人教版八年级上册15.1.2 分式的基本性质课后测评

15.1.2分式的基本性质 提高卷

一．选择题

1．下列命题中，属于真命题的是（    ）

A．如果，那么 B．是最简分式

C．直角三角形的两个锐角互余 D．不是对顶角的两个角不相等

【答案】C

【分析】

根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．

【详解】

解：A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a、b同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；

B. ，故不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；

C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；

D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．

2．下列各式中，化简正确的是 （  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据分式的性质逐一分析即可．

【详解】

解：A．，该项化简不正确；

B．，该项化简不正确；

C．，该项化简不正确；

D．，该项化简正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查分式的基本性质，掌握分式的性质是解题的关键．

3．下列式子中，是最简分式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

【详解】

A、分子、分母不含有公因式，所以不能够约分，是最简分式；

B、分子、分母含有公因式a，能够约分，不是最简分式；

C、分子、分母含有公因式a+b，能够约分，不是最简分式；

D、分子、分母含有公因式a，能够约分，不是最简分式；

故选：A．

【点睛】

本题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．

4．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据分式的基本性质进行化简，然后进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：A、，故A错误；

B、，故B正确；

C、，故C错误；

D、，故D错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质进行化简.

5．将分式中的x，y的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（       ）

A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定

【答案】A

【分析】

将x变为3x，y变为3y计算后与原式比较即可得到答案．

【详解】

，

故分式的值扩大到原来的3倍，

故选：A．

【点睛】

此题考查分式的基本性质，正确掌握积的乘方运算，分解因式是解题的关键．

6．若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据分式的基本性质即可求出答案．

【详解】

解：A、=，故A的值保持不变．
B、，故B的值不能保持不变．
C、，故C的值不能保持不变．
D、，故D的值不能保持不变．
故选：A．

【点睛】

本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．

7．下列等式成立的是（　　）

A． B．＝﹣1 C． D．＝x+y

【答案】D

【分析】

利用分式的基本性质化简即可．

【详解】

解：A、原式不能约分，原等式不成立，故此选项不符合题意；

B、原式不能约分，原等式不成立，故此选项不符合题意；

C、原式不能约分，原等式不成立，故此选项不符合题意；

D、原式变形后可以约分，原等式成立，故此选项符合题意，

故选：D．

【点题】

本题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．

8．若m为整数，则能使的值也为整数的m有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】

根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可．

【详解】

原式，且，

若m为整数，的值也为整数，

则，，且，

解得：或或，

能使的值也为整数的m的值共有三个．

故选：C．

【点睛】

本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题的关键．

二．填空题

9．要把分式与通分，其最简公分母为______．

【答案】

【分析】

根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可．

【详解】

解：，

最简公分母为；

故答案为：．

【点睛】

此题考查最简公分母，解题关键在于掌握确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

10．化简：=__________

【答案】.

【分析】

把分母进行因式分解，再约分即可得到答案.

【详解】

.

故答案为：.

【点睛】

此题主要考查了分式的约分，将分母进行正确的因式分解是解决此题的关键.

11．若从方程a2x-a=b2x-b中求得方程的解为x = 则a、b满足的条件是_____

【答案】a2-b2≠0

【分析】

根据方程的解法可得a2x-b2x=a-b，合并同类项得（a2-b2）x=a-b，当a2-b2≠0时，方程的解为x=，即可得出答案．

【详解】

解：a2x-a=b2x-b

a2x-b2x=a-b

（a2-b2）x=a-b

当a2-b2≠0时，x=，

故答案为：a2-b2≠0．

【点睛】

本题考查了解方程，以及约分，解题的关键是掌握a2-b2=（a+b）（a-b）．

12．化简分式的结果是_____．

【答案】x+1

【分析】

通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．

【详解】

【点睛】

本题考查的是约分，熟练掌握因式分解是解题的关键.

13．已知，，则与的大小关系为________.

【答案】

【分析】

由积的乘方，可得：999=99×119，由同底数幂的乘法，可得：999=990×99，然后约分，即可求得答案

【详解】

解：∵===b，
∴a、b的大小关系是：a=b．
故答案为a=b．

【点睛】

此题考查了积的乘方与同底数幂的乘法．注意掌握公式的逆用是关键．

14．a，b，c是三个不同的非零整数，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】

由a，b，c是三个不同的非零整数，再把原式化为：，由最大时，分数值最小，可得：的符号一致时，值最大，从而可得答案．

【详解】

解： a，b，c是三个不同的非零整数，

当最大时，分数值最小，

当的符号一致时，值最大，

当时或时，最大，

或

故答案为：

【点睛】

本题考查的是分式的基本性质，分式的值，掌握以上知识是解题的关键．

15．时，方程的解是______.

【答案】

【分析】

先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1，此类方程的解只要用含字母的代数式表示即可.

【详解】

去括号，得m2x－m2+m=x，

移项，得m2x－x=m2－m，

合并同类项，得(m2−1)x=m2−m，

系数化为1，得x=.

