初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程练习

实际问题与一元二次方程

第1课时　变化率问题与一元二次方程　[见B本P8]

1．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生398元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是(　B　)

A．438(1＋x)2＝389　　　B．389(1＋x)2＝438

C．389(1＋2x)＝438  D．438(1＋2x)＝389

2．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(　C　)

A．50(1＋x2)＝196 

B．50＋50(1＋x2)＝196

C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 

D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196

3．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，主干、分支、小分支的总数为241，求每个分支长出多少个小分支？若设主干有x个分支，依题意列方程正确的是(　B　)

A．1＋x＋x(x＋1)＝241

B．1＋x＋x2＝241

C．1＋(x＋1)＋(x＋1)2＝241

D．1＋(x＋1)＋x2＝241

【解析】 植物有1个主干，1个主干有x个分支，x个分支有x2个小分支，依据题意，得1＋x＋x2＝241.

4．在一个QQ群里有n个网友在线，每个网友都向其他网友发出一条信息，共有20条信息，则n为(　C　)

A．10　　　B．6  C．5　　　D．4

【解析】 依题意，得n(n－1)＝20，解得n＝5或n＝－4(舍去)．

5．[2013·哈尔滨]某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为__20%__.

6．某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用作购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1 320元(均不计利息税)，设这种存款方式的年利率为x，则可列方程为__[2__000(1＋x)－1__000](1＋x)＝1__320__．

7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人．

(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64

解之，得x1＝7，x2＝－9，(不合题意，舍去)

答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．

(2)7×64＝448.

答：又有448人被传染．

8．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100

解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)

答：捐款的增长率为10%.

(2)12 100×(1＋10%)＝13 310

答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13 310元．

9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．

(1)求平均每次下调的百分率；

(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定给予两种优惠方案以供选择：

方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元．

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.

答：平均每次下调的百分率是20%.

(2)小华选择方案一购买更优惠．

理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)，

方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．

∵14 400元<15 000元，

∴小华选择方案一购买更优惠．

10．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？

解：因为80×10＝800元＜1 200元，所以小丽买的服装数大于10件．

设她购买了x件这种服装．

根据题意得  x[80－2(x－10)]＝1 200.

解得x1＝20，x2＝30.

因为1 200÷50＝24＜30.

所以x2＝30不合题意，舍去．

答：她购买了20件这种服装．

11．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元，请回答：

(1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【解析】 (1)设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2 240元列出方程求解即可；

(2)为了让利于顾客因此应降价6元，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售．

解：(1)设每千克核桃应降价x元，根据题意，得

(60－x－40)＝2 240，

化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.

答：每千克核桃应降价4元或6元．

(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为60－6＝54(元)，×100%＝90%.

答：该店应按原售价的九折出售．

12．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．

(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车的进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆。根据销售经验，A型车的销量不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

解：(1)设平均增长率为x，根据题意得：

64(1＋x)2＝100，解得：x＝0.25＝25%或x＝－2.25(不合题意，舍去)

四月份的销量为：100(1＋25%)＝125辆，

答：四月份的销量为125辆．

(2)设购进A型车x辆，根据题意得：

2×≤x≤2.8×，解得：30≤x≤35，

∵B型车的利润大于A型车的利润，

∴当A型车进货量最小时有最大利润，此时B型车进货量为15.

即要获得最大利润，应进A型车30辆，B型车15辆．

第2课时　几何图形与一元二次方程[见A本P10]

1．小明要在一幅长90 cm，宽40 cm的风景画的四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽度为x cm，根据题意列方程为(　B　)

A．(90＋x)(40＋x)×54%＝90×40

B．(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40

C．(90＋x)(40＋2x)×54%＝90×40

D．(90＋2x)(40＋x)×54%＝90×40

2．兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为(　D　)

A．x(x－10)＝200　　　

B．2x＋2(x－10)＝200

C．2x＋2(x＋10)＝200 

D．x(x＋10)＝200

【解析】 ∵草坪的长比宽多10米，草坪的宽为x米，∴草坪的长为(x＋10)米．∵草坪的面积为200平方米，∴可列方程为x(x＋10)＝200.

