反比例函数
三、解答题
1. （2018湖北黄冈，19题，6分）如图，反比例函数过点A(3,4)，直线AC与x轴交于点C(6,0)，过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以ABCD四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有点D的坐标.

第19题图
【思路分析】（1）由双曲线上点A坐标可求得k的值，BC⊥x轴，则B、C的横坐标相等，代入解析式可得点B坐标；（2）已知点A、B、C的坐标，按照对面顶点的情况，对点D进行分类讨论，共三种情况，分由平行四边形对顶点的坐标特点可得点D坐标。
【解析】解：（1）因为反比例函数过点A(3,4)，所以，k=12，反比例函数解析式为，因为BC⊥x轴，则B、C的横坐标相等，因为C(6,0)，所以点B的横坐标为6，在反比例函数中，令x=6，得y=2，则B(6,2)；
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以对面顶点的横坐标和相等，纵坐标和相等，其中A(3,4)，B(6,2)，C(6,0)，①当A和D对面，B和C对面时，xD=xB+xC-xA=9，yD=yB+yC-yA=-2，所以；②当A和B对面，D和C对面时，xD=xB+xA-xC=3，yD=yB+yA-yC=6，所以；③当A和C对面，B和D对面时，xD=xA+xC-xB=3，yD=yA+yC-yB=2，综上所述，符合条件的点D坐标为D1(9,-2)，D2(3,6)，D3(3,2)。
【知识点】反比例函数，平面直角坐标系，平行四边形


2. （2018湖南郴州，24，8） 参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质.因为，即，所以我们对比函数来探究.
列表：

…
-4
-3
-2
-1


1
2
3
4
…

…


1
2
4
-4
-2
-1
-

…

…


2
3
5
-3
-1
0


…

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示.
（1）请把轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来：
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当时，随的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②的图象是由的图象向 平移 个单位而得到；
③图象关于点 中心对称.（填点的坐标）
（3）设A，B是函数的图象上的两点，且=0，试求的值.

【思路分析】（1）连点成线，画出函数图象；
（2）①当时，从左到右，函数图象呈现上升趋势，所以随的增大而增大；
②因为，即，所以的图象是由的图象向上 平移1个单位而得到；
③由平移的规律，易推断出函数图象关于原点成中心对称，所以平移后函数图象关于点（0，1）中心对称.
（3）通过观察表格，判断发现当、分别取互为相反数的一组数时，其函数值相加的和的规律，进而计算得出的值；也可分别用含、的代数式表示出、的值，再通过通分变形，使待求式子中出现+的形式，然后整体代入求值.
【解析】（1）连点成线，画出函数图象，描点如下图所示：
（2）①当时，随的增大而增大 ；（填“”或“减小”）；
②的图象是由的图象向上平移1个单位而得到；
③图象关于点（1，0）中心对称.
（3）方法1：观察表格，当、分别取互为相反数的一组数时，其函数值相加的和总为2，即，∴=2+3=5.
方法2：∵，=0，
∴=2，∴=2+3=5.
【知识点】新函数，反比例函数的图象及性质

3. （2018内蒙古呼和浩特，22，10分）已知变量x、y对应关系如下下表已知数值呈现的对应规律
x
…
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
…
y
…


1
2
-2
-1


…
依据表中给出的对应关系写出函数的解析式，并在给出的坐标系中画出大致图像；
在这个函数图像上有一点P(x,y)(xy2时x的取值范围.
【思路分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，需要学生会利用函数图象解决不等式问题，是一道常规题目，属于简单题；
（1） 把A点坐标代入双曲线解析式即可求出k的值，从而确定双曲线的解析式；将B点坐标代入双曲线解析式即可得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，从而确定B点坐标；最后将A，B两点坐标代入直线解析式，列出关于a,b的方程组，解方程组求出a,b的值即可得到直线解析式.
（2） 利用A、B坐标和勾股定理计算AB的长度；观察图象，找出双曲线在直线上方的部分，确定x的取值范围即为答案.
【解题过程】解：（1）∵双曲线经过点A（-4，1），
∴k=-4×1=-4.
∴双曲线的解析式为.
∵双曲线经过点B（m，-4），
∴-4m=-4，
∴m=1.
∴B（1，-4）.
∵直线y2=ax+b经过点A（-4,1）和点B（1，-4），
∴，
解得，，
∴直线的解析式为y2=-x-3.
（2） AB=，y1＞y2时，x的取值范围是-4＜x＜0或x＞1.
理由如下：由勾股定理可知，AB=.
在图象中找出双曲线在直线上方的部分，确定这部分x的取值范围是-4＜x＜0或x＞1.
故答案为AB=，y1＞y2时，x的取值范围是-4＜x＜0或x＞1.
【知识点】反比例函数；一次函数

17. （2018四川凉山州，22，8分）ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线 与双曲线 在第一象限的图象相交于A、E两点，且A（3，4），E是BC的中点.
（1）连结OE，若△ABE的面积为，△OCE的面积为，则 （直接填“>” “