【点睛】

本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键.

16．分式与的最简公分母是________.

【答案】

【分析】

根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可．

【详解】

解：分式与的最简公分母是，

故答案为：.

【点睛】

本题考查最简公分母定义和确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

三．解答题

17．将下列分式约分：

（1）           

（2）

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）先找到分子分母的公因式，然后约分；

（2）先把分子分母因式分解，再约分；

（3）先将底数化为相同，再找到分子分母的公因式，然后约分.

【详解】

（1）

=

= ；

（2）

=

=；

（3）

=

=.

【点睛】

本题考查了约分，熟悉因式分解找到分子分母的公因式是解题的关键．

18．一个矩形的面积为，如果它的一边为，求这个矩形的周长．

【答案】这个矩形的周长为：

【分析】

根据整式的除法运算法则与合并同类项法则，即可求解．

【详解】

∵矩形的一边长为，面积为，

∴矩形的另一边长为：

∴该矩形的周长为：

．

答：这个矩形的周长为：．

【点睛】

本题主要考查整式的除法法则与加法法则，掌握因式分解与合并同类项法则，是解题的关键．

19．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是　   　 （填写序号即可）；

（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值　   　 ；

（3）在分式运算中，我们也会用到判断和谐分式时所需要的知识，请你用所学知识，化简

【答案】（1）分式是和谐分式，故答案为：②；（2） （3）

【分析】

（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．

【详解】

解：（1）②分式，不可约分，

∴分式是和谐分式，

故答案为：②；

（2）∵分式 为和谐分式，且a为整数，

∴

【点睛】

本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．

20．约分

(1)；            (2).

【答案】(1)  -                        (2) x-2

【解析】

根据分式的基本性质，易得：

(1)=-            (2)= x-2

21．若分式的和化简后是整式，则称是一对整合分式．

（1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由；

（2）已知分式M，N是一对整合分式，，直接写出两个符合题意的分式N．

【答案】（1）是一对整合分式，理由见解析；（2）答案不唯一，如．

【分析】

（1）根据整合分式的定义即可求出答案．
（2）根据整合分式的定义以及分式的运算法则即可求出答案．

【详解】

（1）是一对整合分式，理由如下：

∵，

满足一对整合分式的定义，

与是一对整合分式．

（2）答案不唯一，如．

【点睛】

本题考查了分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

22．请仔细阅读下面材料，然后解决问题：

在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：==2+=2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：==1+．

（1）将分式化为带分式；

（2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？

（3）当x的值变化时，分式的最大值为　   　．

【答案】（1）；（2）x=0，2，﹣2，4；（3）

【详解】

试题分析：（1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可；

（2）原式变形后，根据结果为整数确定出整数x的值即可；

（3）原式变形后，确定出分式的最大值即可．

试题解析:（1）原式==2+；

（2）由（1）得： =2+，

要使为整数，则必为整数，

∴x﹣1为3的因数，

∴x﹣1=±1或±3，

解得：x=0，2，﹣2，4；

（3）原式==2+，

当x2=0时，原式取得最大值．

故答案为.

23．约分

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）m；（3）

【分析】

（1）约去分子分母的公因式即可得到结果；

（2）将分子进行因式分解，约去公因式（）即可得到结果；

（3）首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．

【详解】

解：（1）

＝

＝；

（2）

＝

＝m；

（3）

＝

＝．

【点睛】

此题主要考查了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式．

24．已知、、、都不等于0，并且，根据分式的基本性质，等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明.

（1）和；

（2）和；

（3）和.

（提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明.）

【答案】组中的两个分式相等；证明见解析.

【分析】

根据题意，取满足条件的、、、的值，如取，，，，然后代入验证即可，再根据等式的基本性质证明即可.

【详解】

例如：取，，，，有，

则（1）；

（2）；

（3）

观察发现各组中的两个分式相等.

若选择第（1）组进行证明.

已知、、、都不等于0，并且，

所以

所以；

若选择第（2）组进行证明.

已知、、、都不等于0，并且，

所以有，

所以有；

若选择第（3）组进行证明.

已知、、、都不等于0，设，

所以

所以

所以＝

【点睛】

此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质和等式的基本性质是解决此题的关键.

25．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母的最高次项系数化为正数

（1）    （2）

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）观察可知分式的分子和分母最高次项的系数都为负数，需要给分子和分母同时提取-1，据此变形即可；

（2）观察可知分式的分母的最高项的系数为负数，分子的最高项的系数为正数，故需改变分式本身的符号和分母的符号.

【详解】

（1）

（2）

【点睛】

考查分式的符号法则,分式的分子、分母以及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变.

26．已知，求的值．

【答案】

【分析】

由题意利用等式的性质以及分式的基本性质分别对两式进行变形，并整体代换即可求解.

【详解】

解：由，变形可得即，

所以.

【点睛】

本题考查等式的性质以及分式的基本性质，熟练掌握相关性质以及运用整体思想进行分析是解题的关键.