3．已知两个连续奇数的积为143，则这两个数为(　C　)

A．－13和－11  B．11和13

C．11，13或－13，－11  D．以上都不对

【解析】 可设两个连续奇数分别为2n－1，2n＋1.

4．已知一个两位数等于它的个位数的平方，并且十位上的数比个位上的数小3，则这个两位数是(　B　)

A．25  B．25或36

C．36  D．－25或－36

5．图21－3－1是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为(　D　)

图21－3－1

A．32　　　B．126  C．135　　　D．144

6．若长方形的面积为150 cm2，并且长比宽多5 cm，则长方形的长为__15__cm，宽为__10__cm.

7．已知如图21－3－2所示的图形的面积为24.根据图中的条件，可列出方程：__答案不唯一，如(x＋1)2＝25__．

图21－3－2

8．从一块正方形钢板上截去3 cm宽的长方形钢条，剩下的面积是54 cm2，则原来这块钢板的面积是__81__cm2.

【解析】 设正方形钢板边长为x cm，则有x(x－3)＝54，解得x1＝9，x2＝－6(舍去)，所以正方形钢板面积为81 cm2.

9．在一幅长8 dm，宽6 dm的矩形风景画的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是80 dm2，求金色纸边的宽．

解：设金色纸边的宽为x dm，根据题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80，解得x1＝1，x2＝－8(不合题意，舍去)．

答：金色纸边的宽为1 dm.

图21－3－3

10．如图21－3－3，某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用木栏围成，木栏长40 m.

(1)鸡场的面积能达到180 m2吗？

(2)鸡场的面积能达到200 m2吗？

(3)鸡场的面积能达到250 m2吗？

解：(1)设鸡场靠墙一边长为x m，则另两边的长均为 m，根据题意，得x·＝180，

解得x1＝20＋2，x2＝20－2.∵x1＝20＋2>25，即比墙长，∴x1＝20＋2不满足题意，舍去，而0＜x2＝20－2＜25，满足题意，

∴鸡场的面积可达到180 m2.设计的方案是靠墙的一边长为(20－2 )m，另外的两边长都为(10＋)m的矩形．

(2)同理可得x·＝200，解得x1＝x2＝20.

∵x＝20满足题意，∴鸡场的面积可达到200 m2.

设计的方案是靠墙的一边长为20 m，另两边长都为10 m的矩形．

(3)鸡场的面积不能达到250 m2.

∵若鸡场的面积为250 m2，

则可列方程x·＝250，

整理，得x2－40x＋500＝0，

配方，得(x－20)2＝－100，

由于负数不能开平方，

∴方程x2－40x＋500＝0无实数根，

∴鸡场的面积不能达到250 m2.

11．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？

(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2”，他的说法对吗？请说明理由．

解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.

由题意得x2 ＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7.

4×3＝12，4×7＝28.

所以小林应把绳子剪成 12 cm和28 cm的两段．

(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.

因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．

所以小峰的说法是对的．

12．把一张边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．

(1)如图21－3－4，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．

图21－3－4

要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．

解：(1)设剪掉的正方形的边长为x cm，则(40－2x)2＝484，即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9，∴剪掉的正方形的边长为9 cm.

(2)如答图所示的一种裁剪方法，设长方体盒子的高为x cm，2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15，∴长方体盒子的高为15 cm，

此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.

13．要在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积为荒地面积的一半，如图21－3－5分别是小明和小颖的设计方案．

(1)你认为小明的结果对吗？为什么？

(2)你能帮小颖求出图中的x吗？

图21－3－5

【解析】 (1)按小明的思路列方程求解，考查小路的宽能否为12 m；(2)按小颖的思路列方程求解．

解：(1)小明的结果不正确．

设小路的宽为x m，依题意，

有(16－2x)(12－2x)＝×16×12，

整理，得x2－14x＋24＝0，解得x1＝2，x2＝12.

因为荒地的宽为12 m，若小路的宽为12 m，则不符合实际情况，故x2＝12不合题意，舍去，

所以x＝2，即小路的宽为2 m.

(2)由题意知4个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积，由其半径为x m，根据题意有πx2＝×12×16，即x2＝，所以x≈±5.5.

因为x>0，所以x＝－5.5不合题意，舍去，所以x＝5.5，

所以小颖的设计方案中扇形的半径为5.5 m.