2021-2022学年山东省济南市历城区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济南市历城区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达米．数字用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 太阳能作为一种新型能源被广泛应用到实际生活中，在利用太阳能热水器加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是(    )

A. 热水器水的温度 B. 热水器的容积
C. 太阳光照射的时间 D. 太阳光的强弱

4. 如图，直线，相交于点，如果，那么是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 若三角形三个内角度数之比为：：，则这个三角形一定是(    )

A. 等腰直角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形

6. 如图，要测池塘两端，的距离，小明先在地上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，发现那么判定和全等的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，将一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是(    )

A. 以点为圆心，为半径的弧 B. 以点为心，为半径的弧
C. 以点为圆心，为半径的弧 D. 以点为心，为半径的弧

9. 如图，下列能判定的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知中，，分别是的角平分线，与交于点，如果，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，将长方形纸片沿向上折叠，使点落在边上的点处若，则度数的值为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 等腰中，，是的中点，于，交的延长线于，若，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 已知，则的余角是______．
14. 若多项式是一个完全平方式，那么______．
15. 若一个等腰三角形的两边长分别为和，则周长为______．
16. 若，，则的值是______．
17. 已知，，则的值为______．
18. 疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过天后接种人数达到万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果天完成接种任务，乙地天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数万人与各自接种时间天之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为______万人．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 先化简，再求值
    ，其中，．
21. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
    如图，点在上，点在上，，，求证．
    证明：已知，______ ，
    等量代换，
    ______ ______
    ______
    又已知，
    等量代换，
    ______

22. 如图，点、、、在同一直线上，点、在的异侧，，，．
    求证：≌；
    若，，求的度数．

23. 小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，如表是小亮测得的弹簧的长度与所挂物体质量的几组对应值．

由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______；
请直接写出与的关系式______；
当弹簧长度为在弹簧承受范围内时，求所挂重物的质量．写出求解过程

24. 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为分，、与之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
    加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了______吨油；运输飞机的油箱有余油量______吨油；
    这些油全部加给运输飞机需______分钟；
    运输飞机的飞行油耗为每分钟______吨油；
    运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行______小时．

25. 【观察】如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图请你写出，，之间的等量关系：______．
    
    【应用】若，，则______；
    【拓展】如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．
26. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、则，，的数量关系为______；
    组员小明进一步探索：如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请判断的结论是否成立？并说明理由．
    数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用相关知识解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则判断；根据同底数幂的乘法法则判断；根据同底数幂的除法法则判断；根据积的乘方判断．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，除法，积的乘方，解题的关键是掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水的温度是因变量，所晒时间为自变量．
故选：．
函数的定义：设在某变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与它对应，那么称是的函数，叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个或另几个会变动的数的变动而变动，就称为因变量．据此解答即可．
本题主要考查的是对函数的定义，解题的关键是根据函数的定义对自变量和因变量的认识和理解．
 

4.【答案】 

【解析】解：，对顶角相等，
．
故选：．
根据对顶角相等即可求出．
本题考查了对顶角．熟记对顶角相等的性质，并准确识图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设三个内角的度数为，，，
根据三角形的内角和定理，可得，
解得，
三个内角的度数为，，，
故三角形是直角三角形，
故选：．
设三个内角的度数为，，，根据三角形的内角和定理列方程，解出三个内角的度数即可进行判断．
本题考查了三角形的内角和定理，涉及直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
在和中，
，
≌．
故选：．
由题意知，，由于，根据“”即可证明≌．
此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过三角形的角的顶点作，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过三角形的角的顶点作，先根据平行线的性质即推出，进而求出，再根据平行线的性质即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据作一个角等于已知角可得弧是以点为圆心，为半径的弧．
故选：．
运用作一个角等于已知角的方法可得答案．
本题主要考查了作图基本作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，不能判定，故A不符合题意；
B、，
，
故B符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，分别是的角平分线，
，，


