数学苏科版第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性巩固练习

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基础巩固
1．等腰三角形是________图形，它的顶角的________、底边上的________、底边上的________重合(也称“__________”)，这“三线”所在直线是等腰三角形的__________．等边三角形有________条对称轴．
【答案】轴对称 角平分线 高线 中线 三线合一 对称轴 三
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是( )
A．∠BAD＝∠CAD
B．AD⊥BC
C．∠B＝∠C
D．∠BAC＝∠B
【答案】D
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AD＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积是( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】A
4.如图,直线CP是线段AB的垂直平分线且交AB于点P.甲、乙两人想在AB上取两点D,E,使得AD=DC=CE=EB,他们的作法如下:
甲:作∠ACP,∠BCP的平分线,分别交AB于点D,E,则D,E即所求;乙:作AC,BC的垂直平分线,分别交AB于点D,E,则D,E即所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是( )
A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
【答案】D
5.如图,直线L是一条河,P,Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站M,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是( )
A B C D
【答案】D
6.在如图所示的网格中找到一格点(网格线的交点)C,使△ABC为等腰三角形,这样的点有( )
A.6个 B.8个 C.10个 D.12个
【答案】C
7.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC.给出下面的结论:①∠APO+∠DCO=30°;②△OPC是等边三角形;③AC=AO+AP;④S△ABC=S四边形AOCP.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
拓展提升
8.如图,直线a∥b,△ABC是等边三角形,点A在直线a上,边BC在直线b上,把△ABC沿BC方向平移BC长的一半得到△A'B'C'(如图1);继续以上的平移得到图2,再继续以上的平移得到图3……则第100个图形中等边三角形的个数是 .
【答案】400
9.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BE=CF,求证:AD垂直平分BC.
【答案】【解析】 ∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BED和Rt△CFD中,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(SAS),
∴∠B=∠C,∴AB=AC,∴AD垂直平分BC.
10.如图,某小区有A,B,C,D四栋居民楼,经测量发现A,C,D三栋楼两两距离相等,且∠ACB=90°,物业打算在A,B两楼之间的小路上修建一个休闲运动区域E,且D楼居民恰好能沿小路DE直达该区域,小路DE和小路AC恰好互相垂直.
(1)证明:AE=CE=BE;
(2)若AB=50 m,P是直线DE上一点,则当P在何处时,PB+PC最小,并求出此时PB+PC的值.
【答案】【解析】 (1)由题意得AC=CD=DA,
∴△ACD是等边三角形.
∵DE⊥AC,
∴DE垂直平分AC,∴AE=CE.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°,
∴∠BCE=∠B,
∴BE=CE,
∴AE=CE=BE.
(2)连接PA.∵DE垂直平分AC,
∴PC=PA,∴PB+PC=PB+PA,
∴PB+PC最小,即PB+PA最小,即当P,B,A在同一直线上时最小.
即点P在点E处时最小,此时PB+PC=AB=50 m.
11.如图,∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D,过点D作DF⊥AC,交AC的延长线于点F,作DM⊥AB于点M.
(1)猜想CF和BM之间有何数量关系,并说明理由;
(2)求证:AB-AC=2CF.
【答案】【解析】 (1)CF=BM.理由如下:
如图,连接CD,DB.
∵AD平分∠CAB,DF⊥AC,DM⊥AB,
∴DF=DM.
∵DE垂直平分BC,∴CD=BD.
∵∠AFD=∠DMB=90°,
∴Rt△CDF≌Rt△BDM,∴CF=BM.
(2)∵AD=AD,DF=DM,∠AFD=∠AMD=90°,
∴Rt△AFD≌Rt△AMD,∴AF=AM.
∵AB=AM+BM,AF=AC+CF,AF=AM,BM=CF,
∴AB=AC+2CF,∴AB-AC=2CF.
12.问题情境:将一副直角三角尺(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中∠ACB=∠FDE=90°,CA=CB,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N,试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由.
探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:
OM=ON,理由如下:
连接CO,则CO是AB边上的中线,
∵CA=CB,∴CO是∠ACB的平分线,(依据1)
∵OM⊥AC,ON⊥BC,∴OM=ON.(依据2)
反思交流:
(1)①依据1是 ,②依据2是 ;
(2)你有与小宇不同的方法吗?请写出你的方法.
(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线相交于点M,且FM⊥CM,BC的延长线与DE相交于点N,且BN⊥DE,连接OM,ON,试判断线段OM,ON的数量关系和位置关系,并说明理由.
【答案】【解析】 (1)①等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)
②角平分线的性质(或角平分线上的点到角两边的距离相等)
(2)有.方法如下:
∵CA=CB,∴∠A=∠B.
∵O是AB的中点,∴OA=OB.
∵DF⊥AC,DE⊥BC,∴∠AMO=∠BNO=90°.
在△OMA和△ONB中,
∴△OMA≌△ONB(AAS),∴OM=ON.
(3)OM=ON,OM⊥ON.理由如下:
如图,连接CO,则CO是AB边上的中线.
∵AC=BC,OA=OB,∠ACB=90°,
∴∠1=∠2=∠CAB=∠B=45°,OA=OC.
∵∠NCO+∠2=∠CAB+∠MAO=180°,
∴∠NCO=∠MAO.
∵∠3=∠CAB=45°,∠DMA=90°,
∴∠4=90°-∠3=45°,∴AM=DM,
易知DM=CN,∴AM=CN.
在△OAM和△OCN中,
∴△OAM≌△OCN(SAS),∴OM=ON,∠5=∠6.
∵∠AOC=90°,∴∠5+∠7=90°,∴∠6+∠7=90°,
∴∠MON=90°,
∴OM⊥ON,即OM与ON的数量关系为OM=ON,位置关系为OM⊥ON.