知识点37 解直角三角形及其应用2018--2

这是一份知识点37 解直角三角形及其应用2018--2，共25页。
三、解答题
1. （2018四川泸州，22题，8分）如图8，甲建筑物AD, 乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E, B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值).

第22题图
【思路分析】利用三角函数，将AB的长度转化为AD和BC的长度，过点D作BC的垂线，进而构建直角三角形，利用勾股定理，求得CD的长度
【解题过程】因为乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，所以设AD=x，CB=6x，因为DA⊥AB，CB⊥AB，所以在Rt△DAE中，tan∠DAE=，∠DAE=30°，所以AE=，在Rt△CBE中，tan∠CEB=，∠CEB=60°，所以AE=，因为AB=90m，即+=90，x=10，过点D作DF⊥CB于点F，则四边形DABF为矩形，所以DF=AB=90，CF=CB-BF=CB-AD=5x=，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CD==
F

第22题解图
【知识点】三角函数的应用，勾股定理

2. （2018四川内江，20，9）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D、E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝．求灯杆AB的长度．

【思路分析】由已知条件tanα＝6，tanβ＝，所以考虑过点B作DE边的垂线，将α和β分别放到两个直角三角形中，再由DE＝18，可以求出B到DE边的距离，然后过A作AG⊥BH，将AB放到直角三角形AGB中，再由矩形的性质，得到GH＝AC，所以知道BG的长，由∠BAC＝120°，可得∠BAG＝30°，利用直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半就可以求出AB的长．
【解题过程】解：过如图，过点B作BH⊥DE垂足为点H，过点A作AG⊥BH垂足为点G．
∵BH⊥DE，∴∠BHD＝∠BHE＝90°．在RtΔBHD中tanα＝＝6，在RtΔBHE中，tanβ＝＝，∴BH＝6DH，BH＝EH，∴8DH＝EH．∵DE＝18，DE＝DH＋EH，∴9DH＝18，∴DH＝2，BH＝12．∵∠BHD＝∠AGH＝∠ACH＝90°，∴四边形ACHG为矩形，∴AC＝GH＝11，∠CAG＝90°，BG＝BH－GH＝12－11＝1，∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC－∠CAG＝120°－90°＝30°．∴在RtΔAGB中，AB＝2 BG＝2．

【知识点】锐角三角函数；矩形的性质；30°角的直角三角形的性质


3. （2018浙江衢州，第20题，8分）“五・一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道L步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示。


第20题图
根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才到达桥头D处（精确到1米）。备用数据≈1.414，≈1.732）
【思路分析】设BD=，则可得AD的长，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，表示出CD和CD的长度，然后根据等式，列出方程即可解决问题．：21教育
【解题过程】
解：设BD=，则AD=200+,在Rt△ACD中，∵∠CAD=45°，∴CD=AD=200+
在Rt△BCD中，∵∠CBD=60°，∴CD=BD=
∴200+=，∴=100（+1）=100+100273
答：小明还需沿绿道继续直走273米才到达桥头D处
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．



4. （2018安徽省，19，10分） 为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)
【思路分析】根据题意作辅助线FH，构造出直角三角形是解此题的关键

【解题过程】解法一：过点F作AB的垂线交AB于点H, 交AE于点G, ∴FH//DB, ∴∠1=45°,
∠2=∠3=45°, ∴∠FEG=90°, 在Rt△FDE中，sin∠1=,∴
在Rt△FEG中，cos∠GFE=,∴∴FG=2FD=3.6(米),
设AH=x米，则GH= x米，FH= (3.6+x)米，在Rt△FDE中，tan∠AFH=, 解得x≈16.4 ,
∴AB=AH+BH=AH+FD≈18(米)
答：旗杆AB的高度约为18米.
【解法二】由题意得：∠FED=45°,
∴∠AEB=∠FED=45°,
∴∠FEA=90°, 在Rt△FDE中，sin∠FED=,∴
在Rt△FEA中，EF=FD，AE=AB.
∴tan∠AFE=,
∴AB=FD×tan∠AFE=1.8×10.02≈18.
答：旗杆AB高约18米。

