第18讲 y=Asin(ωx+φ)-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

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第18讲 y=Asin(ωx+φ)三角恒等变换       【学习目标】了解的实际意义，能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响         【基础知识】一、参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响2.ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响二、由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移三、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质【考点剖析】考点一：左右平移变换例1．（2021-2022学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期中）将函数的图像向右平移个单位得到的图像，则（       ）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】由题得，所以．故选B考点二：沿x轴方向的伸缩变换例2．（2021-2022学年浙江省温州市高一上学期期期末）已知函数，若特它的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知，将函数图象向左平移个单位，得，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得，故选A考点三：沿y轴方向的伸缩变换例3． （2020-2021学年河北省石家庄市第二中学高一下学期3月教学衔接测量）将函数的图象向左平移个单位长度，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（       ）A．函数的最小正周期为B．函数的单调递减区间为C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数图象的一个对称中心为点【答案】D【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则的最小正周期，故A正确，由，得，，即函数的单调递减区间为，故B正确，是最大值，则直线是函数图象的一条对称轴，故C正确，D错误.故选D．考点四： y=Asin(ωx＋φ)的性质例4．（2021-2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末）设函数，则下列结论不正确的是（       ）A．函数的值域是；B．点是函数的图像的一个对称中心；C．直线是函数的图像的一条对称轴；D．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数．【答案】B【解析】因为，，所以，即函数的值域是，故A正确；因为，所以函数关于对称，故B错误；因为，所以函数关于直线对称，故C正确；将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；故选B考点五：三角变换与三角函数性质的交汇例5. （2021-2022学年陕西省西安市长安区高一上学期期末）已知函数，则下列说法正确的有________.①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到②在上单调递增③在内有2个零点④在上的最大值为【答案】②③【解析】由函数，对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，所以①不正确；对于②中，令，解得，当时，可得，即函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以②正确；对于③中，令，可得，解得，当时，可得；当时，可得，所以在内有2个零点，所以③正确；对于④中，由，可得，当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.故答案为②③.考点六：由图象确定函数解析式例6．（2021-2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图可知；设周期为，则，所以；又，所以.由，，令，得.所以；因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，所以.故选C.        【真题演练】 1．（2021-2022学年河南省驻马店市高一下学期期中）要得到函数的图像，只需将的图像（       ）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2. (2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 (　　) (　　)A． B． C． D．3.（2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试）关于函数有如下四个命题：甲：该函数在上单调递减；乙：该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；丙：该函数图象的一条对称轴方程为丁：该函数图象的一个对称中心为．如果只有一个假命题．则该命题是（       ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4.(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．5.（多选）（2021-2022学年山东省临沂第一中学高一下学期6月月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（       ）A．的图象关于直线对称B．在上单调递减C．的图象的一个对称中心是D．将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象6.（多选）（2021-2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（       ）A．B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是偶函数C．函数的图像关于直线对称D．若把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数7. （2021-2022学年吉林省长春市长春吉大附中实验学校高一下学期期中）已知函数的部分图象如图所示，则的值为______．8. （2021-2022学年山东省淄博市高一下学期期中）已知的最小正周期为，图像关于直线对称.(1)求函数的解析式；(2)将的图像上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求的单调递增区间．        【过关检测】1. （2021-2022学年青海省海南藏族自治州高级中学高一上学期期末）简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为（       ）A． B． C． D．2.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度3.（2021-2022学年北京市第三十五中学高一下学期期中）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为（       ）A． B．C． D．4.（2021-2022学年重庆市西南大学附属中学校高一下学期期中）已知函数，下列结论错误的是（       ）A．的值域为B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．的图象可由函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到5.（多选）（2021-2022学年甘肃省张掖市高台县第一中学高一下学期4月月考）要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（       ）A．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度6. （多选）（2021-2022学年贵州省六枝特区高一下学期期中）函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是（       ）A．B．函数的单调递减区间为，C．函数在区间上单调递增D．直线是函数的一条对称轴7.（2021-2022学年山东省济宁市泗水县高一下学期期中）关于函数，下列命题中是真命题的为（       ）A．为偶函数B．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度C．的图象关于直线对称D．在内的增区间为和8.（2021-2022学年山东省临沂市罗庄区高一下学期期中）将函数（）图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是 的图象的一条对称轴，则_________.9．（2021-2022学年浙江省衢州市高一下学期6月教学质量检测）已知函数(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)把的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，已知关于x的方程在上有两个不同的解.①求实数m的取值范围；②证明：.10．（2021-2022学年江苏省镇江第一中学高一下学期6月月考）已知函数．(1)用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；(2)写出函数在上的单调递减区间；(3)将图像上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像，求在区间上的最值．