第08讲 函数的概念及其表示-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第08讲 函数的概念及其表示

       【学习目标】

1. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法，解析法）表示函数，理解函数图象的作用

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．

        【基础知识】

一、函数的概念

1.函数的定义

设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任何一个 x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一的y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.

2.函数的定义域与值域

函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集。

3.对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号统一表示对应关系．

【解读】当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．

二、区间概念(a，b为实数，且a<b)

【解读】应用区间时的3个注意点

1.区间是数集，区间的左端点小于右端点．

2.在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．

3.用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．

三、判断对应关系是否为函数的2个条件

1.A、B必须是非空数集．

2.A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

四、根据图形判断对应是否为函数的方法

1.任取一条垂直于x轴的直线l.

2.在定义域内平行移动直线l.

3.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．

五、求函数定义域的几种类型

1.若f(x)是整式，则函数的定义域是R.

2.若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．

3.若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

4.若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

5.若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

6.已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域．

7.已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．

六、函数的三要素

1.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域

2.相同函数

值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们不是相同的函数．

3.判断两个函数为同一函数的方法

判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

七、函数求值的方法

1.已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．

2.求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．

3.求函数值域常用的4种方法

①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；

③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；

④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．

八、理解函数的表示法的3个关注点

1.列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．

2.判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．

3.函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．

九、求函数解析式的3种常用方法

1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．如典例3(1)．

2.换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．

3.解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

十、分段函数

1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集

【解读】

1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．

2.分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．

3.分段函数的图象要分段来画．

4.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．

5.已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．

【考点剖析】

考点一：函数关系的判断

例1．（2021-2022学年安徽省六安中学高一上学期期中）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，不能表示集合M到集合N的函数关系的序号有______.

【答案】①③④

【解析】对①，由图知：，不符合函数的定义域，故①错误；

对②，由图知：，，图象符合函数的定义，故②正确.

对③，由图知：，不符合函数的值域，故③错误；

对④，不符合函数定义，不是函数图象，故④错误.

故答案为①③④

考点二：用区间表示数集

例2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（       ）

①；②；③；④；⑤；⑥．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集

①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，

④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．

⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，

故只有⑤可以，区间形式为，故答案为D.

考点三：求函数定义域

例3．（2021-2022学年新疆喀什地区疏附县高一上学期期末）函数中，自变量x的取值范围是（       ）

A． B． C．且 D．

【答案】B

【解析】由题意知，，解得，即函数的定义域为.故选B

考点四：同一函数的判断

例4．（多选）（2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期段考）下列选项中能表示同一个函数的是（       ）

A．与 B．与

C．， D．，

【答案】BCD

【解析】对于A：的定义域为，的定义域为，A不正确；

对于B、C：显然定义域均为，虽然解析式书写形式不一样，但对应关系相同，B、C正确；

对于D：显然定义域均为，，则，，D正确；

故选BCD．

 考点五：求函数值与值域

例5．已知函数，

(1)点在的图象上吗？

(2)当时，求的值；

(3)当时，求x的值；

(4)求的值.

【解析】 (1)将x=3代入解析式得，故点（3,4）不在函数图像上；

(2)将x=4代入函数解析式得 ；

(3)若，则 ，解得x=14；

(4) ， .

考点六：求函数解析式

例6．设函数，则的表达式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则且，所以，，因此，.

故选B.

考点七：函数图象问题

例7．（2021-2022学年甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学高一上学期期中）下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为(       )

(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；

(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

A．(1)(2)(4) B．(2)(3)(4)

C．(1)(3)(4) D．(4)(1)(2)

【答案】D

【解析】 (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；

根据描述，离家的距离先增加，再减少到零，再增加，如此只有图像(4)符合；

(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

根据描述，离家的距离应该先沿直线上升，然后与x轴平行，最后继续沿直线上升，符合的为图像(1)；

(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

图像应该先缓慢上升，后快速上升，符合的图像为(2).故选D.

考点八：分段函数问题

例8．（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期月考）已知函数 则的值为________

【答案】35

【解析】由题意，．

        【真题演练】

1．（2021-2022学年新疆喀什市高一上学期期末）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（       ）

A．，

B．，

C． ，

D．，

2.（2021-2022学年四川省自贡市高一上学期期末）函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

3. （2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期段考）已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，的面积为S，则函数的图象是（       ）．

A． B．

C． D．

4. （多选）（2021-2022学年广东省汕头市金山中学高一上学期期中）下列函数， 值域为的是（       ）

A． B． C． D．

5.（多选）（2021-2022学年广西河池市八校高一上学期第二次联考）设函数若，则实数a的值可以是（       ）

A． B．2 C． D．

6. （2020-2021学年四川省甘孜藏族自治州泸定县高一上学期期末）已知函数，那么的表达式是___________.

7. （2021-2022学年福建省漳州市第一中学高一上学期期中）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.

8. （2021-2022学年江西省宜春市铜鼓中学高一上学期阶段性测试）已知函数

(1)求的值；

(2)若，求的值；

(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域

       【过关检测】

1. （2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高一上学期期中）函数的定义域为（     ）

A．［-1，+∞） B．［-1，2）∪（2，+∞）

C．（-1，+∞） D．［2，+∞）

2. （2021-2022学年四川省自贡市田家柄中学教育集团高一上学期期中）函数的值域是（        ）

A． B．

C． D．

3. （2021-2022学年湖北省孝感市普通高中高一上学期期中）下列函数中与函数是同一函数的是（       ）

A． B．

C． D．

4. （2021-2022学年河北省武强中学高一上学期期中）函数的图象如图，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．

5.（多选）（2021-2022学年江苏省淮安市楚中、新马、淮海三校高一上学期期中）函数，，则下列等式成立的是（　　）

A． B．

C． D．

6.（多选）（2021-2022学年广西北海市高一上学期期末）下列各图中，可能是函数图象的是（       ）

A． B．

C． D．

7. （2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中）函数的值域是______________（用区间表示）

8. （2021-2022学年广东省佛山市高一上学期期末）已知，若对一切实数，均有，则___.

9. （2021-2022学年黑龙江省大庆外国语学校高一上学期月考）已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)求的值；

(3)当时，求，的值．

10. （2021-2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中）根据下列条件，求的解析式

(1)已知满足

(2)已知是一次函数，且满足；

(3)已知满足