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

5. （2018甘肃白银，22，8分）随着中国经济的快速发展和科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起。高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式。如图，A,B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A、B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程。已知∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：，）。

第22题图


【思路分析】要比较打通后与打通前从A地到B地缩短多少路程，就是要比较AC+BC与AB的长短。因此需要将BC与AB的长度求出来。题目中有∠CAB=30°，∠ABC=45°，显然∠ACB不是直角，因此只有构造直角三角形，才能求AB与BC的长。因为题中有特殊角，因此想到将特殊角构造成直角三角形的锐角。于是过C作AB的垂线，解两个直角三角形问题得解。
【解题过程】解：过C作CD⊥AB于点D.
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在RT△ADC中，
∵∠ADC==90°，AC=640，∠CAB=30°，
∴CD===320.
,即AD==640=≈544
在RT△BDC中，∵∠BDC=90°，∠CBA=45°，
∴BD=CD=320公里，
BC===≈448.
∴AC+BC=640+448≈1088
AB=AD+BD=544+320≈864
AC+BC-AB=1088-864≈224
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里.

第22题解答图


【知识点】解直角三角形，三角函数，直角三角形性质，等腰直角三角形性质。

6.（2018湖南岳阳，22，8分）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图.已知入口宽3.9米，门卫室外墙上的点处装有一盏路灯，点与地面的距离为3.3米，灯臂长为1.2米（灯罩长度忽略不计），.

（1）求点到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.（参考数据：，结果精确到0.01米）
【思路分析】（1）首先过点M作MN⊥AB于N，根据三角函数的定义可得出ON的长，然后根据线段的加减运算即可得出M到地面的距离；
（2） 首先根据题意可得货车的右端应该在图中E点处，此时BE=0.7m，过E点作EF⊥BC交OM于F点，过O点作OG⊥DF，然后根据含30°角的直角三角形的性质可得出FG的长，进而得出EF的长，进而得出答案.
【解题过程】解：（1）过点M作MN⊥AB于N，
∵OM=1.2，∠MON=60°，
∴ON=OM·sin60°=，
∴M到地面的距离d=ON+OB=+3.3=.
（2）根据题意可得货车的右端应该在图中E点处，此时BE=0.7m，
∴EF=FG+GE=3.3+0.404=3.704＞3.5，
∴能通过.


【知识点】锐角三角函数的定义，含30°角的直角三角形的性质

7. （2018江苏连云港，第25题，10分）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i(即tan∠DAB)为1:0.5，坝底AB=14m.
(1)求坝高;
(2)如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长.(参考数据:sin37°≈，cos37°≈，tan37≈)

【思路分析】(1)分别过点D、C作AB的垂线，将梯形化为两个三角形和一个矩形，在利用三角函数，用含坝高的式子表示出AB的长度，进而求得坝高.
(2) 过点F作FH⊥AB，垂足为H，设DF=y，用含y的式子分别表示出AE、EH、BH的长，在利用相似三角形的判定，证得△EFH∽△FBH，从而得到对应边的比，进而得解.
【解题过程】解：(1)过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N.
因背水坡AD的坡度i为1:0.5，所以tan∠DAB=2，设AM=x，则DM=2x.
又四边形DMNC是矩形，所以DM=NC=2x.
在Rt△BNC中，tan∠ABC=tan37°=，所以BN=，
由x+3+=14，得x=3，所以DM=6
即坝高为6. 4分
(2)过点F作FH⊥AB，垂足为H.
设DF=y，则AE=2y.
EH=3+2y－y=3+y，BH=14+2y－(3+y)=11+y.
由FH⊥BE，EF⊥BF，得△EFH∽△FBH，
所以，即. 8分
62=(3+y)(11+y)，解得y=－7+2或y=－7－2 (舍).
所以DF=2－7.
答:DF的长为(2－7)米. 10分