，
，，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义可知，，根据三角形的内角和定理可得，由的度数可得的度数，进一步即可求出的度数．
本题考查了三角形的内角和定理，涉及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由折叠得到，
，
，
．
故选：．
由折叠得到，根据平角的定义可求，再根据直角三角形的性质即可求解．
此题考查了翻折变换折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，，，
，
在和中
，
≌，
，
，为中点，
，
，
，
，
，
的面积是，
故选：．
求出，根据证≌，推出，得出，求出长，求出、长，根据三角形的面积公式得出的面积等于，代入求出即可．
本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，关键是求出，主要考查学生运用性质进行计算的能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
的余角，
故答案为：．
根据“和为度的两个角互为余角”求解即可．
此题考查了余角，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为度．
 

14.【答案】 

【解析】解：由是一个完全平方式，得
．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征解答即可．
本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，完全平方公式的结构为：．
 

15.【答案】 

【解析】解：是腰长时，三边分别为、、，
，
能组成三角形；
周长；
是底边时，三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
综上，它的周长为．
故答案为：
分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：当，时，




．
故答案为：．
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再把相应的值代入运算即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则进行计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
 

18.【答案】 

【解析】解：乙地接种速度为万人天，
，解得．
设，将，代入解析式得：
，
解得，
．
把代入得，
万人．
故答案为：．
由接种速度接种人数接种天数解答出的值，再利用待定系数法求解关于的函数解析式．将代入上述解析式得出，然后由．
本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．
 

19.【答案】解：原式

；
原式
；
原式
；
原式

；
原式

． 

【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
原式利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
原式利用多项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果；
原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：
，

，
当时，原式． 

【解析】根据完全平方公式和平方差公式可以将括号内的式子展开，然后合并同类项，最后算括号外的除法即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
 

21.【答案】对顶角相等    同位角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等  内错角相等，两直线平行 

【解析】证明：已知，对顶角相等，
等量代换，
同位角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
又已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
根据平行线的判定和性质解答．
此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
 

22.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
解：由知，≌，
，，
，
，
，
又，
，
． 

【解析】由，得，再利用证明≌；
由知，，，可知，再利用三角形外角的性质，从而得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的根据．
 

23.【答案】   

【解析】解：由表格可知，弹簧不挂物体的长度为；
故答案为：；
；
当时，长度为；当时，长度为，
当质量增加，弹簧的长度就增加，
当质量增加，弹簧的长度就增加，
总长度，
故答案为：；
当时，
，
解得．
从表格中看出不挂物体时，即物体质量为时，弹簧长度为；
根据表示中的数据规律，可直接得到；
当时，直接代入解析式求得所挂物体的质量即可．
本题考查的是一次函数的解析式及求代数式的值，解题的关键是观察数据得到一次函数的解析式，会根据求，也会根据已知求对应的．
 

24.【答案】         

【解析】解：由题意及图象得
加油飞机的加油油箱中装载了吨油，运输飞机的油箱有余油量为吨油．
故答案为：；．
将这些油全部加给运输飞机中需分钟；
故答案为：；
运输飞机在分钟时间内，加油吨，但加油飞机消耗了吨，
所以说分钟内运输飞机耗油量为吨，
运输飞机每分钟耗油量为吨；
故答案为：；
由知运输飞机每小时耗油量为吨，
小时，
故答案为：．
通过观察线段，段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了吨油，运输飞机的油箱有余油量为吨油．
将这些油全部加给运输飞机中需分钟．
首先根据运输飞机在分钟时间内，加油吨，但加油飞机消耗了吨，求出每小时耗油量．
根据中的耗油量，可直接得出最多飞行时间．
本题考查函数图象．解决本题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定．
 

25.【答案】   

【解析】解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长宽分别为，的长方形面积，
，
故答案为：；
，
将，代入得：，
，
，
故答案为：；
正方形的边长为，
，，
，
设，，，
，


，
图中阴影部分的面积为．
根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长宽分别为，的长方形面积，可得答案；
将，代入中公式即可；
由正方形的边长为，则，，得，设，，，得，则，代入即可．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用．
 

26.【答案】 

【解析】解：直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
故答案为：；
解：中结论成立，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
证明：如图，过作于，过点作，交的延长线于，
，
四边形、四边形都是正方形，
，，，，
是边上的高，
，
同得：≌，≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中点．
证得≌，得出，，即可得出结果；
证得≌，得出，，即可得出结果；
过作于，过点作，交的延长线于，则，同得≌，≌，推出，证得≌，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．