【知识点】锐角三角函数的应用；矩形的性质；相似三角形的性质和判定

8. （2018江苏无锡，17，3分） 已知△ABC中，AB=10，AC=，∠B=30°，则△ABC的面积等于 .
【答案】或
【思路分析】先画出△ABC的草图，确定对应元素的位置和大小，再利用三角形的面积公式求解.
【解题过程】分两种情况求解：
（1） 如图1所示，作AD⊥BC于点D，

∵AB=10，∠B=30°，
∴AD=AB=×10=5，.
又∵AC=，
∴.
∴BC=BD+CD=，
∴△ABC的面积为.
（2） 如图1所示， 作AD⊥BC于点D，

∵AB=10，∠B=30°，
∴AD=AB=×10=5，.
又∵AC=，
∴.
∴BC=BD-CD=，
∴△ABC的面积为.
综上所述，△ABC的面积等于或.
【知识点】含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、解直角三角形、三角形的面积公式、分类讨论思想

9.（2018山东聊城，22，8分）随着我市农产品整体品牌形象“聊·剩一筹！”的推出，现代化农业得到了更快发展.某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1.线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长.已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC=150°，在点D处测得A点、C点的仰角分别为9°，15.6°，如图2.求保温板AC的长是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28）

图1 图2
【思路分析】作CE⊥AB于点E，CF⊥BD于点F，可得四边形EBFC为矩形，△ABD、△CFD为直角三角形，结合已知角度、线段长可以求出线段AC的长度.
【解题过程】解：如图所示，作CE⊥AB于点E，CF⊥BD于点F，

∵AB⊥BD，
∴四边形EBFC为矩形，△ABD、△CFD为直角三角形.
设BF=CE=x米，
∵∠BAC=150°，
∴∠CAE=180°-∠BAC=180°-150°=30°，
∵CE⊥AB，
∴AC=2x，.
∵AB=2米，
∴CF=BE=AE+AB=，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=9°，AB⊥BD，AB=2，
∴.
在Rt△ABD中，
∵∠CDF=15.6°，CF⊥BD，CF=，
∴.
∵BF=BD-DF，
∴，
解得x=0.75.
∴AC=2x=2×0.75=1.5.
答：保温板AC的长是1.5米.
【知识点】矩形的判定和性质、直角三角形的判定、解直角三角形的应用、勾股定理、一元一次方程的解法

10. （2018四川省成都市，18，8）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务，如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【思路分析】在RtΔADC中已知一个锐角和斜边，可以利用锐角三角函数中的余弦函数求出CD的长，然后在RtΔBDC中，已知直角边CD和锐角∠BCD，利用三角形函数中的正切函数求出BD的长．
【解题过程】解：由题意得，∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80．在RtΔADC中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC·cos70°≈80×0.34＝27.2（海里）．在RtΔBDC中，tan∠BCD＝，∴BD＝CD·tan37°≈27.2×0.75＝20.4（海里）．
答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．
【知识点】方向角；锐角三角函数；

11. （2018四川省达州市，20，6分）在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°.问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值.）

第20题图
【思路分析】认真审题，找出题中的等量关系，应用锐角三角函数构建关于x方程，解方程可得答案.
【解题过程】解：如图，设雕塑的高CD为x米．

在Rt△ACD中，AD＝，在Rt△BCD中，BD＝＝x，
根据题意，得AD－BD＝4，即－x＝4．
解得x＝2＋2．
答：雕塑的高CD为（2＋2）米．
【知识点】锐角三角函数的实际应用

12. （2018四川广安，题号23，分值：8）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速.如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上，一辆汽车由东向西均速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s，问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？
（观测点C离地面的距离忽略不计，参照数据：2=1.41，3=1.73）

第23题图
【思路分析】首先根据特殊角的三角形求出AD，BD，进而求出AB，再根据路程÷时间求出速度，最后与限速16m/s比较得出答案.
【解题过程】根据题意可知∠ACD=60°，∠BCD=45°，CD=200m，
在Rt△ACD中，tan60°=ADCD，…………………………………………………………………1分
即AD200=3,
则AD=2003……………………………………………………………………………………3分
在Rt△BCD中，tan45°=BDCD，
即BDCD=1，
则BD=200，………………………………………………………………………………………5分
∴AB=AD-BD=200(3-1)=200×0.73=146……………………………………………………6分
由A处行驶到B的时间为10s，所以，速度为146÷10=14.6m/s,………………………7分
∵14.6m/s＜16m/s，
∴没有超过该路段限制的速度……………………………………………………………8分
【知识点】解直角三角形的应用

13. （2018浙江绍兴，21，10分） 如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨安装在窗框上，托悬臂安装在窗扇上，交点处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点，，始终在一直线上，延长交于点.已知，，.

（第21题图）
（1）窗扇完全打开，张角，求此时窗扇与窗框的夹角的度数.
（2）窗扇部分打开，张角，求此时点，之间的距离（精确到）.
（参考数据：，）

【思路分析】（1）由、可得四边形是平行四边形，，根据两直线平行同位角相等，可求得的度数。
（2）作辅助线过点作于点，在直角三角形ACG中，，AC=20可求得，，在中，，BC=30，可求得，就可求得AB的长度。
【解题过程】21.解：（1）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴.
（2）如图，过点作于点，
∵，
∴，
，
∵，，∴，
在中，，
∴.

（第21题答图）
【知识点】平行四边形的判定和性质、平行线的性质、解直角三角形、勾股定理


14. （2018湖南衡阳，22，8分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示.

（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；
（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？
【思路分析】（1）过点C作CD⊥AB于D，则CD的长即为从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离，由题意可得出∠A=30°， 利用含30°角的直角三角形的性质求解即可；
（2）由题意可得△BCD是等腰直角三角形，利用BC=可求出BC的长，然后可求出这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆需要的时间，与15分钟比较即可得出答案.
【解题过程】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意可知，∠ACD=60°，AC=2000，
∴∠A=30°，
∴CD==AC =1000（m）.
即这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离是1000米.

（2）能.
理由：在Rt△BCD中，∵CD=1000，∠BCD=45°，
∴BC===1000（米）.
∵1000÷100=10＜15，
∴徒步爱好者能在15分钟内到达宾馆.

【知识点】解直角三角形的应用、方位角、含30°直角三角形的性质

15. （2018湖南长沙，22题，8分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°.
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？
（结果精确到0.1千米）（参考数据：）

第22题图
【思路分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△CBD中，由BC和∠B求得CD和DB，再在Rt△ADC中，由CD和∠A求得AC和AD，AC+BC即为开通隧道前汽车要走的距离；（2）由（1）可得AD和BD的长度，计算AB=AD+BD可得开通隧道后汽车要走的距离，进而算出少走的距离。
【解题过程】（1）过点C作CD⊥AB于点D.Rt△BCD中，CD=BCsinB=40(km)，Rt△ACD中，AC==40，AC+BC=40+80≈136.4(km)。答：开通前，汽车从A到B大约要走136.4km。
（2）Rt△BCD中，BD=BCcosB=40，Rt△ACD中，AD==40(km)，AB=AD+BD=40+40≈109.2(km)，AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(km)。答：开通隧道后，汽车从A到B大约可少走27.2km。
C
D
A
B

第22题解图
【知识点】三角函数应用

16.（2018江苏泰州，23，10分） （本题满分10分）
日照间距系数反映了房屋日照情况，如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数，其中为楼间水平距离，为南侧楼房高度，为北侧楼房底层窗台至地面高度. 如图③，山坡朝北，长为，坡度为，山坡顶部平地上有一高为的楼房，底部到点的距离为.
(1) 求山坡的水平宽度；
(2) 欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房，已知该楼底层窗台处至地面处的高度为，要使该楼的日照间距系数不低于，底部距处至少多远？


第23题图

【思路分析】（1）在Rt△EFH中，根据“勾股定理”可得一个相等关系，再根据“坡度的定义”又得FH与EH的一个关系，已知长为，可求FH和EH的长；（2）现将图②构造成图①的形状（直角梯形），再根据日照间距系数和日照间距系数≥得不等式，从而得解.
【解题过程】解：（1）在Rt△EFH中，，，
∴，
答：山坡EF的水平宽度FH的长度为9m；
（2）
第23题答图

过点A作AG⊥CF，交CF的延长线于点G，过点P作PK⊥AG于点K，
则KG=PC=0.9m，AG=EH=12m，∴BK=BA＋AG－KG=22.5＋12－0.9=33.6，
∵， ∴=1.25×33.6=42，
∴CG≥42， ∵FH=9，HG=EA=4， ∴CF≥29，
答：底部C距F处至少29m.
【知识点】新定义，锐角三角函数的应用

17. （2018山东临沂，22，7分）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2(＋1)m.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门?

第22题图
【思路分析】过B作BD⊥AC于点D，将△ABC转化为两个直角三角形，利用解直角三角形的知识求出BD.然后把求得的BD的长与直径2.1m比较大小即可作出判断.
【解题过程】过点B作BD⊥AC，垂足为点D.

在Rt△ABD中，∠ABD＝90°－∠A＝60°，则AD＝tan∠ABD×BD＝BD；
在Rt△BCD中，∠C＝45°，∴CD＝BD.
∴AC＝AD＋CD＝BD＋BD＝(＋1)BD＝2(＋1)，
解得：BD＝2(m)＜2.1m.
故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为2.1m的圆形门.
【知识点】解直角三角形 三角函数

18. (2018山东青岛中考，19，6分)某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得.请求出点到的距离.
参考数据：，，

【思路分析】过点O分别作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，设OE=xm，用含x的式子表示AF的长；在Rt△OBE中，用含x的式子表示BE，表示出CE，即OF的长，再由OF=AF建立方程，解方程即可．
【解题过程】解：过点O分别作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
由题意可得，四边形OFCE是矩形，∴OE=CF，OF=CE．
设OE=xm，
则AF=AC－CF=(840－x)m，
可得BE===m，
∴OF=EC=BC－BE=(500－)m，
∵∠OAF=45°，
∴OF=AF，
即500－=840－x，解得x=480．
∴点O到BC的距离为480米．

【知识点】解直角三角形应用题——方位角

19.（2018山东烟台，21，8分）（本题满分8分）
汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C，测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，sin35°≈0.57，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）


【思路分析】要判断汽车是否超速，只需要求出AB的长度，用AB的长度除以汽车从点A到点B的时间6秒，就可以求出汽车从点A到点B的速度，把速度换算成千米/小时，和40千米/小时比较，如果大于40千米/小时就超速，否则就不超速．
【解题过程】∵∠APC=71°，PC⊥l，PC=30米，
∴，∴AC≈2.90×30=87(米)．
∵∠BPC=35°，PC⊥l，PC=30米，
∴，∴BC≈0.70×30=21(米)．
∴AB=AC－BC=87－21=66(米)，
∴汽车从点A到点B的速度是v=米/秒=11×3.6=39.6千米/小时＜40千米/小时，
∴该车没有超速．
【知识点】解直角三角形的应用


20. （2018四川省宜宾市，21，8分）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°,点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米.求立柱CD的高（结果保留根号）.

【思路分析】本题的关键是构造直角三角形ACH，然后根据解直角三角形的知识求解.
【解题过程】作CH⊥AB于H，
则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，
设CD=x米，则AH=（30-x）米，
在Rt△AHC中，HC==（30-x），
则BD=CH=（30-x），
∴ED=（30-x）-10，
在Rt△CDE中，=tan∠CED，即，
解得，x=15-，
答：立柱CD的高为（15-）米．
【知识点】解直角三角形

21. （2018天津市，22，10）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.
参考数据：，.


【思路分析】本题考查解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．先过点作，垂足为，利用矩形的性质得到CD=BE=AB-AE，然后利用解直角三角形分别求出AB与AE即可得结果．
【解题过程】解：如图，过点作，垂足为
则.
由题意可知，，，，，.
可得四边形为矩形.
∴，.
在中，，
∴.
在中，，
∴.
∴.
∴.
答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.


【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；矩形的性质